Objetivo

Expresar $\frac{c}{a^{n}}$ como $ca^{-n}$.

Procedimiento

Cuando un número se multiplica por otro elevado a una potencia negativa, en realidad significa que se va a dividir entre ese número elevado al exponente positivo (al valor absoluto): $ca^{-n}= \frac{c}{a^{n}}$. Inversamente, la división entre un número elevado a una potencia puede escribirse como el producto por el número elevado a la potencia pero con el signo cambiado: $\frac{c}{a^{n}} = ca^{-n}$.

Solución

Al utilizar un número elevado a una potencia positiva, lo que en realidad estamos haciendo es escribir el producto de un número por sí mismo varias veces (el número de veces indicado por la potencia). Ésta es una convención útil para escribir las expresiones de forma abreviada. Cuando hablamos de números elevados a potencias negativas, el significado no es tan inmediato porque no estamos acostumbrados a usarlo tanto como para las positivas. En el caso de una potencia negativa, lo que significa es que el número que estamos elevando a la potencia negativa se encuentra como divisor tantas veces como la potencia a la que lo estamos elevando pero con signo positivo. Por ejemplo: $a^{-3} = a^{-1}×a^{-1}×a^{-1} = \frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\frac{1}{a} = \frac{1}{a×a×a} = \frac{1}{a^{3}}$.

Usando este resultado podemos escribir la expresión $\frac{3}{2^{3}}$ como $3×\frac{1}{2^{3}} = 3×2^{−3}$. De forma general, si $c$ es cualquier número, $a$ es un número distinto de cero y $n$ es un número entero positivo, podemos escribir $\frac{c}{a^{n}} = c×a^{−n}$.

Un ejemplo de esto sería:

$$\frac{7}{3^{6}}=7×3^{-6}$$

Para poder realizar esta operación es importante que $a$ sea distinta de cero, de lo contrario se tendría una división entre cero, lo cual no puede hacerse.

En el siguiente ejemplo cambia los valores de $a$, $c$ y $n$ con los pulsadores, para ver como cambia la expresión.

Observa que el exponente no afecta a $c$. Si el exponente es uno, no se escribe.

Ejercicios