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En este artículo se describen y clasifican las superficies regladas desarrollables poniendo de manifiesto que éstas son cilindros, conos y superficies tangenciales. Y, mediante el uso de Descartes, se permite al usuario abordar la construcción virtual de "su" cilindro y cono personalizado, pero también se le da la posibilidad de convertirlo en un objeto tridimensional tangible sin más que proceder a la obtención automática de su desarrollo plano y, mediante su impresión en papel, proceder a su construcción. 

Superficies regladas desarrollables

Una superficie es reglada si está constituida por una familia de rectas. Todas estas superficies se pueden parametrizar como:

sp1                  (1)

donde cu y du son curvas en el espacio tridimensional. La primera es la curva base o curva directriz y la segunda es el vector director de cada una de las rectas (directriz). Efectivamente, fijado un valor del parámetro u puede observarse que la expresión obtenida es la ecuacion de una recta y, variando  u, geométricamente lo que se puede interpretar es que se va recorriendo cada punto de la curva base cu y por él pasa una recta cuya dirección viene dada por du.

También puede expresarse de manera equivalente como:

sp2           (2)

que algebraicamente representa, para cada valor de u, a una recta (o un segmento si consideramos 0 ≤ ≤ 1), pero en este caso lo que se pone de manifiesto es que esa recta se apoya en un punto de la curva c1u y en otro de la c2u.

El ejemplo más simple de superficie reglada es un plano, pero entre otras, también lo son los cilindros, los  conos, la banda de Moebius, el hiperboloide, etc.

cilindrogeneralizado conogeneralizado
 Cilindro generalizado  Cono generalizado
 MobiusStrip-01  Ruled hyperboloid
 Banda de Möbius  Hiperboloide

 

Una herramienta matemática que permite caracterizar la curvatura de cualquier superficie regular es la denominada curvatura de Gauss, y se verifica que dicha curvatura es invariante por isometrías. Todas las superficies regladas cumplen que su curvatura de Gauss es menor o igual que cero y, en particular, que la curvatura de Gauss de un plano es identicamente nula. En base a lo anterior, todas las superficies regladas que tienen curvatura cero son isométricas con el plano y son denominadas como  superficies desarrollables ya que, consecuentemente, pueden construirse a partir de su desarrollo plano.

En la parametrización (1) la condición de curvatura nula equivale a que el denominado parámetro de distribución sea nulo, y éste viene dado por:

pdistribucion     (3)

o en el caso de la parametrización (2) como:

pdistribucion2        (4)

De (4) se observa que para que la superficie reglada sea desarrollable tiene que ocurrir que para todo el vector tangente a la curva c1u, el vector tangente a c2u y el vector director de la recta que une a ambas curvas sean coplanarios al ser el producto mixto de los tres cero, o dicho de otra forma que el plano tangente es constante  lo largo de cada recta directriz.

Pero un análisis más detenido de cuándo es identicamente nulo el parámetro de distribución nos puede permitir clasificar a las superficies desarrollables. Así en la expresión (3):

    1. Si dp es identicamente nulo, entonces du es un vector constante, es decir que todas las rectas tienen la misma dirección y la superficie es un cilindro generalizado de ecuación ecilindro.
    2. Si  cp es idénticamente nulo, entonces cu es el vector de posición de un punto y la superficie desarrollable es un cono generalizado de vértice V, cuya ecuación sería econo.
    3.  En cualquier otro caso se demuestra que es una superficie tangencial, que mediante un cambio de parámetro se puede expresar como estangencial.

Superficies desarrollables con Descartes

En el proyecto "El metro: patrón inexacto para medir exactamente", que en el año 2004 contó con una ayuda de la Junta de Andalucía (España) para la elaboración de materiales y recursos educativos digitales, desarrollamos con Descartes en su versión Java algunos objetos educativos interactivos sobre conos y cilindros generalizados incluyendo la posibilidad de obtener su desarrollo plano. En este año 2020 hemos procedido a adaptarlos a DescartesJS y a mejorar sus posibilidades, en particular en lo relativo a forma de obtener ese desarrollo plano, a incluir  la posibilidad de su impresión y consecuentemente a la posibilidad de su reproducción tangible tridimensional. Estos recursos actualizados están publicados en el subproyecto "misceláneas" de la RED Descartes y los enlazamos a continuación aquí en dos triadas de imágenes que respectivamente se corresponden con cilindros y conos generalizados.

En la primera triada correspondiente a los cilindros tenemos:

  • "Cilindro generalizado" donde se muestra la construcción de un cilindro tomando como curva base una elipse y en la que podemos cambiar la dirección de la recta generatriz. La escena permite reproducir la generación del cilindro mediante desplazamiento de la generatriz sobre la curva base; simular y obtener el desarrollo plano; imprimir dicho desarrollo y el de las bases del cilindro. Adicionalmente, dado el contexto en el que se desarrolló originalmente esta escena —el metro—, se puede obtener un sistema de referencia basado en meridianos y paralelos.
  • "Ejemplos de cilindros generalizados" donde se puede elegir diferentes curvas base (circunferencia, elipse, parábola, rama de hipérbola, segmento, cardiode, deltoide, bifolium, astroide, bicircular) y reproducir las acciones indicadas en la escena anterior. 
  • "Construyo mis cilindros" que como indica el título permite al usuario definir la curva base en coordenadas paramétricas y la dirección de la directriz que desee y con ellas construir su cilindro generalizado. De nuevo puede realizar de manera virtual interactiva las acciones ya indicadas, pero también procediendo a la impresión del desarrollo pasar a disponer de la versión tangible de "su" cilindro. Para cada curva base cambiando el número de segmentos que se desean considerar en la representación se obtienen diferentes cilindros, para simular el caso continuo basta seleccionar un número de segmentos suficientemente elevado. 
cilindro generalizado cilindro generalizado, ejemplos construyo mis cilindros
 Cilindro generalizado  Ejemplos de cilindros generalizados  Construyo mis cilindros

 

De manera análoga en la triada correspondiente a los conos generalizados tenemos:

  • "Cono generalizado" en el que se  muestra la construcción de un cono tomando como curva base una elipse y en la que podemos cambiar su vértice. La escena interactiva permite reproducir la generación del cono mediante desplazamiento de la generatriz sobre la curva base; visualizar el cono completo; simular y obtener el desarrollo plano; imprimir dicho desarrollo y el de la base del cono. Adicionalmente, dado el contexto en el que se desarrolló originalmente esta escena —el metro—, se puede obtener un sistema de referencia basado en meridianos y paralelos.
  • "Ejemplos de conos generalizados" donde se puede elegir diferentes curvas base (las mismas que en el caso de los cilindros) y reproducir las acciones indicadas en la escena anterior. 
  • "Construyo mis conos" que permite al usuario definir la curva base y el vértice y construir su cono generalizado tanto virtual como tangible..
cono generalizado cono generalizado, ejemplos construyo mis conos
 Cono generalizado Ejemplos de conos generalizados Construyo mis conos

 

En estos objetos interactivos se ha considerado que la curva base es una curva plana, así pues, he de ponerme la tarea de incorporar la tridimensionalidad de la curva base y presentarlo en un próximo artículo en este blog. Y, adicionalmente, este trabajo debería incoporar el caso de superficies tangenciales que implictamente, a priori, entraña cierta dificultad si se deja libertad de definición al usuario, pero sobre ello ya hablaremos.  

Finalizo reseñando que para la obtención automática y animada del desarrollo plano del cilindro y el cono se aplica la rotación de Rodrigues descrita en un artículo anterior de este blog. Lo que se hace es plantearlo como el desarrollo plano de un prisma o una pirámide que se ajuste suficientemente al cilindro o cono dado. En la animación siguiente se refleja el desarrollo plano de un cilindro generalizado en el que su base es la curva denominada bifolium.  

Desarrollo plano cilindro

Pulsa sobre la imagen para ampliarla


Bibliografía

Lucas, E. (2017). Superficies regladas [Trabajo fin de grado]. Universidad de Murcia. 

Rosado, E (2010). Superficies regladas [Apuntes docentes]. Universidad Politécnica Madrid.


 

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CongruenciasPascal

Título: Congruencias en el triángulo de Pascal
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional

 

 

 

 

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CongruenciasPascalMuestrario

Título: Muestrario de congruencias en el triángulo de Pascal
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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En el artículo "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" llegamos a la conclusión de que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, según la orientación dada por Pascal a su triángulo, entonces, por simetría, tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton. Eso es lo que se refleja en la siguiente imagen.

Relaciones en el rectángulo de Newton

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton.
Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

En este artículo vamos a centrarnos en analizar cuándo un coeficiente binomial es divisible por un determinado número primo, un problema sobre el que podemos encontrar bastantes resultados con fundamento aritmético y algebraico. Aquí, nos centraremos en aquellos resultados que nos permitan determinar y visualizar gráficamente esas congruencias, es decir, poder obtener el gráfico de la imagen anterior, u otros análogos, sin necesidad de calcular el coeficiente binomial y determinar su congruencia u obtener ésta mediante una recurrencia.

La primera representación gráfica de estas congruencias puede situarse en un brevísimo artículo de Kung (1976). Esa gráfica se muestra en la siguiente imagen, la situada a la izquierda, y en la de la derecha se refleja la gráfica análoga, pero mostrándola según la orientación original de Pascal y coloreando en naranja los números combinatorios pares (en ella cada número se determina observando el correspondiente índice superior en color azul y en rojo el inferior):

 Kung  Triángulo de Pascal en la orientación original

Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal. Kung, S. H. L. (1976).
Parity triangles of Pascal’s triangle. Fibonacci Quart. 14: 54;
 

Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal en su orientación original 

Kung adicionalmente afirma, sin incluir la demostración, que para entero no negativo:

  • Si n = 2 y 1 ≤ k ≤ n-1, entonces nk es par. 
  • Si n = 2i-1 y 0 ≤ k ≤ n, entonces nk es impar.

Y ello se observa en las imagenes anteriores ya que para n = 0, 3, 7, 15, 31, todos los símbolos en esas filas o diagonales, respectivamente, son asteriscos (números impares). Y para  n = 2, 4, 8, 16, 32, son todos cruces (números pares), salvo el primero y el último.

Ese es un breve artículo, pero que marca unas pautas que son extrapolables a la obtención de patrones en las congruencias con cero módulo otros números primos. De hecho, ese resultado es un caso particular de los dos que fueron enunciados en 1947 por N. J. Fine en su artículo "Binomial coefficients modulo prime", si bien el primero de ellos (según Joris et al. en un artículo de 1985) ya lo formuló Ram en 1909 (B. RAM, Common factors of n!/m!(n-m)!, (m= 1, 2 ,..., n- l), J. Indian Marh. Club (Madras) 1 (1909), 39-43):

  1. La condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes binomiales nk con 0 < k < n, sea divisible por un primo p es que n sea una potencia de p.
  2. La condición necesaria y suficiente para que ningún coeficiente binomial de índice superior n, con n = n+ np + n2 p + nm pm, siendo 0 ≤ nr < p y nr > 0,  sea divisible por p es que nr = p - 1 para m

Veamos cómo se reflejan estos resultados de una manera gráfica en las dos imágenes siguientes:

  • En la imagen izquierda, se refleja gráficamente el primer resultado cuando p = 3, mostrándose todas las líneas en las que todos los números combinatorios son divisibles por 3, salvo el primero y el último. Esas líneas se corresponden con  nk con 0 < k < n n = 30313233,... Gráficamente vienen a ser las "hipotenusas" de los triángulos rectángulos que particionan al triángulo de Pascal y que lo muestran a diferentes escala y posteriormente utilizaremos esta analogía y terminología coloquial para ubicar y describir otros resultados.
  • En la de la derecha se reflejan aquellas líneas en las que ningún número combinatorio es divisible por 3. En la parte superior de esa imagen se reflejan las separaciones entre esas filas (por falta de espacio tipográfico no se refleja el caso 30) y a la derecha se muestra la descomposición p-ádica del índice n correspondiente a los números combinatorios de cada una de esas líneas (expanda la imagen pulsando sobre ella para verlo). Por ejemplo, para 53 = 2 30 +  2 31 + 2 32 + 1 33 y eso nos muestra el camino de "saltos" de amplitud potencias de tres que se han de dar para, partiendo de 0, llegar a 53 (dos de amplitud 30, dos de 31, dos de 32 y uno de 33). Es decir, logramos mostrar visualmente, geométricamente, lo que queda escondido en un abstracto resultado algebraico, el cual puede ser chocante a cualquiera que accede a él por primera vez. Emulando a nuestro alumnado a la pregunta: ¿a quién se le ocurre que la descomposición p-adica da respuesta a este problema? le mostramos que el resultado algebraico, posiblemente, fue consecuencia de su visualización y la "pureza" matemática procedió a esconderlo. 
 Kung  

Números combinatorios nkdivisibles por 3 para todo k, 0 < k n 
Líneas con todos los números combinatorios divisibles por 3 salvo los extremos

Números combinatorios nkno divisibles por 3 para ningún k, 0 ≤ k n
Líneas con ningún número divisible por 3

En la miscelánea del final de este artículo podemos reproducir las situaciones descritas para cualquier primo hasta el 31 y en este enlace se tiene un muestrario rápido de las mismas. 

Y justamente, en base a la observación de esos patrones geométricos, podemos visualizar y deducir la propiedad que nos permite detectar todas las hipotenusas de todos los triángulos rectángulos isósceles que muestran esas congruencias. Podemos ver cómo hay triángulos de diferente tamaño, siendo pa-1 el tamaño de las hipotenusas respectivas, y cada uno de ellos tienen una distribución periódica en horizontal y vertical con un periodo pa. Por ejemplo, en la siguiente imagen se reflejan en color naranja los números combinatorios congruentes con cero módulo 5 y se observan tres tipos de triángulos según su tamaño: los de hipotenusa 4 = 51-1, los de 24 = 52-1 y parcialmente (en la esquina inferior derecha) el de 124 = 53-1. La hipotenusa del primero se ha reflejado en color verde y el triángulo se repite periódicamente en horizontal y vertical con un periodo 5, según se ve en dicha imagen. La del segundo está reflejada en color violeta y se repite también periódicamente con periodo 52, y así sería de manera análoga y sucesiva. 

periodicidad Periodicidad en las hipotenusas de los triángulos congruentes

Lo anterior, ahora le invito a que mire con ojos algebraicos, queda englobado en el resultado que enuncio a continuación:

p es divisor de todos los números combinatorios mpak con m, ak ∈ ℕ,  0 < k <  mpa y k no divisible por pa     (1)

Este resultado personal puede relacionarse o considerarse como una reinterpretación —que se centra, enfoca y destaca el aspecto de periodicidad— del aportado por Ram (1909) —del que puede verse la demostración realizada por Albree (1972)— que afirma:

Para cualquier entero positivo npr = mcd { nk con 0 < k < n, y mcd (k, p)=1 } donde p es primo, r es un entero positivo y pr divide a n

Y ¿por qué les remarco que es de gran interés determinar esas hipotenusas? La respuesta también puede visualizarse en la imagen anterior y lo detallamos a continuación ya que conocida una hipotenusa de números congruentes con 0 módulo pnk con rk < s, por la propiedad de los números combinatorios que relaciona los de índice superior n+1 con los de índice n,

SumaNumCombinatorios

se deduce que los números combinatorios que componen el triángulo rectángulo T(n; r, s)

Tnrsdef          (2)

—ver imagen siguiente— son también congruentes con 0 módulo p. La justificación es simple, dado que la suma de dos números divisibles por p es un número divisible por  p.

TnrsTransmisión de la congruencia en las hipotenusas a los triángulos rectángulos

Joris et al. (1985) abordan un estudio más profundo al que necesitamos aquí de las propiedades de estos triángulos y a él dirigimos a quienes estén interesados en incrementar su conocimiento en este tema. 

Combinando (1) y (2), concluyo que los números combinatorios congruentes con 0 módulo p siguen un patrón de triángulos "rectángulos" T(pa; 1, pa-1) cuyas hipotenusas están constituidas por los números combinatorios pak con ak ∈ ℕ,  0 < kpa

Patrón triángulos para divisor 3Patrón de triángulos T(pa; 1, pa-1) con p=3  y a = 1,2, y 3

distribuyéndose de forma periódica según el esquema:

T(m pa; 1+pa, (1+k)pa-1)  con 0 ≤ k < ma, m ∈ ℕ  

Eso es lo que se observa en el siguiente mosaico de imágenes donde se refleja:

    • imagen superior izquierda: números combinatorios congruente con 0 módulo 3 en color naranja.
    • imagen superior derecha: triángulos congruentes con T(31; 1, 31-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3.
    • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(32; 1, 32-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 32
    • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(33; 1, 33-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 33

Patrón triángulos para divisor 3Esquema de periodicidad de los triángulos T(pa; 1, pa-1) con p=3  y a = 1, 2, y 3

Así pues la reproducción de todas las congruencias con 0 es una mera reiteración gráfica, periodicidad, de esos triángulos básicos citados.

Pero dado un número combinatorio nk ¿podemos saber si es o no congruente con 0 módulo sin necesidad de calcularlo, de una manera sencilla, rápida y sin aplicar recursividad, o lo que es equivalente, sin basarse en diagonales, es decir, en números combinatorios con índice superior menor que n? ¡Veamos que sí! y para ello nos vamos a basar en la posición relativa (fila y columna) que ocupa cada número combinatorio en el triángulo de Pascal original. Observemos que el número nk ocupa la fila n-k y la columna k, que todos los números combinatorios de índice n cumplen que la suma de la fila y la columna que ocupan es n, y que los números combinatorios del triángulo rectángulo T(n; r, s) cumplen que la suma de la fila y la columna de todos ellos es mayor o igual que n. Con este dato y en base a la periodicidad podemos afirmar lo siguiente:


Dado el número combinatorio nk, consideremos la descomposición p-ádica de n-y de k

n- a+ ap + a2 p2+ ⋅ + am pm

 = b+ bp + b2 p2+ ⋅ + bm pm

con m =  max (ent(logp(n-k)), ent(logp(k)) ), 0 ≤ aj, bj  < p, se verifica que:

nk es divisible por p si y solo si a+ bj  ≥ p al menos para algún j,  0 ≤ j m.

Además, para los valores de j en los que  a+ bj  ≥ p, entonces nk está en un triángulo T(pj+1; 1, pj+1-1) de números congruentes con 0 módulo p.


En la siguiente escena se puede reproducir visualmente todos los resultados indicados anteriormente y profundizar en el conocimiento de las interioridades del Triángulo de Pascal. 

congruencias en el triángulo de Pascal

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En la imagen anterior se observa como el número combinatorio 30 sobre 23 es congruente con cero módulo 2 y forma parte de un triángulo rectángulo básico de hipotenusa 1 , otro de hipotenusa 3 y otro de hipotenusa 7 (para éste último es evidente, para los dos anteriores haga traslaciones de los triángulos básicos, según el periodo antes indicado, y verá que ese número combinatorio está incluido en ellos). Todo se obtiene sin más que observar la relación de los coeficientes en la descomposición 2-ádica de la fila y columna que ocupa, ya que en este caso, para las tres primeras potencias de 2 la suma de los coeficientes es mayor o igual que el valor del módulo (en este caso 2).


Llegados a esta meta, estando aún confinados por la pandemia del COVID-19, cabe preguntarse si este artículo, y los dos anteriores publicados en este blog sobre este tema, tendrá o no continuidad... el tiempo lo dirá o quizás la necesidad de cambiar de temática para relajar la mente en otros ámbitos lo interrumpa. Tenga o no alguna nueva adenda, gracias a todos los que habéis dedicado parte de vuestro tiempo en leer lo descrito y los nuevos resultados hallados y expuestos en esta trilogía. 

Publicado en Difusión

 

Rectángulo vs triángulo

Título: Muestrario de simetrías en las congruencias en el paralelogramo de Newton y el triángulo de Pascal
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Rectángulo vs triángulo

Título: El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal (congruencias)
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Rectángulo vs triángulo

Título: El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
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En el artículo anterior "El paralelogramo de Newton" se mostró la ampliación que realizó Newton del triángulo de Pascal y cómo, ésta, le condujo a extender la expresión de las potencias binomiales al caso de exponentes enteros negativos. En este artículo mostramos cómo el esquema organizativo con el que Pascal divulgó su triángulo es más adecuado que el que usó Newton (versión escalonada de Stifel), pues conocido el primero, el segundo se obtiene por una simple reflexión y, por tanto, las congruencias existentes entre los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton queda reducida a realizar una simetría de las congruencias del triángulo de Pascal.

Pascal, en su libro Traité du triangle arithmétique (1665) analizó las propiedades del triángulo aritmético que quedó finalmente ligado a su nombre. La forma en que lo organizó y presentó es la reflejada en la siguiente imagen que he tomado de dicho libro, que es de dominio público: 

El triángulo aritmético de Pascal

El triángulo aritmético de Pascal reflejado en su libro Traité du triangle arithmétique

Esa presentación difiere de la forma usual que actualmente suele utilizarse que lo muestra como un triángulo isósceles:

El triángulo de Pascal como triángulo isósceles

El triángulo de Pascal en su presentación como triángulo isósceles

Y también difiere de la usada por Newton como base para su extensión ya que usó un triángulo rectángulo completado con ceros para obtener un rectángulo:El triángulo de Pascal para la extensión de Newton

Presentación del triángulo de Pascal para abordar la extensión de Newton

Esta versión escalonada aparece en el libro Arithmetica Integra (1544) de Michael Stifel (1487-1567), en el reverso de la página 44:

El triángulo de Stilfel

Presentación realizada por Stilfel y usada por Newton para su extensión

Esa extensión, que detallamos en el artículo previo citado, podemos resumirla en la siguiente imagen. En ella, reseñemos que cada fila del rectángulo se corresponde con los coeficientes binomiales del desarrollo de la potencia de un binomio. La fila numerada con el entero n se corresponde con los coeficientes del desarrollo de (a+x)n, por ejemplo, para n = -1 son los coeficientes de (a+x)-1 y para n = 2 los de  (a+x)2.

El paralelogramo de Newton

El paralelogramo de Newton y el desarrollo binomial

Al expresar los coeficientes binomiales de índice superior negativo en base a otros de índice superior positivo:binomialnegativo, podemos observar la relación existente entre los coeficientes en el rectángulo de Newton correspondientes a la extensión realizada por él y los ubicados en la zona de partida de Pascal. Seleccionada una columna, salvo un posible cambio de signo, los coeficientes de la extensión de Newton (filas etiquetadas con números negativos) se corresponden con los del triángulo de Pascal, pero con una traslación en la numeración de las filas. Por ejemplo, para la columna 3 los coeficientes de la zona correspondiente a la extensión de Newton son {-1, -4, -10, -20, -35, -56, -84, ...} que se corresponden con las filas numeradas respectivamente como {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, ...}, y los coeficientes en la zona del triángulo de Pascal son  {1, 4, 10, 20, 35, 56, 84 ,...} pero trasladadas en este caso dos posiciones, pues aquí sendas filas se correponden con {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}. Así pues, si quitásemos todos los ceros y ocupáramos esos huecos trasladando los números de cada columna hacia arriba, obtendríamos una tabla simétrica respecto a la línea de separación existente entre la fila 0 y la -1 (salvo el signo de los coeficiente que para columnas impares será negativo y para las pares positivo), de esta manera conocidos los coeficientes del triángulo de Pascal tenemos también los correspondientes al rectángulo de Newton y consecuentemente bastaría sólo obtener el primero.   Relaciones en el rectángulo de Newton

Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo

También podemos establecer otra relación: los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la columna 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la columna 1 y, en general, la fila -n con la columna n-1. Destacamos estas filas pues cada una de ellas nos aporta los coeficientes del desarrollo binomial con exponente negativo.  

Relaciones en el rectángulo de Newton

Y por la simetría del triángulo de Pascal también tendremos que los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la diagonal 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la diagonal 1 y, en general, la fila -n con la diagonal n-1.Relaciones en el rectángulo de Newton

Y omitiendo los ceros y trasladando las columnas hacia arriba para ocupar los huecos, obtenemos la siguiente distribución simétrica (en valor absoluto, insisto). Y en esa imagen hemos omitido la numeración de las filas en la parte inferior ya que esos coeficientes ya no se corresponden con los números combinatorios del triángulo de Pascal por filas, sino que esos coeficientes están ordenados según la estructura original adoptada por Pascal.  

Relaciones en el rectángulo de Newton

La relación observada en las imagenes anteriores se justifica sin más que detallar la relación existente entre los coeficientes binomiales que ahí están involucrados, y eso es lo que reflejamos a continuación. En el recuadro izquierdo tenemos los coeficientes del rectángulo de Newton, destacando en color naranja la ampliación de los números combinatorios con índice superior positivo o nulo y con índice inferior de mayor valor que el superior, cuyo valor es cero. En el cuadro intermedio se han omitido esos números nulos y se han compactado las columnas para ocupar los huecos. Y en el marco derecho se han expresado los coeficientes binomiales de índice negativo según su equivalencia con los números combinatorios y ahí puede comprobarse la simetría de los coeficientes que ya hemos indicado.

Relaciones en el rectángulo de Newton

Y con esto ¿a qué hemos llegado? Pues observemos la siguiente imagen que tiene un contenido denso, pero que sirve de resumen.

Desarrollos binomiales

Coeficientes binomiales y binomio de Newton con exponente natural y entero

En la parte izquierda se reflejan los coeficientes binomiales obtenidos en el cuadro anterior, donde podemos destacar que:

  1. Cada fila de la parte superior del rectángulo de Newton —por ejemplo la etiquetada en color azul como -n, ubicada encima de la línea naranja— se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a+x)-n, tal y como indicamos en el artículo anterior.amsxmenosn
  2. Cada fila de la parte inferior, que es el triángulo de Pascal en su orientación original, se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a-x)-n, pues tenemos que:amenosxmenos
  3. Cada una de las "diagonales" inferiores y superiores, coloreadas en tonos azules, se corresponden respectivamente con los coeficientes binomiales de (a+x)n y (a-x)nbNewton

Así pues, como indicaba al inicio, basta tener el triángulo de Pascal para obtener todos los desarrollos binomiales con exponente natural y entero. En la posición original de Pascal, las filas son los coeficientes del desarrollo de (a-x)-n y a partir de este desarrollo el de (a+x)-n basta obtenerlo como (a-(-x))-n, y las diagonales son los coeficientes del desarrollo de (a+x)n y el desarrollo de (a-x)n se obtiene como (a+(-x))n.

Relaciones en el rectángulo de Newton

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal

Llegados a este punto, identificados el significado y posición de estos coeficientes binomiales, aquellos que no se acostumbren a esta posición pueden hacer un giro de vértice el del ángulo recto en el triángulo anterior y ángulo -45º y ubicarlo en la posición usual actual. Aquí lo tiene a continuación, ya hemos justificado que es autosuficiente, pero no sólo enseñe cuáles son los coeficientes de las potencias de exponente natural ¡hágalo también con los de exponente entero negativo!

Triángulo de Pascal y Binomio de Newton

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal 

Obviamente la presentación y orientación es a gusto del lector, pero en la posición dada por Pascal acontece que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y  como lo observamos en la siguiente imagen.

Relaciones en el rectángulo de Newton

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton. Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes... Pero la profundización en estas congruencias tendremos que dejarlas para un tercer artículo, al que os emplazo dentro de unos días.

En la miscelánea "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" puede observarse lo antes descrito.


Nota bene: Eli Maor en su libro "e: historia de un número" (1994) describe que Newton en 1665 estuvo recluido durante dos años con motivo de la "gran peste de Londres" y que, durante ese tiempo, formó sus ideas sobre el universo y puso los fundamentos de lo que sería un cambio en el curso de la ciencia. Maor, también nos detalla que fue en esta época cuando procedió a la extensión del triángulo de Pascal y a la expansión de la potencia de un binomio a potencias de exponente entero y racional. Trescientos cincuenta y cinco años después, actualmente, estamos en un periodo de reclusión mundial a causa de la pandemia del "Coronavirus COVID-19" y aquí, en este artículo, recordando su "rectángulo".

Publicado en Difusión

El "triángulo de Pascal o de Tartaglia" es ampliamente conocido tanto por las curiosas propiedades que en él pueden encontrarse como por su aplicación en el desarrollo algebraico de la potencia de un binomio. Suele aprenderse ligado a lo que usualmente se enseña con el nombre de "binomio de Newton" y que se identifica con la potencia de un binomio cuyo exponente es un número natural. Pero quien enunció o al menos divulgó este desarrollo particular, relacionándolo con ese triángulo, fue Pascal y de ahí que se denomine a dicho triángulo con su nombre. No obstante, el "triángulo de Pascal" ya era conocido, siglos antes, por matemáticos persas y chinos. Según Maor (1994) la aportación concreta de Newton en el contexto del desarrollo binomial se sitúa en el caso del desarrollo con  exponentes racionales y con exponentes enteros y únicamente llegó a conjeturarla sin llegar a abordar o al menos divulgar su demostración. Actualmente este resultado es un caso particular del denominado "Teorema binomial".

Newton abordó la extensión del triángulo de Pascal efectuando un cálculo hacia atrás, de manera que se mantuviera la misma propiedad recursiva de que un elemento de una fila sea el resultado de la suma de dos de la fila anterior siguiendo la propiedad que se verifica entre los números combinatorios.

propiedad números combinatorios 

Con esta extensión recursiva en sentido inverso, Newton construye nuevas filas, cada una de las cuales tiene infinitos números y cuya escritura conduce a la forma de un "paralelogramo" (o si se desea puede mostrarse, en particular,  como un rectángulo) y cada una de ellas puede asociarse a filas que se corresponderían con números "combinatorios" cuyo índice superior serían números enteros negativos.

paralelogramo de Newton

A su vez, Newton hace corresponder los números ubicados en cada fila con los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio cuyo exponente ya no sólo sería un número natural, sino que en general puede ser un número entero. Y, consecuentemente, a todos los números del paralelogramo de Newton los denominaremos coeficientes binomiales (pierde sentido asociarlo con el número de combinaciones). El desarrollo del binomio conduce a un número finito de sumandos cuando el exponente es natural e infinitos (una serie) cuando es un entero negativo.

 extension del desarollo binomial a exponentes enteros

En la miscelánea "Extensión del triángulo de Pascal: El paralelogramo de Newton" se muestran los coeficientes binomiales de dicho paralelogramo. Pulsando el botón "indicaciones" de este recurso se pueden consultar algunos detalles adicionales. 

paralelogramoNewton2

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

La representación de dicho paralelogramo numérico entraña dos dificultades principales a medida que se incrementa la cantidad de números a visualizar. Por un lado, el espacio que necesita ocupar la escritura de cada coeficiente binomial que progresiva y rápidamente va aumentando, al ser mayor el número de cifras que lo constituyen. Y, por otro, el tiempo de cálculo necesario para ubicar, desplazar y representar en la tabla dichos coeficientes y para poder escalarla (si se desea). Adicionalmente, el cálculo de los coeficientes conduce a números enteros que superan el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 253-1 (algo superior a 9 mil billones); así pues, en esos casos no se refleja el coeficiente y se colorea la casilla donde iría ubicada con un fondo rojizo.  

En dicha escena se pueden visualizar, mediante colores, pautas geométricas de cómo se distribuyen dichos coeficientes cuando se plantean congruencias numéricas respecto a un divisor y resto seleccionado. No obstante, estas distribuciones pueden observarse mejor si no se muestran los valores de los coeficientes y ello es lo que se aborda en la miscelánea: "Congruencias en el paralelogramo de Newton"

 pNcolor

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En este caso (ver las indicaciones incluidas en la miscelánea) la dificultades siguen centrándose en el espacio necesario para representar el paralelogramo cuando el número de filas y columnas considerado es elevado, pero al no reflejarse el número en sí, cada uno de estos coeficientes ocupa el mismo espacio y puede escalarse hasta el extremo de que ocupe un único píxel. Por otro lado, el cálculo de las congruencias puede hacerse de manera recursiva sin necesidad de calcular el coeficiente y consecuentemente no se ve afectado por lo indicado sobre el máximo entero admisible en javascript. Obviamente, las necesidades computacionales son elevadas y, por defecto, en la escena se ha limitado el número de filas y columnas a 400, pero editando la escena puede cambiarse.

Para evitar que cada interesado tenga que dedicar tiempo en la generación de las imágenes de las congruencias, he preparado un muestrario de consulta para las congruencias con los números primos hasta el treinta y uno, representando los coeficientes binomiales de índice superior en el rango desde -999 a 999 y de índice inferior de 0 a 999. Éste está accesible en la miscelánea: "Muestrario de congruencias en el paralelogramo de Newton", pudiéndose ampliar las imágenes ahí incluidas.

R7 0 

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En un próximo artículo en este blog, mostraré que si retomamos el esquema organizativo original que Pascal (Traité du triangle arithmétique, 1665) utilizó al presentar y analizar las propiedades de este triángulo numérico, entonces los patrones de las congruencias que se observan en él son mas fáciles de identificar y pautar, y la extensión de estos a los coeficientes binomiales con índice superior un entero negativo se realiza de manera trivial.

Finalmente, quienes deseen aplicar los coeficientes binomiales y practicar con el desarrollo algebraico de potencias de un binomio pueden usar las siguientes misceláneas:

Ejercicios de desarrollo algebraico usando el "Binomio de Newton"

ejerciciosBinomio

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Ejercicios del "binomio de Newton" con exponente entero

ejerciciosBinomioExponenteEntero

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Publicado en Difusión

 

Muestrario de congruencias en el paralelogramo de Newton

Título: Muestrario de congruencias en el "paralelogramo de Newton"
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
http://proyectodescartes.org/miscelanea/index.htm - Ver Créditos

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