Concepto intuitivo de límite
Límite de una sucesión

Objetivo

Obtener el límite de convergencia de una sucesión simple.

Conceptos básicos

Una sucesión es una función que asocia a cada entero positivo un número real.

Una sucesión se puede expresar de varias maneras:

  1. Describiendo en palabras cómo obtener cada uno de sus términos.
  2. $\{a_{n}\}$, es decir, escribiendo entre llaves la expresión de su término general.
  3. $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $...$, es decir, escribiendo los primeros términos hasta que sea evidente para el lector cuál es la regla para obtener los siguientes.

A toda sucesión se le puede asignar una gráfica, dibujando en el plano cartesiano los puntos de coordenadas $(n,a_{n})$.

Ejemplos de sucesiones

El siguiente recuadro muestra ejemplos de sucesiones con sus definiciones y sus gráficas. Se puede mover el espacio arrastrándolo a la izquierda y a la derecha, también se puede cambiar la escala con el pulsador que está en la parte inferior derecha.

Se dice que una sucesión de números reales $\{a_{n}\}$ converge a $L$ si para cualquier número positivo $ε$, los términos $a_{n}$ de la sucesión distan de $L$ menos que $ε$, para $n$ suficientemente grande. La sucesión: $2.1$, $2.01$, $2.001$, $2.0001$, $...$ converge a $2$ y la sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ converge a cero. Éstos son dos ejemplos de sucesiones que convergen. La sucesión $1$, $-1$, $1$, $-1$, $1$, $...$ no converge. Tampoco converge la sucesión $\{3^{n}\}$. Éstos últimos son dos ejemplos de sucesiones que no convergen.

Cuando una sucesión $\{a_{n}\}$ converge a un número $L$, se dice que $L$ es el límite de $\{a_{n}\}$ y se escribe:

$$\lim_{∞ \to n}{a_{n}}=L$$

Ejemplos de convergencia

Algunas de las sucesiones que se muestran en el recuadro siguiente convergen y otras no. Estudia cada caso y lee la explicación. Observa que la sucesión converge cuando para cualquier franja de ancho arbitrario $ε > 0$, la cola de la sucesión queda dentro de ella. En otras palabras, $|a_{n}-L| < ε$ para números enteros $n$ suficientemente grandes.

Ejercicios

Apoyándote en la gráfica, responde en cada caso si la sucesión converge y, en ese caso, encuentra el límite $L$. Si no converge, responde si la sucesión tiende $a +∞$, $a -∞$ o a ningún número.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en abril de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: José Luis Abreu León

Edición académica: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego

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Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

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Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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