Introducción a la curvatura

Curvatura

Obtenemos información sobre la curvatura de un alambre pasando los dedos sobre él. Pertenece al mundo sensorial la idea de que la curvatura de una circunferencia es constante y la curvatura de una recta es cero. Así mismo diríamos que cuanto menor es el radio de una circunferencia, mayor es su curvatura.

¿Cómo definir esta sensación? ¿Cómo cuantificarla o medirla?. La siguiente escena nos ayuda a descubrirlo.

Descartes definió la curvatura de una circunferencia como 1/r, siendo r su radio. Así una recta se considera como una circunferencia de radio infinito, por tanto de curvatura cero.

Ya tenemos una magnitud para medir la curvatura de una circunferencia, pero ¿cómo medir la curvatura de  y=f(x) en un punto (x₀, f(x₀))? LLevemos las curvas al taller para medirla.

Curvatura en el Taller

Curvatura en el Laboratorio

Es conocido que para hallar la inclinación de una curva en un punto nos aproximamos a la tangente por las secantes. Podemos copiar esta idea y aproximarnos a una circunferencia con contacto triple en el punto donde queramos medir la curvatura. Así es como se procede en la siguiente escena.

Escogido un punto (x₀, f(x₀)) de la curva y=f(x), trazaremos la circunferencia que pasa por los puntos de la curva:

 (x₀-h, f(x₀-h)) , (x₀, f(x₀)) y  (x₀+h, f(x₀+h))  (Tres puntos no alineados determinan una circunferencia)

y calcularemos el límite, r, de su radio cuando h--->0; la curvatura de y=f(x) en el punto (x₀, f(x₀))  será 1/r

La curvatura vista por Newton

El método que se describe en las siguientes escenas fue utilizado por Newton en el siglo XVII.

Dados dos puntos de una circunferencia, la intersección de sus normales a la circunferencia es su centro (escena del taller). Así pues, para hallar el centro de curvatura de y=f(x) en (x₀, f(x₀)), se tomará un punto próximo,

  (x₀+h, f(x₀+h))

Hallaremos las normales a la curva en estos puntos y su intersección .

Cuando h-->0, esta intersección definirá el centro de la circunferencia osculatriz en (x₀, f(x₀)). (Escena del laboratorio)

           Curvatura de una curva plana en coordenadas Cartesianas         ---------->