Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas.
Escrito por Ildefonso Fernández Trujillo
CUADRATURAS.
Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las expresiones artísticas, religiosas, estructurales y técnicas de las diferentes culturas y épocas. Los conceptos, fundamentalmente los geométricos, físicos y filosóficos aparentan una evolución-involución atractiva y armónica que fascina. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.
Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.
Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.
Progresiones geométricas. Aplicaciones
Escrito por Montserrat Gelis Bosch
Esta semana presentamos una unidad interactiva del proyecto misceláneas que contiene actividades de aplicación de las progresiones geométricas. Ha sido creada a partir de unidades liberadas PISA y en ella se plantean tres actividades distintas en las cuales aplicar conocimientos sobre progresiones.
En la primera actividad, a partir de una imagen del triángulo de Pascal y la sucesión de los primeros términos, el alumnado deberá calcular la suma de un número determinado de filas.
En la segunda actividad, pentagramas, se presenta la imagen de una serie de pentágonos inscritos y se pide la suma de las áreas de los infinitos pentágonos.
Finalmente, en la actividad escala temperada, a partir de una frecuencia inicial dada y la razón, se debe calcular la frecuencia de una nota determinada.
Este mes vamos a ver un vídeo de 2ºESO correspondiente a la Semejanza.
En él hemos tratado los siguientes puntos:
1.Teorema de Tales
Enunciado y posición de Tales
Aplicaciones
2.Semejanza de figuras
Figuras semejantes
Semejanza de triángulos
Aplicaciones
Relación entre áreas
3.Ampliación y reducción de figuras
Ampliación, reducción y escala
4.Teorema de Pitágoras.
Enunciado
Aplicaciones
Misceláneas. Lugares geométricos: las cónicas III
Escrito por Ildefonso Fernández Trujillo
Las cónicas como lugares geométricos: La Parábola.
Dentro del estudio de los lugares geométricos tienen un especial interés los relativos a las cónicas por motivos muy diversos, fundamentalmente geométricos, físicos y filosóficos. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación a su conocimiento genérico analizando algunos aspectos de la Parábola considerada como lugar geométrico. Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico y funcional que la Geometría clásica ha tenido en las poblaciones cultas: el cucurucho con sus múltiples aplicaciones, los niños y niñas jugando con el aro, la peonza, el yoyo...
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
- La Parábola como lugar geométrico.
El Origami y las Matemáticas - Generación de la Parábola como lugar geométrico.
Trabajo muy detallado de la creación del l.g. Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin)
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum para ESO y Bachillerato.
Ambos trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
- Estudio de la PARÁBOLA I. La parábola como l.g. generado por el método, basado en la definición, del triángulo isósceles.
A partir de una recta d (directriz) y de un punto F (foco) consideramos que un punto del plano, P, pertenece a la parábola (F,d) si la distancia de P a M (ver imagen) es igual a la distancia de P a F. Esto es, el triángulo PMF es isósceles y por lo tanto la altura de dicho triángulo trazada desde P corta al lado FM en su punto medio. O bien que la intersección de la perpendicular a la directriz por un punto M de la misma con la perpendicular por el punto medio de FM es un punto de la parábola. Haciendo que M recorra la directriz obtendremos la parábola (F,d).
parábola l.g. I - Estudio de la PARÁBOLA II. En esta ocasión se considera la parábola como el l.g. generado por los puntos, Q y R, intersección de la circunferencia c(F,r) con la paralela a la directriz por el vértice cuando el vértice, como punto virtual v', se desplaza por el eje focal desde su posición original hasta el infinito alejandose de la directriz (ver la animación completa), el radio de la circunferencia, r es igual a la distancia del vértice virtual v' a la directriz.
Es trivial comprobar que los puntos Q y R siempre son puntos de la parábola.
Se ha construido el l.g. por este segundo método sobre la construcción anterior por motivos didácticos.
parábola l.g. II
En la primera escena el botón anima y en la segunda el pulsador k y el botón anima, generan el l.g. (parábola).
Continuamos animando a conocer el editor DescartesJS. Volvemos a exponer la adaptación a DescartesJS de la Unidad realizada por el profesor Antonio Caro Merchante debido a su relación con los conceptos en estudio.
cónicas
Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Parábola, primero por el método del triángulo isósceles y a continuación por el método clásico de la intersección de recta y circunferencia.
La Parábola. Método I.
hoja de trabajo de la parábola (I)
La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método, intersección de paralela a la directriz con la circunferencia de centro el foco y radio variable..
La Parábola. Método II.
la parábola (método II)
Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la ecuación del lugar geométrico que define a una curva cónica.
Las Cónicas como lugares geométricos
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
- CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
- "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
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El movimiento de la pelota. Proyecto Newton
Escrito por Montserrat Gelis Bosch
El subproyecto “Problemas” del proyecto Newton, está formado por un conjunto de materiales digitales interactivos que tratan aspectos muy variados del currículo de Física y Química en forma de resolución de un problema.
En este vídeo vamos a mostrar con detalle la unidad de 4º de la ESO, el movimiento de la pelota. En esta escena se considera el movimiento de una pelota lanzada con una determinada velocidad y en una dirección determinada. Se analizan las fuerzas y las ecuaciones del movimiento así como la trayectoria y las variaciones de energía en todo el proceso.
La escena consta de los siguientes apartados:
- Guía del alumno. Se plantea el enunciado del problema y se dan indicaciones para su resolución.
- Escenas interactivas. Dos escenas en las cuales se pueden observar las fuerzas que actúan y la velocidad en cada momento. El alumno puede modificar la masa de la pelota, la velocidad inicial de lanzamiento y el ángulo de la trayectoria
- Evaluación. Este apartado consta de varias preguntas con diferentes respuestas para comprobar lo aprendido.
- Problema resuelto. Se accede a un documento en pdf con el problema resuelto paso a paso.
EDAD 4ºESO Aplicadas Ecuaciones e inecuaciones
Escrito por Alfonso Saura EspínEste mes vamos a ver un vídeo sobre las ecuaciones e inecuaciones de 4ºESO Enseñanzas aplicadas:
Hemos tratado los siguientes puntos:
1.Ecuaciones
Elementos de una ecuación
Solución de una ecuación
2.Ecuaciones de primer grado
Solución
Aplicaciones
3.Ecuaciones de segundo grado
Solución
Incompletas
Número de Soluciones
Aplicaciones
4.Otros tipos de ecuaciones
Bicuadradas
Tipo (x-a)·(x-b)·...=0
Ensayo-error. Bisección
5.Inecuaciones con una incógnita
Definición. Propiedades
Inecuaciones de grado uno
Inecuaciones de grado dos
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