Proporcionalidad. Las Espirales II

Entre las innovaciones producidas en el ámbito de la Red Educativa Digital Descartes cabe destacar el impresionante impulso que ha tenido el estudio generalizado de las espirales logarítmicas y la particularización al caso de las gnomónicas entre las que se han destacado las de proporción Divina y Humana. En esta línea el profesor Ángel Cabezudo Bueno ha dotado a la espiral humana de una nueva envoltura aproximándola gnomónicamente mediante funciones exponenciales. Estas son, con sus propias palabras, las razones que aporta para llevar a cabo la acción a la vez que ofrece unas instrucciones de uso de la escena que ha creado.

Espiral gnomon-exponencial y su correspondiente espiral logarítmica

Aparte de la proporción áurea o divina hemos venido trabajando con la proporción cordobesa por ser más natural o humana.
Nos llamó la atención la proporción cordobesa e investigamos de ella algunas cuestiones:

• ¿Cuál es su espiral obtenida al modo con que se obtiene la espiral de Durero en relación a la proporción Áurea?
• El gnomon áureo es un cuadrado y la espiral puede construirse fácilmente con regla y compás, pues basta dibujar un cuadrante de circunferencia haciendo centro en un vértice y conectando los dos vértices opuestos. Repitiendo este proceso sobre los sucesivos gnómones podemos obtener una versión muy aproximada de la espiral logarítmica correspondiente.
  Queriendo hacer extensivo este procedimiento con el gnomon cordobés de lados desiguales nos fijamos en la elipse como curva que nos aproxima a la logarítmica correspondiente. El único inconveniente es que no se puede construir fácilmente, aunque sea de forma aproximada, con regla y compás. Además, piénsese que hay que dibujar cuatro arcos de elipse para cada vuelta de espiral. No obstante pudimos ver su dibujo utilizando DescartesJS, nuestra habitual herramienta matemática.
• Otras espirales basadas en el modelo gnomon-elipse se han podido así mismo dibujar y aunque su estética no nos ha disgustado además de cumplir con la condición de ser derivables en los puntos de enlace de los arcos de elipse, hemos querido probar otras aproximaciones.

Pensando que el modelo gnomon-exponencial, que consiste en trazar arcos de exponencial en vez de arcos de elipse, debería de dar resultados mejores me he puesto a hacer unos cálculos y al ver que la cosa iba saliendo bien pasé a programar una escena con Descartes.

Debo advertir que esta escena ha estado orientada a hacer algunas averiguaciones en relación con este modelo gnomo-exponencial y hacer algunas comparaciones con lo que ya teníamos, es decir la construcción con el modelo gnomon-elipse y la espiral logarítmica. Por tanto he descuidado, en esta ocasión, la utilización de recursividad para obtener vértices y longitudes de los lados de los sucesivos gnómones dado que este problema ya lo tenemos resuelto (sendas escenas una del profesor José Galo Sánchez y otra mía) y queriendo ver enseguida resultados he trabajado con los valores de estos elementos en los cuatro primeros gnómones (de 0 a π/2, de π/2 a π , de π a 3π/2 y de 3π/2 a 2π), completando así una vuelta de espiral. Bien es cierto que han bastado estos cuatro gnómones para observar la recurrencia al calcular los parámetros de la exponencial en cada gnomon:

A esta, en coordenadas polares, que formalmente es la misma que la de la correspondiente espiral logarítmica, le aplicamos las condiciones de contorno al gnomon donde va a ser trazada. Es decir para un gnomon de lados a y b cuyo radio vector debe de rotar entre Θ y Θ+Π/2 le imponemos las siguientes dos condiciones:

• Para el ángulo Θ se debe cumplir que r = a
• Para el ángulo Θ+π/2, se debe cumplir que r = b

Con estas dos condiciones podemos determinar los parámetros m y n. Resulta que

es una constante para todos los gnómones puesto que   para cualesquiera a y b siendo k=razón de proporcionalidad (k=1,307 para la cordobesa, k=1,618 para la áurea, etc.)
Los valores de m siguen esta ley de recurrencia: .......
O bien teniendo en cuenta que podemos escribir
........
La curva resultante es derivable en los puntos de empalme.
Un cambio de base c ≠ e en la exponencial es posible

r= m₀·c^n₀·θ        (2)

verificándose que
Para el caso k=1,618 (áurea), tenemos a = b (gnomon cuadrado) y la exponencial se convierte en circular pues con lo que la ecuación polar ahora es

r = m        (3)

Con el modelo gnomon-elipse la traza circular era un caso de elipse y con el modelo gnomon-exponencial la traza circular es un caso de exponencial.
Veamos algunas imágenes captadas de la escena que nos permite hacer algunos comentarios y de paso explicar algo de la funcionalidad de la misma:

Se representan sólo cuatro gnómones a partir del rectángulo ABCD:
1. 1. EDCF (polo en E)
   2. GFBH (polo en G)
   3. IHAJ (polo en I)
   4. FJEL (polo en F)
• • • El control k proporciona sucesivamente K=1,307 (cordobesa), k=1,618 (áurea), k=1,929 (otra).
    • Las correspondientes espirales logarítmicas a estos tres valores de k se obtienen poniendo a 1 su control que excluye al resto: Logarítmica Cordobesa, Logarítmica áurea y Otra logarítmica
    • Se pueden representar para cierto valor de k, sus aproximadas espirales gnomónica-con-elipses y gnomónica-con-exponenciales.
    • Las espirales para cierto k se pueden superponer para hacer comparaciones.

• • • El control ancho permite tres anchos de punto (1, 2, 3) de las curvas aproximadas. El ancho de la logarítmica es 1 fijo (se observa mejor la diferencia con ancho 1).
    • El parámetro s es un factor de escala de la espiral logarítmica, que facilita el ajuste a los vértices de los gnómones. Están fijados por defecto para cada una de las tres espirales.

Observar la buena aproximación que se consigue con el modelo gnomon-exponencial para la cordobesa.

El modelo gnomon-elipse para valores de k menores que 1,618 (áurea) no es muy bueno. Este es el caso de la cordobesa.

En la siguiente imagen podemos ver una comparativa de las tres espirales para el caso k=1,307 (cordobesa) al dibujarlas juntas.

Ver el buen acoplamiento de las trazas exponenciales para k=1,929 (otra)

Animamos a colaborar con los compañeros que están trabajando en el proyecto ed@d en moodle. El material que están elaborando puede suponer una mejora extraordinaria en la labor educativa con un aumento significativo en la cantidad y calidad de la información expuesta y en la comunicación alumno-alumno, profesor-alumno y viceversa.

Seguimos insistiendo en la necesidad de estar al día de las posibilidades operativas y de uso de los materiales y escenas de la Red Educativa Digital Descartes. Aconsejamos acudir a los foros y contenidos de la Documentación técnica de la herramienta de autoría DescartesJS, en especial a estos que llevan a la información de cómo crear animaciones y juegos interactivos para el aula.

Antes de comenzar con el desarrollo de las aplicaciones de la Proporcionalidad vamos a mostrar el vídeo que el profesor Antonio Pérez Sanz elaboró para el programa + por - de TVE.

Los siguientes enlaces nos llevan a páginas donde puede ampliarse el conocimiento de las espirales y el concepto, significado y enfoque del estudio de las mismas.

• Web de Antonio Pérez Sanz
• Real Sociedad Matemática Española
• Frase célebre
• Visión más espiritual

Continuamos con la creación de la miscelánea que con el título Las Espirales va a contener una serie de escenas donde se introducirán, estudiarán y representarán algunas espirales:  

Recordamos que la miscelánea que vamos a elaborar estará enfocada a mostrar el proceso de planificación y realización de dicha miscelánea teniendo en cuenta que los objetivos didácticos de cara al alumnado son: las aplicaciones de la proporcionalidad, el potencial de uso de las funciones trigonométricas elementales, logarítmicas y exponenciales, las ecuaciones paramétricas de una curva, la ecuación polar, las aplicaciones de la derivada y cualquier otro relacionado con el tema de estudio.

No debe olvidarse que estamos estudiando una de las aplicaciones del concepto de Proporcionalidad siguiendo algunos de los materiales que están disponibles en el Proyecto Descartes y, eventualmente, algún otro contenido que por su indudable interés lo merezca.

También recordamos que al escenario donde va a desarrollarse la acción (E1) le hemos asignado unas dimensiones de 800x612 y dentro de este espacio general definiremos tres espacios rectangulares según muestra la siguiente imagen.

En el artículo anterior se mostró la manera en que se había realizado la siguiente escena

hasta la creación, configuración y posicionamiento del control de tipo menú y de nombre "Espiral". La siguiente imágen muestra todos los controles necesarios para hacer que la escena funcione.

Aconsejamos descargar la escena, abrirla con el editor DescartesJS y analizar detenidamente las propiedades de cada control. Si en este punto se tiene alguna duda el autor o la administración del Blog atenderán las consultas.

El código que corresponde a los controles se puede examinar, y modificar, abriendo el archivo descargado "espiralesA.html", con un editor de texto plano. Las líneas que corresponden a dichos controles son las que comienzan por: <param name="C_x" que en nuestro caso llegan hasta <param name="C_16". Recordamos que se debe tener mucha precaución al editar directamente el código.

Ahora, seleccionando en el editor de código la opción Definiciones, observamos

Se ha definido la función fpa que calcula la tengente de un ángulo dado en radianes para facilitar el dibujo de las familias de puntos.

En la opción Programa aún no se ha definido nada y en Gráficos se han definido varios puntos, segmentos etc... como puede comprobar el lector si abre dichas opciones de menú. En el próximo artículo explicaremos cada uno de los gráficos definidos.

Más adelante, cuando la primera fase esté completa, implementaremos los espacios informativos con los detalles de cada espiral y veremos la manera de sincronizar las distintas partes de la información.

Queremos adelantar, por si el lector desea hacer prácticas por su cuenta y luego comprobar los resultados, que una vez analizada la escena tal como está ahora, vamos a integrar en ella esta otra.

dedicada a la espiral de Teodoro

Pitágoras

En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena, analizando el subproyecto Misceláneas, y las nuevas posibilidades que el código ofrece.

Animamos a los lectores a colaborar en el proyecto elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Ildefonso Fernández Trujillo

¿Tus hijos empiezan 4º de Primaria y quieres actividades para que practiquen en casa?

¿Eres profesor de un grupo de 4º de Primaria y estás buscando nuevos materiales para tus clases?

Hoy presentamos algunos proyectos de la Red Educativa Digital Descartes en los que encontrarás materiales interesantes para este nivel.

¿Qué es el Proyecto Canals?

Se trata de objetos de aprendizaje interactivos a partir de un conjunto de materiales elaborados por la profesora Maria Antònia Canals.

Con actividades de cálculo, estadística, geometría, lógica y problemas.

En el Proyecto Pizarra Interactiva...

Encontrarás secuencias didácticas para la Educación Primaria en Lengua Castellana (gramática, vocabulario, ortografía y escritura) y Matemáticas (números, medidas, geometría y estadística).

Con las actividades de Unidades didácticas...

Podrás ampliar conocimientos y practicar con actividades de álgebra, cálculo y geometría.

Proyecto Competencias:

Un proyecto con recursos interactivos para la formación y evaluación competencial cuyos contenidos se basan en unidades liberadas PISA y Pruebas de Evaluación de Diagnóstico de diferentes Comunidades autónomas.

Este mes hemos una unidad de 4ºESO Opción B correspondiente a trigonometría.

Este mes hemos trabajado los siguientes contenidos:

1.Los ángulos y su medida
   Recorridos en la circunferencia
   Radianes
   Grados sexagesimales
   De radianes a grados
   Midiendo ángulos

2.Razones trigonométricas  
   Razones trigonométricas
   Sen y cos en la circunferencia
   Tangente en la circunferencia
   Razones de 30º, 45º y 60º

3.Relaciones trigonométricas
   Relaciones fundamentales

4.Resolver triángulos rectángulos
   Con un ángulo y la hipotenusa
   Dados un ángulo y un cateto
   Conocidos dos lados

5.Razones de ángulos cualesquiera
   Seno
   Coseno
   Tangente

6.Aplicaciones de la trigonometría
   Resolver problemas métricos

Hoy presentamos el recurso Horario, que pertenece al Proyecto Formación Competencial de la Red Educativa Digital Descartes. Este recurso se ha realizado a partir de las pruebas de evaluación diagnóstico de la Junta de Extremadura para 4º de Primaria.

Como en todas las actividades del proyecto competencias, se presenta un estímulo al que siguen una serie de preguntas relacionadas. El objetivo es la aplicación de los contenidos académicos y su conexión con la realidad del estudiante.

En este caso el alumno deberá realizar ejercicios de medida del tiempo partiendo de un hecho tan cotidiano como puede ser su horario de clase.

También mostramos cómo añadir este recurso en nuestra aula virtual moodle, utilizando el código para abrir en una ventana emergente.

Este mes vamos a ver una unidad de 4ºESO sobre los números reales:

En el vídeo hemos tratado los siguientes temas:

1.Números racionales e irracionales
   Decimales periódicos
   Fracción generatriz
   Números racionales
   Números irracionales
   Números reales

2.Calculando con números reales
   Aproximaciones
   Medida de errores
   Notación científica

3.La recta real
   Ordenación de los números reales
   Valor absoluto
   Intervalos

Hoy presentamos un vídeo en el cual se indican los pasos a realizar para embeber una actividad interactiva de la Red Educativa Digital Descartes en nuestro blog, a partir del código de la escena.

En vídeos anteriores hemos visto cómo embeber actividades de la Red Descartes en nuestro blog utilizando el código iframe:

  <iframe style='width: ..px; height: ..px;' src='dirección web de la página'></iframe>

En el cual deberemos escribir las dimensiones y la dirección web de la página de la actividad.

Pero en algunos casos es posible que deseemos embeber solamente la escena con la actividad y no toda la página. En este caso deberemos utilizar el código que genera la escena.

Para copiar dicho código procederemos de la siguiente forma:

• Elegimos la actividad que queremos embeber, en este caso hemos seleccionado una escena del tema 1 de la unidad Funciones y Gráficas para 4º de la ESO del Proyecto ED@D.  para 4º de la ESO del Proyecto ED@D.
• Situamos el ratón sobre la escena y pulsamos el botón derecho.
• Se abre una ventana auxiliar, activamos el botón config que nos da acceso al código y lo copiamos.

Una vez copiado el código, activaremos la edición en html de la página de nuestro blog y lo pegaremos. Deberemos comprobar que contiene el parámetro docBase (para las imágenes y recursos auxiliares) y la línea de código del script de llamada al intérprete.

Una opción interesante que nos permite Blogger es la posibilidad de alojar el script en la plantilla de nuestro blog, lo cual nos ahorra tener que estar pendientes de su inclusión en los códigos y además agilizará la activación de las escenas.

Activaremos la edición de la plantilla de nuestro blog y situaremos, en la cabecera, entre <head> y </head>, la línea de código:

  <script type='text/javascript' src='http://arquimedes.matem.unam.mx/Descartes5/lib/descartes-min.js'></script>

Veamos ahora el siguiente vídeo en el cual se muestra el proceso a seguir, paso a paso:

¿Estás buscando actividades para los más pequeños?

En el recurso que hoy presentamos, encontrarás actividades de recuento que te permitirán introducir los números de forma lúdica y motivadora. Se trata del objeto digital interactivo Recuento de objetos perteneciente al Proyecto Canals, un recurso con escenas para iniciar y ejercitar el recuento, incluye sonido y es adecuado para parvulario y primer curso de primaria.

Los recursos interactivos del Proyecto Canals están formados por actividades de matemáticas adecuadas para infantil, primaria y primero de la ESO y han sido desarrollados en base a los materiales elaborados por la profesora Maria Antònia Canals.

Añadimos el recurso en nuestra aula virtual moodle

Aunque desde la página del objeto digital podemos acceder directamente a las actividades a través de un hiperenlace, en este caso vamos a descargar el archivo comprimido para subirlo a nuestra aula virtual moodle.

Para iniciar la actividad en nuestro curso moodle deberemos proceder de la siguiente manera:

1. Descargar la carpeta comprimida desde la página del objeto
2. Activar el modo edición en nuestro curso moodle y seleccionar el recurso archivo
3. Subir la carpeta comprimida
4. Descomprimir y abrir la carpeta
5. Seleccionar el documento index.html como archivo principal

En el siguiente vídeo puedes ver con detalle todo el proceso:

Este mes vamos a tratar una unidad sobre funciones y gráficas correspondiente a 4º de la ESO:

En el video hemos tratado los siguientes apartados:

1. Funciones
   Concepto
   Tablas y gráficas
   Dominio y recorrido
   
2. Propiedades
   Continuidad
   Simetrías
   Periodicidad
   Tendencia
   
3. Monotonía
   Tasa de variación media
   Crecimiento y decrecimiento
   Máximos y mínimos

Este mes vamos a ver una unidad de estadística de 3ºESO:

Los contenidos del tema tratado son:

1.Hacer estadística
Necesidad.
Población y muestra
Variables

2.Recuento y gráficos
Recuento de datos
Gráficos
Agrupación de datos en intervalos

3.Medidas de centralización
y posición
Media
Moda
Cuartiles y mediana

4.Medidas de dispersión
Rango y desviación media
Desviación típica
Coeficiente de variación

Estrategia

Estrategia

Hacer cualquier cosa que se esté haciendo de la mejor manera posible es inherente a la acción, parte de ella y muchas veces la manera de hacer eclipsa al hecho.

Conseguir hacer algo, o conseguir algo, que a priori no es evidente ni inmediato por propia iniciativa y esfuerzo produce satisfacción intelectual y muchas veces placer, particularmente cuando en el desarrollo del proceso intervienen el mundo de las formas, el mundo de las ideas, las metafísicas de ambos mundos, y las realidades paralelas con sus respectivas metafísicas.

Crear es seguir el método adecuado. Por eso la estrategia es arte.

Arte de planear y dirigir las operaciones bélicas o militares.

Arte de dirigir las operaciones militares.

Técnica y conjunto de actividades destinadas a conseguir un objetivo.

Arte, traza para dirigir un asunto.

En un proceso regulable, conjunto de las reglas que aseguran una decisión óptima en cada momento.

Camuflaje - estratega - estratégico - táctica - maniobra - habilidad - pericia

Construir - Dibujar - Pintar - Esculpir - Resolver

Tocar - Hablar - Componer - Escribir

Pensar.

En la situación concreta que nos ocupa, en la que tenemos un cuadrado con nueve celdas iguales, las cuales debemos rellenar con los números del 1 al 9, sin repetirlos y de manera que la suma de los números de cada fila, cada columna, la diagonal principal y la diagonal secundaria sea la misma, la intuición nos indica que los números de mayor peso: 7, 8 y 9 no pueden estar en la misma fila, columna o diagonal por razones obvias. También se llega rápidamente, por los mismos motivos anteriores, a que dos de ellos no pueden estar alineados.

Entonces esas tres cifras deben ocupar las posiciones siguientes.

Por señalar algunas de ellas.

Con un número mínimo de pruebas observamos que el 9 no puede ir en los vértices de las diagonales ni tampoco el siete pues de inmediato se produce sobresuma o necesidad de duplicidad, así que la disposición de las tres cifras mayores está perfectamente delimitada.

Ahora podríamos seguir nuestra conjetura con la cifra que va en el centro, que a poco que ensayemos resulta que únicamente puede ser el... y claro, encontrar la posición de las demás cifras es trivial.

Siguiendo esta estrategia preguntarse cuanto debe sumar cada línea es redundante pues los propios ensayos van delimitando lo que es; o no, posible para cumplir el objetivo.

Si se quiere proponer esta situación en clase y a la par desarrollar otras competencias del currículo puede usarse la intuitiva miscelánea de Salvador Calvo-Fernández Pérez "cuadrado mágico" para efectuar los ensayos hasta dar con la solución usando el siguiente enlace, o bien puede descargarse la miscelánea desde este enlace, donde también puede usarse directamente.

Para comprobar la bondad de la estrategia encontrada podemos intentar extenderla a cuadrados de 4x4, 5x5 ect. en este vídeo. Puede observarse como se crea una estrategia para cuadrados de 4x4 y a partir de dicha observación podemos extender la solución a cuadrados más complejos.

En el enlace vinculado a la siguiente imagen nos lleva a una hoja de Excel donde puede observarse el método para obtener cuadrados mágicos de hasta 11x11 pudiendose ampliar facilmente la dimensión del cuadrado y, si se desea, analizar la estrategia de construcción de los mismos.

Las misceláneas

Como hemos comprobado en este artículo para casi cualquier situación que planteemos en clase existe una miscelánea que puede ayudarnos en el desarrollo de la práctica. En el siguiente video se muestra como acceder a las misceláneas del Proyecto Descartes, como usarlas en línea o como descargarlas para su uso en local.

Desde aquí os animamos a participar en el proyecto aportando misceláneas o sugiriendo utilidades que no existan y considereis que sería conveniente disponer de ellas.