Se presenta la miscelánea:Gradiente y curvas de nivel

En esta escena se muestra la propiedad siguiente del gradiente: el vector gradiente de una función de dos variables en un punto P es ortogonal a la curva de nivel C que pasa por dicho punto, esto significa que es ortogonal al vector tangente a la curva C en el punto P.

La miscelánea se puede configurar modificando el valor de la función e introduciendo o bien un punto P, o bien un valor de k de manera que al hallar la intersección de la gráfica de la función con el plano z=k nos permita determinar la curva de nivel. En el primer caso, cuando se da las coordenadas del punto P, la curva de nivel se obtiene considerando k como el valor f(P).

A partir de estos datos se representa, por un lado, la superficie de la función, y por otro, la curva de nivel. Se tiene además la posibilidad de incluir las coordenadas de un vector cualquiera para comprobar que únicamente será ortogonal a la curva de nivel en el punto, cuando sea proporcional al gradiente en dicho punto.

En la miscelánea se ha incluido también un botón que, al pulsar sobre él, nos conduce a la demostración de esta propiedad del gradiente.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea:Gradiente y curvas de nivel

Se presenta la miscelánea: Interpretación geométrica de la derivada direccional

Igual que ocurría en el caso de la derivada de una función de una variable en un punto, la derivada direccional de una función f de dos variables en un punto P es la pendiente de una recta. En este caso se trata de la recta tangente a la superficie, gráfica de la función f, en el punto f(P) que además está contenida en el plano vertical que contiene al punto P y a la dirección.

Como las derivadas direccionales en las direcciones paralelas al eje X y al eje Y son las derivadas parciales, la escena también permite mostrar su interpretación geométrica.

Introduciendo la expresión de la función y las coordenadas del punto, la miscelánea guía en la construcción de la recta tangente cuya pendiente coincide con la derivada direccional que se elija.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea: Interpretación geométrica de la derivada direccional