Hay una tendencia a tratar de asociar o encontrar en todo aquello que es bello la proporción áurea o divina, o a construir objetos a partir de esta razón porque se presuponen serán apreciados como bellos por el simple hecho de seguir dicha pauta. Esto, como no, también ha acontecido con la modelación matemática de la concha del Nautilus pompilius sobre la que suele afirmarse que su forma y crecimiento es áureo. Sin embargo, en este artículo se muestra y se analiza en detalle cómo dicha concha lo que realmente sigue es un patrón ubicado en la denominada proporción cordobesa o humana. Con apoyo en un recurso interactivo desarrollado con la herramienta Descartes se motiva el análisis y comportamiento y se procede a partir de la yocto-yotta realidad observada a construir el modelo matemático, el cual se detalla ampliamente.

Pulsando sobre la siguiente imagen se accede a dicho recurso interactivo que se aborda o plantea en seis fases:

1. 1. 1. Ajuste de la concha por una espiral logarítmica.
      2. Ajuste del sifúnculo por una espiral logarítmica.
      3. Ajuste global por una familia de espirales cordobesas.
      4. Mejora del modelo discreto.
      5. Aproximación de los septos.
      6. Modelo matemático del Nautilus pompilius.

Y en el botón de indicaciones se aborda una introducción, los objetivos, las instrucciones de uso en cada fase y finalmente se enlaza un artículo donde se detalla el análisis matemático realizado.  Este artículo está embebido a continuación o bien puede abrirse y/o descargarse desde este enlace.

 En las conclusiones del artículo anterior afirmamos:

A través del detallado y progresivo análisis realizado hemos ido construyendo la base teórica o modelo matemático que soporta a la bella morfología del Nautilus Pompilius y hemos tratado del encontrar el modelo de crecimiento que conduce a poder explicar y a comprender por qué adquiere esa forma.  Desde su inicio la espiral logarítmica cordobesa tomó presencia y a medida que la mirada se deslizaba hacia algún nuevo detalle esta espiral ha vuelto a imponer su presencia marcándonos y alumbrándonos el camino del descubrimiento y de la adquisición del conocimiento. La belleza del Nautilus pompilius se sustenta en la proporción cordobesa o humana y todo punto de su concha o del interior ha quedado determinado por la intersección de dos espirales cordobesas. El germen o base inicial matemática que explica el por qué acontece todo lo observado, se ha ubicado en el crecimiento gnomónico de un triángulo cordobés, las propiedades de éste se trasladan al desarrollo y comportamiento global detectado y modelado.

Deseamos que nuestro trabajo de investigación satisfaga tu curiosidad y te animamos a interactuar con nosotros bien realizando algún comentario en este blog (los comentarios no se publicarán directamente sino que pasan por una moderación previa a su publicación) o bien escribe al correo de nuestra RED Descartes: descartes@proyectodescartes.org. 

Proporcionalidad. Las Espirales XIII

Entre las innovaciones producidas en el ámbito de colaboración de la Red Educativa Digital Descartes destaca la continua aportación de nuevas unidades a los subproyectos: TELESECUNDARIA, GEOgráfica-GEOevaluación y PLANTILLAS.

Como muestra enlazamos la unidad sobre Probabilidad, del subproyecto TELESECUNDARIA,

la GEOevaluación de Francia.

y los cinco ejemplos de plantillas transparentes, de los que enlazamos el primero.

Dentro de nuestro ámbito local destacan, entre otras, la permanente actualización del Proyecto ED@D en particular los materiales de 2º y 4º LOMCE y LOE y la experiencia: Aprendemos a resolver problemas con Descartes y Wiris
Aprendemos a resolver problemas con Descartes es una iniciativa del Departamento de Matemáticas del IES Bajo Guadalquivir de Lebrija, realizada con alumnos y alumnas de 4º ESO durante el curso escolar 2015/2016, basada en la experiencia para el "Desarrollo de la comunicación audiovisual a través de las Matemáticas con Descartes"

Continuando con el estudio de los l.g. y sus utilidades se expone a continuación una escena con el primero de los métodos para duplicar un cubo, esto es, dado un cubo de arista a y volumen V halla, mediante la Duplicatriz de Hipócrates, un segmento de longitud a'= a·2^1/3 que será la arista del cubo de volumen V' = 2·V.

La escena, en primer lugar, construye dinámicamente la curva duplicatriz pulsando en el botón , en el momento en que la recta MA corta a la recta PO (M = C y A = B) se activa el botón de información que al pulsarlo deja ver un breve texto con la definición del l.g. y una demostración, que usa la construcción de Platón, del hecho de la duplicidad. En cualquier instante puede detenerse la animación mediante el botón .

La escena es facilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que el usuario considere convenientes para su uso personal.

En el siguiente trabajo se muestra la forma en que se genera el l.g. conocido como Cisoide de Diocles y la manera de encontrar con dicha curva el segmento que sirva de arista al cubo que doble en volumen a uno inicial dado.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la primera parte del que se ha mostrado en las últimas entradas. El objetivo de este vídeo es el de apreciar distintas formas de enfocar el tema que nos ocupa: "Las Espirales.

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" hemos añadido al menú de tipos de espiral una nueva opción: "la espiral de Cornu" tal y como anunciamos en artículos anteriores.
En esta ocasión hemos procedido de la siguiente manera:

• Hemos creado la siguiente escena: Espiral de Cornu (pulsad sobre la imagen para acceder a ella). Debemos advertir que, tal y como hemos procedido, esta realiza cálculos intensivos con números extremadamente grandes y pequeños, lo que hace que la ejecución de la misma sea muy lenta. Esta manera de proceder tiene la intención de hacer visible la sensibilidad de las aproximaciones polinómicas y sus efectos secundarios según muestra el trabajo posterior realizado con GeoGebra y que puede reproducirse con la escena actual con unas pocas modificaciones.

• Inclusión de parte del código de la escena anterior en el de la miscelánea en proyecto.

La escena del proyecto puede verse a continuación:

Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral de Cornu incluida.

En el siguiente trabajo realizado con GeoGebra, al activar la animación puede observarse como se genera el lugar geométrico conocido como curva Duplicatriz. En primer lugar se obtienen las dos medias proporcionales, propuestas por Hipócrates, entre dos segmentos de longitudes a y 2·a, donde a es la longitud de la arista del cubo inicial. A continuación la curva determina el segmento que se usará de arista del cubo de volumen doble al primero. Para la demostración se usa la composición de triángulos rectángulos semejantes atribuida a la escuela platónica.

De los recursos de la web de GeoGebra hemos tomado como origen para el análisis de las características de la aproximación polinómica de las integrales de Fresnel el "material-956849" y entre otras hemos encontrado ocurrencias como las que se exponen a continuación, que se ponen en evidencia pulsando el botón 'GO'.

En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo nuevas espirales entre sus funcionalidades y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:

• Documentación de Yuli Andrea Rodríguez Rodríguez y Benjamin R. Sarmiento Lugo
• El problema de la Duplicación del cubo de Juana Contreras S. y Claudio del Pino O. Instituto de Matemática y Física. Universidad de Talca.
• Una aproximación a la curva de transición Clotoide vista desde Mathematica de:
  Luís Blanch, Emilio Checa, Josefa Marín
  Universitat Politecnica de Valencia
  lblanch@cgf.upv.es, echeca@mat.upv.es, jomarinm@mat.upv.es
• Problema de la duplicación del cubo de Juan Pablo Mora.
• Y otros documentos buscados en Internet.

Ildefonso Fernández Trujillo