Título: Completa frases
Sección: Plantillas
Bloque: Herramientas de edición
Unidad: Miscelánea
Idioma: Castellano
Autor: Juan Guillermo Rivera Berrío

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Título: Completa palabras
Sección: Plantillas
Bloque: Herramientas de edición
Unidad: Miscelánea
Idioma: Castellano
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 Proporcionalidad. Las Espirales VIII

Entre las innovaciones producidas en el ámbito de colaboración de la Red Educativa Digital Descartes destacan las aportadas por la Red Educativa Digital Descartes Colombia (colDescartes) y la Red Educativa Digital Descartes España que, coordinadas por el profesor Juan Guillermo Rivera Berrío, han añadido al subproyecto GEOgráfica una importante cantidad de contenidos, lo que ha hecho necesario dividir el subproyecto inicial en varios subproyectos: GEOcapital, GEOdiver, GEOcolor y GEOevaluación (en estado muy avanzado), estando en fase de desarrollo los de: GEOmontañas y GEOrios, los tres primeros pueden verse y descargarse siguiendo el enlace gráfico siguiente.

GEOevaluación. Bandera - País

El carácter evaluativo - formativo de estas unidades es extraordinario según se manifiesta en la escena anterior y en las que enlazamos a continuación.

También cabe señalar el desarrollo de todo un nuevo subproyecto "PLANTILLAS CON DESCARTES-JS que proporciona herramientas para la creación de contenidos lúdico-didácticos."

Dentro de nuestro ámbito local destacan, entre otras muchas, las siguientes aportaciones:

• Dos libros digitales e interactivos en el apartado de Física y Química del subproyecto iCartesiLibri: Teoría de la relatividad y Máquinas térmicas.

• La sorprendente y hermosa Miscelánea La espiral Logarítmica

• Dentro del subproyecto "Unidades Didácticas" la extensa e instructiva unidad Puzles Descartes que dota a la creación de escenas con el editor DescartesJS de una herramienta versátil y potente para la elaboración de objetos educativos lúdicos e interactivos.

• La Miscelánea sobre la espiral de Arquímedes que sigue la corriente de mostrar los conceptos complicados, composición de movimientos, mediante la visualización del hecho de forma que es posible intervenir en la escena modificando los parámetros que la definen, con lo que la comprensión del concepto se facilita sobremanera, por lo tanto la miscelánea que se presenta es, por derecho propio, un objeto educativo lúdico e interactivo con un potencial formativo sobresaliente.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la manera de dibujar la espiral áurea con regla y compás con objeto de apreciar diferentes formas de enfocar el tema que nos ocupa.

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" hemos añadido al menú de tipos de espiral una nueva opción: "la espiral de Fibonacci" tal y como anunciamos en el artículo del mes pasado.
En esta ocasión hemos procedido de la siguiente manera:

• Hemos creado la siguiente escena: Espiral de Fibonacci

  
  

• Inclusión del código de la escena anterior en el de la miscelánea en proyecto.

La escena del proyecto puede verse a continuación:

Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral de Fibonacci incluida.

También, relacionando, mediante el programa GeoGebra, la espiral con el Fenaquistiscopio, quisiera enlazar el siguiente trabajo de Nicolas Erdrich.

En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo nuevas espirales entre sus funcionalidades y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a los lectores a colaborar en el proyecto elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Ildefonso Fernández Trujillo

Una hormiga está sobre una superficie que gira a una velocidad angular constante y se está desplazando, también a una velocidad constante, siguiendo una línea recta que pasa por el centro de giro.  ¿En qué posición está en cada instante? ¿Cuál es la trayectoria que sigue?

Este planteamiento dinámico conduce a una antiquísima curva estudiada por Arquímedes y que describió, en torno al 225 a. C., en su libro "Sobre las espirales". Por ello lleva su nombre: "La espiral de Arquímedes.

( gif animado descargado desde http://gifsanimados.de/hormigas )

Y en la miscelánea que hemos publicado en nuestro servidor de contenidos puedes ver el camino que sigue nuestra laboriosa hormiga seleccionando las velocidades que desees y observando en qué influyen éstas.

A partir de la construcción dinámica --dependiente del tiempo--, se procede al análisis de esta curva que se inicia con la obtención de la relación --digamos estática o atemporal-- entre la distancia y el ángulo polar. Ésta es la ecuación algebraica en coordenadas polares de la espiral de Arquímedes y nos permite identificar el significado físico de los dos parámetros específicos de la misma. El primero es la posición o distancia inicial al centro de giro o polo y el segundo es la relación entre la velocidad lineal y la angular:

Interactuando con la escena y manteniendo inicialmente el parámetro b fijo, podremos observar como la variación del parámetro a lo que se produce es un giro en la curva, y podremos ver dos ramas que tienen simetría especular.

En el caso particular que b sea cero la espiral degenera en una circunferencia e incluso en un punto si también se tiene que a es cero.

En una última instancia se puede verificar analítica y experimentalmente como todos los puntos de la espiral que están situados sobre la recta de ecuación q = constante son equidistantes entre sí y, por tanto, sus distancias al polo constituyen una progresión aritmética de diferencia 2pb. Por esta razón, a la espiral de Arquímedes, también se le denomina espiral aritmética.  

Pulsando sobre la imagen siguiente puedes acceder al contenido de esta miscelánea:

¡Te deseamos un buen aprendizaje siguiendo a nuestra hormiga!

Título: La espiral de Arquímedes
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría plana
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez, Ángel Cabezudo Bueno e Ildefonso Fernández Trujillo

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Los fenómenos físicos son dependientes de las características intrínsecas del medio en el que se desarrollan. Por tanto, pueden estar influidos o condicionados por la forma del espacio en el que acontecen o en el que se manifiestan. Por ejemplo, en un espacio euclídeo, dos rayos de luz emitidos en direcciones paralelas continuarán su viaje indefinidamente sin intersecarse. Sin embargo, si el espacio de propagación es curvo, geometrías no euclídeas, convergerán o divergirán según su curvatura sea positiva o negativa.

Hiperboloide, cilindro y esfera con curvatura de Gauss negativa, nula y positiva respectivamente
Fuente de la Imagen wikipedia

¿Cómo un habitante de un determinado mundo puede investigar y conocer la forma del espacio en el que habita? Nosotros, como habitantes tridimensionales, observamos diferencias evidentes en la forma que tienen los mundos bidimensionales, las superficies, representadas en la imagen anterior. Pero un habitante bidimensional de alguno de esos lugares ¿cómo puede saber la forma que tiene la superficie que habita? La respuesta puede encontrarse en una relectura del párrafo inicial realizada desde otra perspectiva, es decir, si ese habitante emite dos rayos de luz y comprueba que divergen, entonces su mundo tiene curvatura negativa; si no se intersecan tiene curvatura nula y se cortan su curvatura es positiva. Así pues, un experimento físico realizado en el mundo que habita le permite determinar y confirmar la forma de su hábitat, lo puede ver matemáticamente, aunque no pueda verlo nunca de una perspectiva exterior. La clave la encontramos en la curvatura, ésta es la herramienta matemática que nos permite saber, observar, lo que nunca podremos ver.

De manera análoga un habitante unidimensional, el de una línea, podrá conocer la forma de su espacio vital si es capaz de determinar la curvatura de la misma y para ello, al igual que antes, puede basarse en  algún experimento físico que permita discriminarla. Por tanto, el concepto de curvatura en una línea es un conocimiento previo que ha de comprender y adquirir como base de su investigación. Y al aprendizaje de este concepto le ayuda, nos ayuda, nuestra compañera Consolación Ruiz Gil (Solín) con su unidad didáctica titulada “Curvatura” en la que nos lleva al taller, al laboratorio matemático, y nos introduce progresivamente en ese concepto y en su medida. Para ello:

• Tomando como referencia a la circunferencia, curva básica en el estudio geométrico, introduce la medida de su curvatura deduciendo cómo depende de su radio y por tanto es siempre una cantidad positiva. Ésta, disminuye a medida que es mayor el radio e incluso como situación límite puede asignarse a una línea recta una curvatura nula.
• Se plantea un segundo acceso al taller al tratar de dar respuesta a la medición de la curvatura a cualquier otra curva en un determinado punto y, para ello, se marca la estrategia de aproximarla en él por un arco de circunferencia, aquel que más se le asemeja, y consecuentemente asignarle como curvatura la de esa arco. A partir de lo experimentado en este taller, Solín procede a plantear analíticamente cómo determinar ese arco y ello requiere adentrarse en un nivel microscópico. Ello obliga a acudir al laboratorio y utilizar el cálculo infinitesimal. Surge la circunferencia osculatriz y se formaliza el concepto de curvatura en cualquier curva que sea derivable.
• La unidad didáctica finaliza referenciando artículos de difusión y periodísticos en los que la curvatura es la base para la determinación de la forma de nuestro mundo. ¿Cómo es éste? ¿“Es plano” –entendido este término aquí como “Euclídeo” o con curvatura nula--? ¿Tiene curvatura no nula? Las ondas gravitatorias, sobre las que el pasado 11 de febrero de 2016 se publicó su existencia, ayudan a establecer esa curvatura del espacio-tiempo.

Así pues, un experimento físico  (LIGO) como es la determinación de la existencia de las ondas gravitatorias nos permite adentrarnos en el conocimiento de la forma del mundo que habitamos estos seres físicamente tridimensionales (largo, ancho, alto), anexos o inmersos en una cuarta componente dimensional tiranizada por ése que siempre pasa (“Tempus fugit”). Y todo ello gracias a la curvatura, la curvatura espacio-tiempo.

LIGO ha sido posible gracias a la posibilidad de medir longitudes del orden de 10^-19 m, pero la Teoría de cuerdas plantea que nuestro universo tiene once dimensiones: una temporal, tres espaciales ordinarias y siete compactas inobservables en la práctica y que solamente son relevantes a escalas pequeñas del orden de la longitud de Planck: 10^-35 m. ¡Quedan curvaturas que estudiar! 

Título: Espirales generalizadas de Durero
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría plana
Nivel/Edad: 4 ESO B (15-16 años)
Idioma: Castellano
Autoría: Ángel Cabezudo, Ildefonso Fernández y José R. Galo

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Proporcionalidad. Las Espirales V

Entre las innovaciones producidas en el ámbito de la Red Educativa Digital Descartes y gracias al convenio trilateral entre la Facultad de Ciencia y Tecnología de la Universidad Autónoma de Entre Ríos (FCyT-UADER) en la provincia de Entre Ríos en Argentina, la Red Educativa Digital Descartes Colombia (colDescartes) y la Red Educativa Digital Descartes (RED Descartes), están: el libro Opúsculo sobre la función lineal y afín, la recta en el plano creado por las profesoras Irma Manuela Benitez - Alicia Elena Carbonell y María Alicia Gemignani, la siguiente imagen enlaza con dicho libro

y la integración de los mapas de Google en una escena DescartesJS realizada por Diego Feria Gómez, que abre un amplio abanico de posibilidades al proyecto GEOGráfica según muestra la escena que enlazamos a continuación.

También cabe destacar la aportación de la profesora Montserrat Gelis Bosch que ha adaptado al catalán el material sobre planos de simetría en 3D creado por el profesor José R. Galo Sánchez que puede consultarse en los siguientes vínculos,

y el Opúsculo sobre los complejos de María José García Cebrian que se enlaza a continuación y que, encarecidamente, aconsejamos visitar y utilizar en el tema de Complejos por su completitud y potencial didáctico.

De la espléndida colección de libros dinámicos, interactivos y multimedia del subproyecto iCartesiLibri que los profesores: Juan Jesús Cañas Escamilla, José R. Galo Sánchez, Juan Guillermo Rivera Berrío, Irma Manuela Benitez, Alicia Elena Carbonell y María Alicia Gemignani han creado sobre algunos temas de Estadística y Análisis enlazamos, por su indudable interés, el libro de estadística.

La extraordinaria acogida a los materiales del proyecto @prende, recientemente elaborado por: José Luis Abreu León (Instituto de Matemáticas), Joel Espinosa Longi (Instituto de Matemáticas), Deyanira Monroy Zariñán (LITE) y equipo para Primaria, comentada ampliamente en los foros hace que no sea necesario reiterar los elogios a tan meritotia creación, en la imagen siguiente enlazamos el recurso dedicado a las áreas.

Seguimos insistiendo en la necesidad de estar al día de las posibilidades operativas y de uso de los materiales y escenas de la Red Educativa Digital Descartes. Aconsejamos acudir a los foros y contenidos de la Documentación técnica de la herramienta de autoría DescartesJS, en especial a estos, que llevan a la información sobre las animaciones y la construcción, paso a paso, de algunas escenas ejemplo, elaborada por el profesor Juan Guillermo Rivera Berrío.

Antes de comenzar con el análisis de como hemos incluido en la miscelánea que estamos creando las escenas de la espiral de Teodoro y las espirales de tres a veinte centros, vamos a mostrar un vídeo de la presencia de la espiral en el organismo con objeto de apreciar diferentes formas de enfocar el tema que nos ocupa.

Continuamos con la creación de la miscelánea que con el título Las Espirales va a contener una serie de escenas donde se introducirán, estudiarán y representarán algunas espirales.  

En el artículo anterior terminamos de estudiar el proyecto de miscelánea, tal y como estaba hasta aquella fecha, indicando que íbamos a integrar en el mismo el contenido de la escena de la espiral de Teodoro.
También hemos añadido al proyecto el contenido de la siguiente escena sobre como dibujar las espirales de 3, 4, 5 ... 20 centros

La escena de la espiral de n centros, que vemos a continuación

está formada por:

• dos controles tipo pulsador
• un control gráfico de color rojo que es la referencia para la construcción de la gráfica.
• un texto.
• dos familias de puntos (los vértices y sus trasladados)
• dos familias de segmentos (los lados y sus prolongaciones).
• una familia de arcos.

Los pulsadores controlan, respectivamente, la cantidad de centros de la espiral y la longitud del lado del polígono regular sobre cuyos vértices se encuentran dichos centros. Inicialmente es visibles la espiral de tres centros.
Con objeto de que puedan verse todas las espirales, la escala del espacio donde se representan tiene un valor de 16 en lugar de 48 que es el valor por defecto. Aunque para ver bien las espirales de más de 9 centros es conveniente poner la longitud del lado a 1. Esto se ha hecho así para que se practique con el cambio de escala. Puede conseguirse el mismo efecto poniendo un control en la escena que modifique la escala; o reduciendo - aumentando el tamaño del lado del polígono base.
Para poder dibujar la colección de centros y los segmentos de los lados y sus prolongaciones, hemos definido:

• Cuatro vectores de tamaño dinámico para albergar las coordenadas de los vértices y sus trasladados que harán posible la gráfica de los segmentos de la escena.
• Un algoritmo que calcula las coordenadas de los vértices y sus trasladados.

Desde este enlace puede descargarse el proyecto de miscelánea con la espiral de Teodoro y las espirales de n centros incluidas, se puede observar que el nombre del archivo ha cambiado respecto al original, es así para que se puedan comparar los códigos y ver los cambios realizados. Aconsejamos, a quienes comienzan a crear escenas fundamentalmente, y a cualquiera que visite el Blog, leer detenidamente el extraordinario artículo creado por el profesor Ángel Cabezudo Bueno sobre las Escenas con DescartesJS: Técnicas y trucos, donde se detalla con rigor el significado y uso de los componentes que pueden intervenir en una escena aportando una buena colección de atajos y utilidades que agilizan la creación y dotan a las escenas de funcionalidades extraordinarias.
La escena del proyecto puede verse a continuación:

Como aplicación de la proporción Humana hemos elaborado la siguiente escena.

También, en la misma dirección, hemos creado, con el programa GeoGebra, una breve aplicación que muestra como teselar un triángulo cordobés con triángulos cordobeses.

Acceso al recurso en GeoGebraTube

En próximas entradas continuaremos con el paso a paso de la escena incluyendo la espiral Cordobesa, la de Durero, la de Fibonacci y otras más entre sus funcionalidades, analizando el subproyecto Misceláneas, y las nuevas posibilidades que el código ofrece.

Animamos a los lectores a colaborar en el proyecto elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Ildefonso Fernández Trujillo

Título: Plans de simetria en cilindres i cons oblics
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: 3º ESO (14 años)
Idioma: Catalán
Autoría: José R. Galo Sánchez y Monserrat Gelis Bosch

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Título: Plans de simetria en cossos de revolució
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: 3º ESO (14 años)
Idioma: Catalán
Autoría: José R. Galo Sánchez y Monserrat Gelis Bosch

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