Objetivo

Expresar $ca^{-n}$ como $\frac{c}{a^{n}}$.

Procedimiento

Para poder entender el significado de un exponente negativo es necesario conocer primero el significado de un exponente positivo y las leyes de los exponentes. Utilizando estos dos elementos es fácil entender el significado del exponente negativo como una generalización de la idea del exponente.

Solución

Primero debemos recordar el significado de un exponente positivo. Cuando escribimos $a^{5}$ lo que en realidad queremos decir es que multiplicamos $a$ cinco veces por ella misma, es decir, $a^{5}=a×a×a×a×a$. Como consecuencia de esta definición es evidente que, por ejemplo $a^{2}×a^{3}=a×a×a×a×a=a^{5}$, es decir, las potencias se suman. En general $a^{m}×a^{n}=a^{m+n}$. La generalización natural de esta fórmula, incluyendo potencias negativas, es que $a^{m}×a^{-n}=a^{m-n}$. Por ejemplo $a^{4}×a^{−3} = a^{4}×a^{−3} = a^{4−3}=a^{1}=a$. En este ejemplo se ve que multiplicar por $a^{−3}$ da como resultado lo mismo que dividir entre $a^{3}$. Una manera sencilla de observar esto es escribirlo explícitamente:

$$\frac{a^{4}}{a^{3}} = \frac{a×a×a×a}{a×a×a} = a$$

En general, podemos decir que elevar un número a un exponente negativo es lo mismo que dividir entre el número elevado a la misma potencia pero con signo positivo. En otras palabras:

$$c×a^{−n} = \frac{c}{a^{n}}$$

Un ejemplo de esto sería:

$$11×4^{-9}=\frac{11}{4^{9}}$$

Para poder realizar esta operación es importante que el denominador sea distinto de cero, de lo contrario se tendría una división entre cero, lo cual no puede hacerse.

En el siguiente ejemplo cambia los valores de $a$, $c$ y $n$ con los pulsadores, para ver como cambia la expresión.

Observa que el exponente no afecta a $c$. Si el exponente es uno, no se escribe.

Ejercicios