Los números complejos

Libro interactivo

Los números complejos

María José García Cebrian
Red Educativa Digital Descartes, España

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Título de la obra:
Los números complejos

Autora:
María José García Cebrian

Actualización: Joel Espinosa Longi
Diseño de cubierta: Diana María Velásquez García
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuente: Lato
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$
Núcleo del libro interactivo: julio 2022

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co

ISBN: 978-958-56476-0-2

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.

Tabla de contenido

Introducción5

1. La forma binómica7

1.1 ¿Por qué los números complejos?9

1.2 Parte real y parte imaginaria10

1.3 Operaciones con complejos: sumar y restar12

1.4 Operaciones con complejos: producto y cociente14

2. La forma polar17

2.1 Módulo y argumento de un número complejo19

2.2 Producto y cociente de complejos en forma polar20

2.3 Potencias de complejos en forma polar22

2.5 Ejercicios para practicar25

3. Algunas aplicaciones27

3.1 Operaciones con complejos y transformaciones geométricas29

4. Autoevaluación33

iii

Introducción

Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. De esta forma ecuaciones como $x^2 + 1 = 0$ pueden ser resueltas y se abre la puerta a un sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre $0$ ) son posibles.

Aquí se abordan los contenidos a nivel del Bachillerato de Ciencias de España pero puede ser válido para cualquier estudiante que quiera adentrarse en el estudio de estos fascinantes números.

En el siguiente video¹ puedes ver una interesante introducción a los números complejos y sus aplicaciones.

Capítulo 5 del video "DIMENSIONS, un paseo a través de las Matemáticas", www.dimensions-math.org/Dim_ES.htm

5

Capítulo I

La forma binómica

1.1 ¿Por qué los números complejos?

Las soluciones² de la ecuación $ax^2+bx+c=0$ son los puntos de corte de la función $y=ax^2+bx+c$ con el eje de abscisas.

Un poco de historia³

Aunque la primera referencia conocida de raíces cuadradas de números negativos proviene de los matemáticos griegos, no es hasta el siglo XVI cuando Girolamo Cardano propone estos números. Posteriormente Descartes en 1637 les puso el nombre de imaginarios.

Fueron Wessel en 1799 y Argand en 1806, con la propuesta del plano complejo quienes sentaron las bases de los números complejos, hasta que, finalmente, Gauss (1777-1855) les dio nombre y los definió rigurosamente.

Basado en una página de la unidad Números Complejos de Ángela Núñez Castaín para Red Educativa Digital Descartes.De la Wikipedia es.wikipedia.org/wiki/Número_complejo.

9

1.2 Parte real y parte imaginaria

Si consideramos la unidad imaginaria $i=\sqrt{-1}$ y la representamos en el punto $(0,1)$ del plano, podemos situar de la misma forma los números $2i, 3i, ..., -i, -2i, ...$ en el eje vertical, es decir los números $bi$ que llamaremos imaginarios. Entonces un punto cualquiera del plano $(a, b)$ , con $a$ y $b$ números reales, puede escribirse como $(a, 0) + (0, b)$ , esto es como la suma de un número real y un número imaginario.

Los números complejos son de la forma $a + bi$ , donde $a$ es la parte real y $b$ es la parte imaginaria. Cada número complejo $z$ se puede representar en el plano mediante el punto $Z(a, b)$ llamado afijo o bien mediante el vector $OZ$ .
Dos números complejos son iguales si lo son las partes reales y las partes imaginarias respectivas.

10

Para practicar

11

1.3 Operaciones con complejos: sumar y restar

Los números complejos se pueden sumar o restar siguiendo las reglas de las operaciones con números reales.

Para sumar dos números complejos se suman respectivamente las partes reales y las partes imaginarias. Así dados $z_1 = a_1 + b_1 i$ y $z_2 = a_2 + b_2 i$ su suma es:

z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i

Como en los números reales para restar dos complejos hay que sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

12

Para practicar

13

1.4 Operaciones con complejos: producto y cociente

Los números complejos se pueden multiplicar siguiendo las reglas de las operaciones con números reales y teniendo en cuenta que $i · i = i^2 = -1$

\begin{align*} z_1 · z_2 &= (a_1 + b_1 i) · (a_2 + b_2 i) \\ &= a_1 · a_2 + a_1 · b_2 i + b_1 · a_2 i + b_1 · b_2 i^2 \\ &= (a_1 · a_2 - b_1 · b_2) + (a_1 · b_2 + b_1 · a_2)i \end{align*}

14

15

Capítulo II

La forma polar

2.1 Módulo y argumento de un número complejo

19

2.2 Producto y cociente de complejos en forma polar

La relación entre la forma polar de dos números complejos y la de su producto y cociente, nos permite multiplicar y dividir de forma muy sencilla.

Si expresamos los complejos en forma trigonométrica y operamos:

r_α = r(cos \; α + i sen \; α) \;\;\;\;\;\;\;\; r'_β = r'(cos \; β + i sen \; β)

El producto:

r(cos \; α + i sen \; α) \cdot r'(cos \; β + i sen \; β) = \\ r \cdot r' \cdot [(cos \; α \cdot cos \; β - sen \; α \cdot sen \; β) + (cos \; α \cdot sen \; β + sen \; α \cdot cos \; β)i] = \\ r \cdot r' \cdot (cos(α+β) + i sen(α+β))

Observamos que el módulo del número complejo resultante es el producto de los módulos de los factores y el argumento la suma de los argumentos.

El cociente:

\frac{r(cos \; α + i sen \; α)}{r'(cos \; β + i sen \; β)} = \frac{r}{r'} \cdot \frac{(cos \; α + i sen \; α) \cdot (cos \; β - i sen \; β)}{(cos \; β + i sen \; β) \cdot (cos \; β - i sen \; β)} = \\ \frac{r}{r'} \cdot \frac{(cos \; α \cdot cos \; β + sen \; α \cdot cos \; β) + (sen \; α \cdot cos \; β - cos \; α \cdot sen \; β)i}{cos^2 \; α + sen^2 \; β} = \\ \frac{r}{r'} \cdot (cos(α-β) + i sen(α-β))

Y el resultado del cociente es un número complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos.

20

$r_α \cdot r'_β = (r \cdot r')_{α+β}$

$\dfrac{r_α}{r'_β} = \left(\dfrac{r}{r'}\right)_{α+β}$

21

2.3 Potencias de complejos en forma polar

22

Potencias de $i$

23

2.4 Raíces de números complejos

Observa que:

Todo número complejo tiene n raíces n-ésimas. Los afijos de estas n raíces están situados sobre una circunferencia y son los vértices de un polígono regular de n lados.

24

2.5 Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios⁴ para practicar las operaciones con complejos. Puedes elegir el tipo en el menú. De todos ellos se ofrece la solución.

Adaptación de una escena de Consolación Ruiz Gil para Red Educativa Digital Descartes.

25

Capítulo III

Algunas aplicaciones

3.1 Operaciones con complejos y transformaciones geométricas

Traslación

Figura 3.1. Detalle de la obra de M. C. Escher "Bird/Fish", tomada de wikiart.org.

29

Giro de centro el origen

Figura 3.2. Detalle de la obra de M. C. Escher "Butterfly", tomada de wikiart.org.

30

Homotecia y giro

Figura 3.3. Detalle de la obra de M. C. Escher "Smaller and smaller", tomada de wikiart.org.

31

Autoevaluación

35

Tabla de contenido

Introducción

La forma binómica

1.1 ¿Por qué los números complejos?

1.2 Parte real y parte imaginaria

Para practicar

1.3 Operaciones con complejos: sumar y restar

Para practicar

1.4 Operaciones con complejos: producto y cociente

La forma polar

2.1 Módulo y argumento de un número complejo

2.2 Producto y cociente de complejos en forma polar

2.3 Potencias de complejos en forma polar

Potencias de iii

2.4 Raíces de números complejos

2.5 Ejercicios para practicar

Algunas aplicaciones

3.1 Operaciones con complejos y transformaciones geométricas

Traslación

Giro de centro el origen

Homotecia y giro

Autoevaluación

Autoevaluación

Potencias de $i$