El "triángulo de Pascal o de Tartaglia" es ampliamente conocido tanto por las curiosas propiedades que en él pueden encontrarse como por su aplicación en el desarrollo algebraico de la potencia de un binomio. Suele aprenderse ligado a lo que usualmente se enseña con el nombre de "binomio de Newton" y que se identifica con la potencia de un binomio cuyo exponente es un número natural. Pero quien enunció o al menos divulgó este desarrollo particular, relacionándolo con ese triángulo, fue Pascal y de ahí que se denomine a dicho triángulo con su nombre. No obstante, el "triángulo de Pascal" ya era conocido, siglos antes, por matemáticos persas y chinos. Según Maor (1994) la aportación concreta de Newton en el contexto del desarrollo binomial se sitúa en el caso del desarrollo con  exponentes racionales y con exponentes enteros y únicamente llegó a conjeturarla sin llegar a abordar o al menos divulgar su demostración. Actualmente este resultado es un caso particular del denominado "Teorema binomial".

Newton abordó la extensión del triángulo de Pascal efectuando un cálculo hacia atrás, de manera que se mantuviera la misma propiedad recursiva de que un elemento de una fila sea el resultado de la suma de dos de la fila anterior siguiendo la propiedad que se verifica entre los números combinatorios.

Con esta extensión recursiva en sentido inverso, Newton construye nuevas filas, cada una de las cuales tiene infinitos números y cuya escritura conduce a la forma de un "paralelogramo" (o si se desea puede mostrarse, en particular,  como un rectángulo) y cada una de ellas puede asociarse a filas que se corresponderían con números "combinatorios" cuyo índice superior serían números enteros negativos.

A su vez, Newton hace corresponder los números ubicados en cada fila con los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio cuyo exponente ya no sólo sería un número natural, sino que en general puede ser un número entero. Y, consecuentemente, a todos los números del paralelogramo de Newton los denominaremos coeficientes binomiales (pierde sentido asociarlo con el número de combinaciones). El desarrollo del binomio conduce a un número finito de sumandos cuando el exponente es natural e infinitos (una serie) cuando es un entero negativo.

En la miscelánea "Extensión del triángulo de Pascal: El paralelogramo de Newton" se muestran los coeficientes binomiales de dicho paralelogramo. Pulsando el botón "indicaciones" de este recurso se pueden consultar algunos detalles adicionales. 

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

La representación de dicho paralelogramo numérico entraña dos dificultades principales a medida que se incrementa la cantidad de números a visualizar. Por un lado, el espacio que necesita ocupar la escritura de cada coeficiente binomial que progresiva y rápidamente va aumentando, al ser mayor el número de cifras que lo constituyen. Y, por otro, el tiempo de cálculo necesario para ubicar, desplazar y representar en la tabla dichos coeficientes y para poder escalarla (si se desea). Adicionalmente, el cálculo de los coeficientes conduce a números enteros que superan el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 2⁵³-1 (algo superior a 9 mil billones); así pues, en esos casos no se refleja el coeficiente y se colorea la casilla donde iría ubicada con un fondo rojizo.  

En dicha escena se pueden visualizar, mediante colores, pautas geométricas de cómo se distribuyen dichos coeficientes cuando se plantean congruencias numéricas respecto a un divisor y resto seleccionado. No obstante, estas distribuciones pueden observarse mejor si no se muestran los valores de los coeficientes y ello es lo que se aborda en la miscelánea: "Congruencias en el paralelogramo de Newton"

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En este caso (ver las indicaciones incluidas en la miscelánea) la dificultades siguen centrándose en el espacio necesario para representar el paralelogramo cuando el número de filas y columnas considerado es elevado, pero al no reflejarse el número en sí, cada uno de estos coeficientes ocupa el mismo espacio y puede escalarse hasta el extremo de que ocupe un único píxel. Por otro lado, el cálculo de las congruencias puede hacerse de manera recursiva sin necesidad de calcular el coeficiente y consecuentemente no se ve afectado por lo indicado sobre el máximo entero admisible en javascript. Obviamente, las necesidades computacionales son elevadas y, por defecto, en la escena se ha limitado el número de filas y columnas a 400, pero editando la escena puede cambiarse.

Para evitar que cada interesado tenga que dedicar tiempo en la generación de las imágenes de las congruencias, he preparado un muestrario de consulta para las congruencias con los números primos hasta el treinta y uno, representando los coeficientes binomiales de índice superior en el rango desde -999 a 999 y de índice inferior de 0 a 999. Éste está accesible en la miscelánea: "Muestrario de congruencias en el paralelogramo de Newton", pudiéndose ampliar las imágenes ahí incluidas.

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En un próximo artículo en este blog, mostraré que si retomamos el esquema organizativo original que Pascal (Traité du triangle arithmétique, 1665) utilizó al presentar y analizar las propiedades de este triángulo numérico, entonces los patrones de las congruencias que se observan en él son mas fáciles de identificar y pautar, y la extensión de estos a los coeficientes binomiales con índice superior un entero negativo se realiza de manera trivial.

Finalmente, quienes deseen aplicar los coeficientes binomiales y practicar con el desarrollo algebraico de potencias de un binomio pueden usar las siguientes misceláneas:

Ejercicios de desarrollo algebraico usando el "Binomio de Newton"

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

Ejercicios del "binomio de Newton" con exponente entero

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

Durante la primera semana de marzo de 2020, entre los días 2 y 6, se celebra la Open Education Week, un evento comunitario global que busca crear conciencia sobre los beneficios de los recursos educativos abiertos y las prácticas educativas abiertas.

El Congreso Mundial sobre los Recursos Educativos Abiertos (REA), celebrado en París del 20 al 22 de junio de 2012, resalta que el término REA "designa a materiales de enseñanza, aprendizaje e investigación en cualquier soporte, digital o de otro tipo, que sean de dominio público o que hayan sido publicados con una licencia abierta que permita el acceso gratuito a esos materiales, así como su uso, adaptación y redistribución por otros sin ninguna restricción o con restricciones limitadas". Una definición cuyos requisitos cumplen escrupulosamente los recursos interactivos generados con la herramienta de autor Descartes JS y compartidos con la aldea global en el portal de la ong RED Descartes. Por ello, y dado que la Semana de la Educación Abierta se ha convertido en uno de los eventos mundiales más destacados que reconoce el alto rendimiento y la excelencia en la educación abierta, desde Proyecto Descartes, con una larga trayectoria en este ámbito, hemos decidido colaborar y participar en la #OEWeek con varios de nuestros conocidos proyectos:

• Descartes JS: herramienta de autor.- Descartes es una herramienta de autor que permite elaborar recursos didácticos interactivos que se embeben en páginas html y, por tanto, puede interactuarse con ellos en todos los dispositivos donde una página web sea accesible. La primera impresión al ver un recurso de Descartes puede inducir a interpretar que es una imagen animada o una animación, pero basta aproximar el ratón o el dedo a un recurso de Descartes para comprobar la esencia del mismo que se centra en la interactividad. .
• Unidades didácticas.- En esta web de la Red Educativa Digital Descartes se incluyen numerosas unidades didácticas de Matemáticas y de Física y Química que han sido desarrolladas por profesores y profesoras y han querido compartirlas con todo el profesorado, con el alumnado y con toda la comunidad educativa de la aldea global en la que vivimos, buscando profundizar en el conocimiento conformando una Academia educativa.
• Proyecto Canals.- Parte de la labor educativa de Maria Antònia Canals ha quedado reflejada en el conjunto de materiales que ha elaborado y compilado durante su extenso periodo docente. Promovido por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte de España, desde el proyecto Descartes se abordó la producción de recursos TIC que buscaban contribuir a la difusión y conocimiento de dichos materiales, introduciendo una perspectiva enmarcada en el uso educativo de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación.
• Proyecto PI.- El proyecto "Pizarra Interactiva" (de acrónimo PI y con obvia sugerencia matemática) surge con el propósito de desarrollar recursos educativos digitales interactivos, para la Educación Primaria en las áreas curriculares de Lengua Castellana y Matemáticas, que estén diseñados para un uso preferente en la pizarra digital, pero siendo también susceptibles de usar en cualquier ordenador personal.
• Proyecto GEOgráfica.- Este subproyecto de la Red Educativa Digital Descartes (RED Descartes) tiene como objetivo aportar a la comunidad educativa de la aldea global una colección de recursos educativos interactivos que ayuden al aprendizaje de la Geografía mundial con diferentes niveles de detalle --desde el contexto global al local--, y con diferentes ámbitos disciplinarios, es decir, la Geografía general, física y humana, y la Geografía regional. Estos objetos educativos se plantean siguiendo esquemas habitualmente utilizados en materiales y juegos educativos clásicos.
• Proyecto Un_100.- El proyecto "Un_100" recoge 101 unidades didácticas o recursos educativos de las áreas de Matemáticas y Física y son para el nivel de Licenciatura, algunos también pueden ser usados en el bachillerato. En su elaboración han participado académicos de México, España, Colombia y Chile.
• Proyecto iCartesiLibri.- El objetivo de este proyecto es la conceptualización y el desarrollo de libros dinámicos, interactivos, multimedia, centrados en el aprendizaje y potenciadores de la educación de personas que aprenden a aprender, que adquieren autonomía y se forman competencialmente para afrontar su trayectoria vital.
• Proyecto competencias.- Esta web recoge objetos de aprendizaje interactivos cuyo objetivo es la formación y evaluación competencial. Sus contenidos se basan en las unidades liberadas de PISA y en las de las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico de diferentes comunidades autónomas españolas.
• Proyecto ED@D.- El proyecto "EDAD" (Educación Digital con Descartes) surge con el propósito de desarrollar recursos educativos digitales interactivos, para la Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en las áreas curriculares de Matemáticas, Ciencias Naturales y Física y Química, que permitan su uso tanto en la enseñanza presencial como en la formación a distancia.
• Proyecto Descartes.- Asociación no gubernamental sin ánimo de lucro que tiene como fin promover la renovación y cambio metodológico en los procesos de aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas, y también en otras áreas de conocimiento, utilizando los recursos digitales interactivos generados en el Proyecto Descartes.

"¿Por qué es importante la Educación Abierta?

La gente quiere aprender. Al proporcionar acceso gratuito y abierto a la educación y al conocimiento, la educación abierta ayuda a crear un mundo para apoyar el aprendizaje. Los estudiantes pueden obtener información adicional, puntos de vista y materiales para ayudarlos a tener éxito. Los trabajadores pueden aprender cosas que los ayudarán en el trabajo. La facultad puede recurrir a recursos de todo el mundo. Los investigadores pueden compartir datos y desarrollar nuevas redes. Los maestros pueden encontrar nuevas formas de ayudar a los estudiantes a aprender.

Las personas pueden conectarse con otras personas que de otra manera no se encontrarían para compartir ideas e información. Los materiales se pueden traducir, mezclar, dividir y compartir abiertamente de nuevo, lo que aumenta el acceso e invita a nuevos enfoques. Cualquiera puede acceder a materiales educativos, artículos académicos y comunidades de aprendizaje de apoyo en cualquier momento que lo deseen. La educación está disponible, accesible, modificable y gratuita".

 (El párrafo anterior ha sido extraído literalmente de la web de la Open Education Week)