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En el número 102 de la revista Epsilon (ISSN: 2340-714X) de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales se ha publicado el artículo titulado "Partición prismática de paralelepípedos en seis pirámides triangulares equivalentes" cuyo autor es nuestro socio José R. Galo Sánchez. Un trabajo de investigación, que como se refleja en la filiación de la autoría, ha sido desarrollado dentro de nuestra RED Descartes.

Este trabajo generaliza el publicado en 2018 con el título "Partición prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes" y en él, como se refleja en el resumen:

"Se analiza en detalle la descomposición de los diferentes tipos de paralelepípedos en pirámides cuadriláteras y en pirámides triangulares. Se obtienen de manera constructiva las particiones con cardinal mínimo y se profundiza en aquellas que, sin tener cardinal mínimo, están formadas por seis pirámides que forman dos prismas. Se cuantifican y detallan todas las particiones posibles y se proporcionan enlaces a recursos interactivos que permiten verlas digitalmente y, a su vez, también obtener los desarrollos planos con los que abordar su reproducción real o tangible y su manipulación. Para cualquier paralelepípedo que defina el interesado se obtiene un entretenido puzle, no siempre fácil de componer."

Por ejemplo, en la siguiente escena se han englobado todas las posibilidades al permitir al usuario seleccionar el tipo de paralelepípedo que quiera, indicar las dimensiones que desee, elegir una partición de todas las posibles y, procediendo a imprimir los desarrollos planos de las pirámides que la componen, pasar a construir, como un puzle, un modelo tangible del paralelepípedo considerado. Para ello, en la escena, se cuenta con un menú con las siguientes opciones:

• Selecciona el paralelepípedo (Cubo, Ortoedro, Romboedro con corte por la diagonal menor o la mayor y Romboiedro).
• Ver el desarrollo plano de las diferentes pirámides que pueden aparecer en la partición del paralelepípedo.
• Elegir la partición que se desee construir, reflejándose los desarrollos planos de las seis pirámides que intervienen en la misma, pudiendo proceder a la impresión de cada uno de ellos.

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

Os incluimos a continuación dicho artículo y os invitamos a su lectura, a que realicéis observaciones y comentarios al mismo y a que lo divulguéis a través de vuestras redes sociales y profesionales. También a que, usando los recursos interactivos ahí enlazados y disponibles en nuestra web, construyáis particiones de diferentes paralelepípedos y en el aula abordéis su reconstrucción y propiedades.

Finalmente destaquemos que el autor, en las conclusiones del estudio, nos señala que el germen de este análisis fue la observación de una escena desarrollada en el año 2001 por nuestra colega Ángela Núñez Castaín, entrañable y querida pionera del proyecto Descartes. En concreto, en esas conclusiones se refleja que el exhaustivo estudio realizado:

"Comprende una amplia casuística que surgió a raíz de la adaptación a DescartesJS de una escena en la que se observaba una partición prismática de un cubo (Núñez Castaín, A., 2001) y en cada uno de los prismas, en los que quedaba dividido, aparecían diferentes tipos de pirámides equivalentes entre sí. Al abordar el análisis de la situación se comprobó que las referencias a las particiones de un cubo en pirámides quedaban planteadas de manera deslavazada o inconexa, mostrando sólo aquellos casos particulares en los que se encuentra mayor regularidad, pero no desde un punto de vista global e integrador. Eso fue el objetivo primario de estudio realizado en un artículo anterior (Galo-Sánchez J.R., 2018) y el objetivo secundario su generalización a los paralepípedos que es lo que aquí ha quedado realizado. La extensión a hexaedros convexos de caras cuadriláteras {4,4,4,4,4,4}, como poliedro no regular que puede considerarse similar al cubo, también ha sido realizada por el autor e implica algunas particularidades adicionales interesantes que serán objeto de una publicación ulterior."  

Ese último análisis ha sido descrito por el autor en la página 104 y siguientes del artículo interactivo "Partición de hexaedros convexos de caras cuadriláteras en pirámides" que está publicado en nuestro servidor dentro del proyecto de libros interactivos iCartesiLibri.

La unidad, Descomposición de un número en factores, está formada por varias actividades de iniciación a la descomposición factorial de un número.

Este objeto digital forma parte del proyecto Pizarra Interactiva y sus contenidos están orientados a la Educación Primaria, aunque también pueden ser adecuados para alumnos de 1º de la ESO que presenten dificultades en el proceso de aprendizaje.

El diseño de la unidad, como todos los objetos del proyecto PI, consta de cuatro fases: Introducción, Exploración, Ejercicios y Evaluación.

A partir de las propuestas de las escenas interactivas se pretende que el estudiante adquiera sus primeras nociones sobre la descomposición en factores. Todas las escenas se pueden reutilizar con diferentes datos de forma que el alumnado pueda practicar tantas veces como necesite para consolidar su aprendizaje.  

"Si comparamos las anteriores veintiuna particiones del cubo ¿cuántas son congruentes a su vez entre sí?, es decir, ¿cuántas son diferentes salvo isometrías?"... Esta pregunta quedó abierta en el artículo "Partición de un cubo en pirámides (y parte III)" y en esta adenda procedemos a su respuesta.

1. Reducción por congruencia de las particiones prismáticas del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes 

Podemos realizar dos planteamientos conducentes a determinar el menor número de particiones diferentes salvo isometrías:

Opción A

En las treinta y seis particiones prismáticas del cubo observamos que la partición P2-P1 es congruente con la P1-P2 sin más que realizar un giro de 180º alrededor de la vertical (eje Oz) y, por tanto, quedaban reducidas a veintiuna las posibles particiones. Éstan son : {I-I, I-II, I-III, I-IV, I-V, I-VI, II-II, II-III, II-IV, II-V, II-VI, III-III, III-IV, III-V, III-VI, IV-IV, IV-V, IV-VI, V-V, V-VI, VI-VI}. Y en particular, entre ellas, hay tres casos en los que todas las pirámides son congruentes: {I-I, I-IV, IV-IV}.

Escena 1. Congruencia mediante giro de 180º alrededor del eje Oz

En el análisis de la descomposición del prisma triangular en tres pirámides triangulares equivalentes indicamos que la aplicación de una simetría y de un giro alrededor del eje Oy generaba las siguientes transformaciones:

que aplicadas a las particiones del cubo conducen a: 

Así pues combinando estas isometrías podemos ver las relaciones existentes entre las treinta y seis particiones e identificar las congruencias existentes entre las mismas. Esto puede verse interactivamente en la siguiente escena:

Escena 2. Congruencias en las particiones del cubo

Opción B

Otro planteamiento posible sería partir de las dos particiones posibles del prisma (I y II), junto a sus congruencias respectivas (IV y III, V, VI) y abordar las combinaciones de las mismas para formar el cubo. Esto nos lleva a:

I-I
I-II
I-III
I-IV
I-V	congruente con I-III
I-VI	congruente con I-II
II-II
II-III
II-IV	congruente con I-III
II-V
II-VI

La primera opción tiene como ventaja el poder ver todas las particiones posibles, agrupadas por congruencia, y la segunda el ser un análisis más breve. Ambas nos permiten obtener las conclusiones finales expuestas a continuación.  

2. Conclusiones en la partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes 

Del análisis anterior se concluye que, salvo isometrías, hay sólo ocho formas diferentes de descomponer prismáticamente el cubo en seis pirámides equivalentes y entre ellas hay dos en las que todas las pirámides son también congruentes entre sí.

Escena 3. Las ocho particiones prismáticas del cubo, salvo isometrías

Todo queda englobado en este objeto interactivo:

Objeto interactivo: Partición prismática del cubo en pirámides triangulares equivalentes

Nota bene. 

En los artículos publicados en este blog con el título "Particiones del cubo en pirámides" se han realizado las siguientes aportaciones:

1. Partiendo de las clásicas y conocidas descomposiciones del cubo en tres, cuatro, cinco y seis pirámides de base cuadrada, aquí se ha planteado una visión global que muestra que los casos anteriores no son más que cuatro casos particulares de una infinidad de particiones, todas construidas en base a considerar un punto que pasa a configurarse como el vértice común a todas las pirámides que conforman cada partición. El cardinal mínimo de la partición se alcanza en tres pirámides.

2. En base a la partición genérica anterior, se ha descompuesto de manera general el cubo en seis, ocho, diez y doce pirámides triangulares mediante la subdivisión de cada pirámide cuadrada en dos triangulares. En el caso de seis pirámides se demuestra que dichas pirámides son siempre equivalentes, de igual volumen.

3. Constructivamente se prueba que la partición del cubo en pirámides triangulares alcanza su cardinal mínimo en una única y clásica partición en cinco pirámides triangulares compuesta por un tetraedro regular y cuatro pirámides trirrectángulares, pero que no tienen igual volumen. 

4. Centrándose en las particiones del cubo en pirámides triangulares que sean equivalentes (igual volumen) se ha obtenido que en este caso el cardinal mínimo es de seis y pueden englobarse en particiones no prismáticas y particiones prismáticas (aquellas en las que el cubo queda a su vez dividido en dos prismas triangulares).

5.  Se ha abordado y analizado la partición de un prisma triangular en tres pirámides equivalentes, como problema conducente a la partición prismática del cubo, y se ha concluído que salvo isometrías hay sólo dos posibilidades. En particular en una de ellas las tres pirámides son además congruentes (coincidentes mediante isometrías).

6. A partir de la descomposición del prisma se han construido las posibles particiones prismáticas del cubo en pirámides triangulares equivalentes obteniéndose ocho posibilidades y, entre ellas, dos casos en las que las seis pirámides además son congruentes.

Así pues, un problema clásico —la partición de un cubo en pirámides cuadradas y triangulares—, que ha sido siempre expuesto de manera parcial a través de ejemplos particulares que no detallan la totalidad de las posibilidades, aquí se ha analizado constructivamente desde una perspectiva metódica, englobadora que logra hacer un completo y detallado recubrimiento descriptivo de su solución.

La partición de un cubo en pirámides triangulares tiene su cardinal mínimo en cinco pirámides, pero hay una única forma de realizar esta partición. La descomposición en seis pirámides triangulares amplía el número de formas de realizarla y da lugar a particiones que podemos encuadrar en dos bloques: no prismáticas o prismáticas. En estas últimas todas las pirámides son equivalentes (igual volumen) o incluso congruentes. En este artículo nos centraremos en la partición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes. Análisis previos que nos conducen a esta situación fueron detallados en el artículo "Partición del cubo en pirámides (parte II)".

 Particiones de un cubo en pirámides triangulares equivalentes 

El plano determinado por dos diagonales con igual dirección en dos caras opuestas de un cubo interseca a éste dividiéndolo en dos prismas triangulares cuyas bases son triángulos rectángulos isósceles. Consecuentemente, la descomposición de un cubo en pirámides triangulares puede abordarse analizando la partición de un prisma recto de base un triángulo isósceles rectángulo. Este procedimiento es el que denominaremos partición prismática del cubo. Sin pérdida de generalidad consideraremos que el lado del cubo es la unidad.

Escena 1. División del cubo en dos prismas triangulares

1. Descomposición de un prisma triangular en pirámides triangulares

Consideremos el prisma recto de vértices {A, B, C, E, F, G}, donde la base superior se corresponde con los tres primeros vértices y la inferior con los tres últimos (ver escena 1). Queremos descomponerla en pirámides de base triangular y para ello hemos de tene en cuenta que:

• El menor número de pirámides se obtendrá cuando se consideren sólo los seis vértices del prisma como posibles vértices de las pirámides de la partición.
• Los elementos primarios mínimos para abordar la partición son ocho triángulos (las dos bases del prisma y seis más resultantes de dividir las tres caras laterales en triángulos) y 12 segmentos (las nueve aristas y las tres diagonales de las caras laterales). Y dado que dos pirámides de la partición han de tener tres caras diferentes como mínimo, entonces también son como mínimo tres las pirámides que formarán la partición (ocho caras entre tres nos da un valor mayor que dos).

Basándonos en que una pirámide triangular queda determinada sin más que elegir dos segmentos con distinta dirección no coplanarios, una forma de abordar la partición del prisma de vértices {A, B, C, E, F, G} en tres pirámides triangulares se logra considerando dos aristas no coplanarias, una de la base ABC y otra de la EFG (Ver escena 2). Los cuatro vértices de esas dos aristas determinan una pirámide triangular que parte al prisma en tres bloques (se puede simular la situación en dicha escena 2) quedando fijadas, junto a ésta, las otras dos pirámides buscadas. Hay sólo seis posibilidades que vamos a denotar como partición I, II, III, IV, V y VI.

Escena 2. Particiones del prisma en tres pirámides triangulares (I, II, III, IV, V y VI) y detalle de la partición tipo I

1. BC con EF que conduce a la pirámide BCEF y determina a ABCE y CEFG
2. AC con EF que conduce a ACEF y determina a ABCF y CEFG
3. AB con EG que conduce a ABEG y determina a ABCG y BEFG
4. AB con FG que conduce a ABFG y determina a ABCG y AEFG
5. AC con FG que conduce a ACFG y determina a ABCF y AEFG
6. BC con EG que conduce a BCEG y determina a ABCE y BEFG

Distinguiendo los vértices por su nombre, en esas seis particiones aparecen doce pirámides diferentes, lo cual obviamente se corresponde con las combinaciones que se pueden obtener a partir de los seis vértices {A, B, C, E, F, G} agrupándolos de cuatro en cuatro, que son los vértices de una pirámide, y quitando aquellas agrupaciones en las que los cuatro vértices son coplanarios. Así pues, son C_{6, 4} = 15 combinaciones diferentes {ABCE, ABCF, ABEF, ABEG, ABFG, ACEF, ACEG, ACFG, AEFG, BCEF, BCEG, BCFG, BEFG, CEFG} y se excluyen los tres casos que hemos tachado por ser cuatro vértices coplanarios. Este podría ser también otro procedimiento alternativo al anterior para analizar las diferentes particiones del prisma.

En esas doce pirámides intervienen 15 aristas posibles, pues son combinaciones de seis vértices tomados de dos en dos, C_{6, 2} = 15. Son las reflejadas en la tabla 1,  donde se indica su medida respectiva.

Tabla 1. Aristas de las pirámides y longitud de las mismas

En la tabla 2 podemos agrupar toda la información anterior y comparar las pirámides de esas particiones buscando detectar cuales son iguales o del mismo tipo.  FIjándonos en la medida de las aristas que las componen se observa que hay tres tipos de pirámides que hemos etiquetado como X, Y, Z y, como detallaremos a continuación, en el tipo X se distinguen dos modalidades que etiquetamos como 1 y 2.  También se refleja si la partición está constituida por pirámides congruentes entre sí (y por tanto también equivalentes) o si son sólo equivalentes.

Tabla 2. Desglose de particiones, pirámides que lo conforman, longitud de las aristas que lo componen, tipo de pirámide y modalidad, y congruencia y/o equivalencia

Cada partición del prisma la vamos a distinguir con el número romano que le hemos asignado o sin más que nombrar los tipos de pirámide que la forman para lo que convendremos hacerlo de arriba hacia abajo de acuerdo a la ubicación inicial de la pirámide en la que la base superior tiene de vértices ABC y la inferior EFG. Así la partición II viene dada por {Y, Z, X₂}.

Procedamos a analizar cada uno de los tipos de pirámides que aparecen en dichas particiones.

1.1 Pirámide tipo Y

Atendiendo sólo a la forma, es decir, considerando que todas las caras son de igual color y no etiquetando los vértices, sólo es posible una pirámide triangular cuyas aristas midan 1, 1, 1, √2 , √2, √2 (escena 3).  Su desarrollo plano está compuesto por un triángulo equilátero de lado 2 y tres triángulos rectángulos isósceles de catetos 1 y de hipotenusa2. El desarrollo, como se ha representado en la figura, tiene simetría axial con eje de simetría cualquiera de las alturas del triángulo equilátero y por tanto, independientemente de la orientación con la que se realiza el plegado (hacia dentro o hacia fuera) se obtiene la misma pirámide. El volumen de esta pirámide es 1/6 u³.

Escena 2. Pirámide triangular tipo Y (trirrectángula)

1.2 Pirámide tipo Z

De manera análoga al caso anterior, si atendemos sólo a la forma, sólo es posible una pirámide triangular cuyas aristas midan 1, 1, √2, √2, √2, √3 (escena 3). Su desarrollo plano está compuesto por un triángulo equilátero de lado √2, un rectángulo isósceles de catetos 1 e hipotenusa √2 y dos triángulos rectángulos de catetos 1 y √2 e hipotenusa √3. Este desarrollo, como está representado en la figura, tiene simetría axial con eje de simetría la altura del triángulo equilátero que es altura a la vez del triángulo rectángulo isósceles. Así pues, independientemente de la orientación con la que se realiza el plegado (hacia dentro o hacia fuera) se obtiene la misma pirámide. El volumen de esta pirámide es también 1/6 u³, por tanto, equivalente a la pirámide tipo Y.

Escena 3. Pirámide triangular tipo Z

1.3 Pirámide tipo X

Con las aristas de medidas 1, 1, 1, √2, √2, √3 se pueden construir dos pirámides triangulares siendo una simétrica de la otra (escena 4). Los desarrollos planos son simétricos entre sí. Eligiendo uno de ellos, si se pliega hacia dentro se obtiene una de las pirámides y al plegarlo hacia fuera se obtiene la otra. Ambas tienen volumen 1/6 u³, es decir, son equivalentes entre sí y a las pirámides Y y Z.
También en la parte inferior de dicha figura puede observarse cómo ambas pirámides son simétricas, una respecto a la otra, en el sentido de que si hacen coincidir dos caras que sean iguales el plano que separa a ambas pirámides es un plano de simetría de las mismas. X₁ y X₂ son, por tanto, congruentes entre sí.

Escena 4. Pirámides triangulares tipo X —X₁ en color azul y X₂ en color verde—, desarrollo plano de las mismas y simetría de una respecto a la otra

1.4 Particiones del prisma triangular

Las seis particiones del prisma reflejadas en la tabla 2 están representadas en la escena 5, donde se han mantenido los colores usados anteriormente en cada tipo de pirámide para así poder distinguir a simple vista cuál es la pirámide utilizada: rojo para tipo Y, blanco para tipo Z, azul para X₁ y verde para X₂.

Escena 5. Particiones del prisma triangular

No obstante, de esas seis hay solamente dos que no son congruentes entre sí, pues tenemos que se cumplen las siguientes relaciones:

• Las particiones II, III, V y VI son congruentes entre sí:
  • La partición tipo V —compuesta por las pirámides Y, Z, X₁— es congruente con la  III —compuesta por las pirámides X₁, Z, Y—, basta realizar un giro de 180⁰.
  • La partición VI —compuesta por las pirámides X₂, Z, Y— es congruente con la II —compuesta por las pirámides Y, Z, X₂— mediante un giro.
  • La partición tipo V —compuesta por las pirámides Y, Z, X₁— es congruente con la II —compuesta por las pirámides Y, Z, X₂— mediante una simetría (según lo indicado con anterioridad Y es simétrica de sí misma, Z también, y X₁ es simétrica de X₂.
• Las particiones I y IV son congruentes entre sí:
  • La partición IV —compuesta por las pirámides X₁, X₂, X₁— es simétrica de la I —compuesta por las pirámides X₂, X₁, X₂—.

Escena 6. Congruencias en las particiones del prisma triangular

Si nuestro objetivo final es exclusivamente la partición de dicho prisma en pirámides triangulares tendríamos que indicar que, salvo isometrías, sólamente hay dos particiones posibles y, por tanto, bastaría considerar, por ejemplo, la partición I y la II. En ellas, a su vez, en la partición I las pirámides son congruentes entre sí (y consecuentemente equivalentes) y en la II son sólo equivalentes.

Escena 7. Partición del prisma con pirámides congruentes y con pirámides equivalentes

Todo lo analizado en este punto está englobado en el siguiente objeto interactivo:

Escena 8. Partición de un prisma triangular en pirámides triangulares equivalentes

2. Partición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes

Para abordar la partición prismática del cubo, es decir, su descomposición mediante la unión de dos prismas es necesario tener en cuenta que la orientación de uno de ellos respecto al otro es significativa y consecuentemente hemos de considerar como diferentes las seis particiones del prisma triangular obtenidas en la sección anterior, dado que ellas son el fruto de hacer una distinción entre la cara inferior y la superior del prisma. O bien podemos hacer la lectura de que partiendo de las dos únicas particiones I y II del prisma al aplicarles isometrías tendríamos que son seis las particiones posibles en un prisma al distinguir la cara inferior de la superior.

Seleccionada una de las seis particiones posibles del prisma triangular, al aplicarle isometrías obtendremos otro prisma y los dos juntos conformarán una partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes.  En la tabla 3 se reflejan las posibles transformaciones isométricas a realizar.

Giro alrededor del eje Oz	Giro alrededor del eje Oz y del eje Oy	Simetría respecto a un plano

Tabla 3. Isometrías para obtener un cubo a partir de un prisma triangular

 En la tabla 4 se reflejan estas transformaciones aplicadas a cada una de las seis particiones:

Tabla 4. Isometrías para obtener un cubo a partir de un prisma triangular

Por tanto, las diferentes particiones del cubo en seis pirámides equivalentes se obtienen sin más que hallar las variaciones con repetición de 6 elementos (las seis diferentes particiones del prisma) tomados de dos en dos, es decir, un total de VR_6,2=6²=36 posibilidades.

Escena 8. Partición prismática del cubo en pirámides triangulares equivalentes

De partida, al comparar esas 36 posibilidades, se observa que la partición P₂-P₁ es congruente con la P1-P₂ sin más que realizar un giro de 180º alrededor de la vertical (eje Oz) y, por tanto, quedan reducidas a 21 las posibles particiones (combinaciones con repetición CR_6,2). Éstan son : {I-I, I-II, I-III, I-IV, I-V, I-VI, II-II, II-III, II-IV, II-V, II-VI, III-III, III-IV, III-V, III-VI, IV-IV, IV-V, IV-VI, V-V, V-VI, VI-VI}. Y en particular, entre ellas, hay tres casos en los que todas las pirámides son congruentes: {I-I, I-IV, IV-IV}. 

En la siguiente escena se muestran todas esas particiones:

Escena 9. Partición del cubo con pirámides triangulares equivalentes

Y en ésta los tres casos en los que hay congruencia entre todas las pirámides.

Escena 10. Partición del cubo con pirámides triangulares congruentes

Pero para finalizar, en lugar de cerrar el tema, quizás sea mejor dejar una pregunta abierta: "Si comparamos las anteriores veintiuna particiones del cubo ¿cuántas son congruentes a su vez entre sí?, es decir, ¿cuántas son diferentes salvo isometrías?"...

La descomposición de un cubo en pirámides de base triangular surge de manera natural, y fácil, una vez que se han analizado las particiones de un cubo en pirámides de base cuadrada. Basta considerar una de las dos diagonales de dicha base cuadrada para que la pirámide quede partida en dos triangulares. Así pues, toda pirámide cuadrada puede subdividirse de dos formas diferentes en pirámides triangulares, sendas pirámides para sendas diagonales. No obstante, veremos que este procedimiento no conduce a la partición de cardinal mínimo, siendo necesario abordar un planteamiento constructivo independiente para lograrla. Este nuevo esquema nos conducirá a particiones que catalogaremos como no prismáticas o primásticas. Estas últimas serán objeto de un análisis específico en un tercer artículo relativo a este tema.

Particiones de un cubo en pirámides de base triangular 

1. Partición mediante descomposición de pirámides de base cuadrada

Si consideramos las diferentes particiones del cubo en pirámides cuadradas obtenidas en el artículo anterior entonces, automáticamente, son conocidas sendas particiones en pirámides triangulares sin más que considerar cada una de las dos diagonales del cuadrado que constituye la base en cada pirámide. Además, las dos subpirámides obtenidas serán equivalentes (con igual volumen), pues la base inicial cuadrada ha quedado dividida en dos partes iguales y la altura es común a ambas y, por tanto, el volumen de cada una de esas pirámides triangulares es la mitad del volumen inicial. En este contexto tendríamos las siguientes situaciones: 

• Considerando la partición mínima del cubo en tres pirámides cuadradas obtendríamos una subpartición en seis pirámides triangulares equivalentes. Dado que cada una de esas pirámides cuadradas pueden dividirse de dos formas diferentes, según cual sea la diagonal del cuadrado que se considere, tendríamos a su vez varias posibilidades:
  • Si la diagonal que se considera conduce a dividir la pirámides cuadradas por su plano de simetría, entonces las seis pirámides son congruentes ya que hay tres coincidentes entre sí mediante traslación y giro (lo que de manera simplificada se suele indicar como iguales) y las otras tres son simétricas de las primeras ―denotaremos a una de las pirámides como tipo X₁ y a su simétrica como X₂―. la partición sería {X₁, X₂, X₁, X₂, X₁, X₂}  Este caso es el que usualmente puede encontrarse en las fuentes literarias clásicas y en la Web. Veremos que es una situación particular del estudio global, que abordaremos en otro articulo, correspondiente a lo que denominaremos particiones prismáticas porque agrupando esas pirámides de tres en tres el cubo queda descompuesto en dos prismas triangulares.
    

    Escena 1. Partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares congruentes
    (Haz clic en la imagen para acceder al recurso interactivo)

    
    

    Este proceso de división podría repetirse considerando la mediana de las nuevas bases y así obtendríamos una partición con doce pirámides equivalentes y dos familias de 6 pirámides congruentes entres sí; y con una nueva fracción por la mediana serían 24 pirámides equivalentes y 4 familias congruentes y, en general 3·2ⁿ pirámides equivalentes y 2^n-1 familias de pirámides congruentes entre sí. Un entretenimiento teórico bonito, pero que físicamente su traslación a un contexto manipulativo rápidamente no es viable.

  • Si se considera la diagonal perpendicular al plano de simetría, cada pirámide cuadrada queda divida en dos pirámides equivalentes. La partición cuenta con dos tipos de pirámides que denotaremos como tipo Y (la que cuenta con un triedro trirrectángulo) y la otra que nombraremos tipo Z. La partición es {Y, Z, Y, Z, Y, Z}. Esta partición, a diferencia del caso anterior no es prismática.
    
    

    Escena  2. Partición no prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

  • Si se combinan las dos posibilidades anteriores se obtienen siempre seis pirámides equivalentes y habría dos posibilidades: {X₁, X₂, X₁, X₂, Y, Z} o {X₁, Y, Z, X₂, Y, Z}, siendo ambas también particiones prismáticas.
• Análogamente, en el caso de hacer tambien sólo una subdivisión por cada pirámide cuadrada, la partición en cuatro pirámides cuadradas se convertiría en ocho triangulares, la de cinco en diez y la de seis en doce.

En la siguiente escena se aborda de manera general la partición del cubo en pirámides triangulares a partir de las particiones del mismo en pirámides cuadradas: 

Escena  3. Partición del cubo en pirámides triangulares por división de pirámides cuadradas. Caso general.

Todas las situaciones anteriores son, o pueden considerarse, interesantes y conducentes a puzles de cierta dificultad tanto en los casos en los que se busca la máxima congruencia o regularidad, como en la posición contraria. Pero ninguna de ellas conduce a la partición con cardinal mínimo, pues el planteamiento realizado viene condicionado por la partición previa en pirámides de base cuadrada. La partición mínima, como veremos en la próxima sección, se corresponde con cinco pirámides y salvo isometrías hay una única posibilidad para su construcción. Por ello, nuestro centro de interés se focalizará en la antes citada descomposición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes, que sin ser el caso único de cardinal mínimo sí que genera una variedad de situaciones que nos proponemos cuantificar y detallar.

2. Partición mediante construcción específica

En esta sección partiendo de un cubo de vértices {A, B, C, D, E, F, G, H}, nos planteamos realizar una partición del mismo en pirámides triangulares buscando, por un lado, que la descomposición tenga cardinal mínimo y, por otro, buscando alternativas en las que sin ser de cardinal minimo se encuentren congruencias o equivalencias.

Dado que las pirámides triangulares son poliedros convexos con cuatro caras triangulares (es decir tetraedros) y cuatro vértices, en la planificación de esta partición han de tenerse en consideración las siguientes observaciones:

• Las caras del cubo han de dividirse en triángulos y, por tanto, se parte de un mínimo de 12 triángulos (2 por cada cara del cubo) y 18 segmentos (las doce aristas del cubo, más seis diagonales necesarias para partir cada una de las seis caras del cubo), que junto a los ocho vértices constituyen los elementos primarios a partir de los cuales se han de construir las pirámides de la partición.
  

  Escena 4. Una posible elección de los elementos primarios para realizar la partición 

• El menor número de pirámides se obtiene cuando se consideran exclusivamente los elementos primarios citados. La introducción de cualquier vértice o segmento adicional generará un mayor número de combinaciones posibles, un mayor número de pirámides.
• Dos pirámides de la partición pueden compartir como máximo tres vértices, una cara. O lo que es equivalente han de tener tres caras diferentes.
• Una pirámide triangular de la partición queda determinada sin más que elegir dos segmentos con distinta dirección no coplanarios.
  

  Escena 5. Pirámide triangular determinada por dos segmentos con distinta dirección no coplanarios 

• Cuando todas las diagonales correspondientes a las caras opuestas tienen distinta dirección las particiones en pirámides triangulares tienen más de seis pirámides, salvo:
  • Una partición con cinco elementos, que es la de cardenal mínimo, formada por cuatro pirámides trirrectángulas y un tetraedro regular.
    

    Escena 6. División del cubo en cinco prismas triangulares

  • Una partición con seis elementos, que es la partición no prismática indicada antes en la escena 2 y compuesta por las pirámides  {Y, Z, Y, Z, Y, Z}.
• Cuando al menos un par de las diagonales correspondientes a caras opuestas tienen la misma dirección, entonces ese par junto a las dos aristas que son perpendiculares a ellas, forman un rectángulo y la partición en pirámides triangulares es posible sólo si se introduce al menos un segmento que bien subdivida ese rectángulo en dos triángulos o bien que lo corte. Al introducirse en la partición un nuevo elemento primario no puede obtenerse la partición de cardinal mínimo. 
  

  Escena 7. Diagonales coplanarias 

  
  Ese segmento adicional puede ser:
  
  • Una diagonal del cubo. Aquí la obtención de una partición obliga a incluir nuevos elementos primarios, puntos y segmentos, y  consecuentemente se incrementa el número de pirámides obtenidas.
  • La diagonal de ese rectángulo. En este caso el cubo queda dividido en dos prismas triangulares rectos con bases que son triángulos rectángulos isósceles. En esta situación diremos que la partición del cubo es prismática y veremos que conduce a un mínimo de seis pirámides triangulares; y en el caso de ser exactamente seis se cumple que siempre son equivalentes, es decir, que tienen igual volumen.
    

    Escena 8. División del cubo en dos prismas triangulares 

Así pues, nuestro análisis nos conduce a plantearnos la partición del cubo a través de la descomposición de un prisma triangular en pirámides triangulares. Éste puede ser un buen tema para detallar en un próximo artículo, y ello es mi propósito, confiando en que habrá colegas interesados en seguir comprobando como algo que parece tan simple, la descomposición de un cubo, no lo es tanto y aporta mucho juego, interés, conocimiento y belleza matemática. Por aquí ¡os espero pronto! 

El estudio y búsqueda de regularidades o propiedades en cualquier objeto puede abordarse desde diferentes perspectivas. Una de ellas es proceder a la disección o descomposición buscando desentrañar el interior o lo particular para comprender el exterior o la globalidad. La máxima aristotélica de que el todo es más que la suma de sus partes no queda contradicha por acudir al hecho de realizar una partición —matemáticamente descomponer un conjunto como unión de subconjuntos cuyas intersecciones tienen medida nula—, sino que metodológica o procedimentalmente es un medio humanamente asequible con el que dar un primer paso a través del cual buscar y tratar de abarcar, en un posterior análisis global, ese todo a partir de sus partes. En esta línea, en este artículo, mostraremos con recursos interactivos algunas particiones usuales de un cubo en pirámides con base cuadrada y comprobaremos como todos esos casos son situaciones particulares de una partición general basada en nueve puntos (los vértices del cubo y un adicional).  

El motivo para elegir una determinada partición de la infinidad de particiones posibles y hacerla distinguible del resto puede sustentarse en diversos criterios u objetivos, pero usualmente suelen marcarse pautas como que la partición tenga el menor número de elementos o que sea lo más regular posible, es decir, que las partes sean iguales o congruentes —que coincidan mediante una composición de isometrías (traslaciones, giros o simetrías)— o equivalentes —con igual medida— o cualquier otro parámetro que sea atractivo para quien busque adentrarse en este contexto. Pero la elección también podría estar marcada por criterios opuestos o diferentes a los anteriores. Si pensamos en que la reconstrucción del cubo a partir de las piezas de una partición es un entretenimiento usual, catalogado como rompecabezas o puzle, el diseñador del mismo puede perseguir que todas las piezas sean iguales o plantarse en la situación opuesta de que todas sean diferentes. La dificultad o sencillez, la mayor o menor belleza del modelo obtenido tiene más componente subjetivo que objetivo; pero la belleza matemática siempre estará implícita en todos y cada unos de los planteamientos realizados, al ser medios y soportes conducentes a la extracción y obtención del conocimiento.

En este artículo analizaremos la partición de un cubo en pirámides de base cuadrada y en un artículo posterior nos adentraremos en la partición en pirámides de base triangular (tetraedros aunque no necesariamente regulares).

Particiones de un cubo en pirámides de base cuadrada 

Posicionándonos y atendiendo al criterio de que la partición tenga cardinal mínimo o que sea lo menor posible y adicionalmente que sus componentes sean regulares o que sean lo más similares entre sí, podemos encontrar cuatro situaciones, que son las que usualmente se muestran y divulgan, y que reflejaremos en sendos recursos interactivos. En ellos se conjugará la virtualidad digital con la posibilidad de contruir el modelo respectivo de forma tangible, a lo que animamos e invitamos a todos.

1. Tres pirámides cuadradas iguales.

Este caso se corresponde con la partición con cardinal mínimo.  Las tres pirámides comparten la misma cúspide y son iguales. Esta partición suele tomarse como base para mostrar que el volumen de una piramide es la tercera parte del área de su base por su altura, pero no nos adentraremos en ese objetivo. 

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2. Cuatro pirámides cuadradas iguales dos a dos.

Esta partición se caracteriza porque las cuatro pirámides también comparten la misma cúspide y son iguales dos a dos.  

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3. Cinco pirámides cuadradas, cuatro iguales y una desigual que es regular.

Aquí las cinco pirámides vuelven a tener la misma cúspide.

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4. Seis pirámides cuadradas regulares e iguales.

Todas las pirámides comparten la misma cúspide y todas son regulares e iguales (congruentes). 

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Todos los casos anteriores son los ejemplos que usualmente se suelen mostrar en múltiples contextos por su simplicidad y belleza. Pero, como hemos indicado, la belleza también puede alcanzarse a través de un análisis global en el que los casos anteriores no sean más que un caso particular de una situación general, y donde la diversidad y la diferencia sean la pauta a lograr. En ese empeño, a continuación, mostraremos de manera razonada y constructiva cómo abordar una partición del cubo en pirámides de base cuadrada, y adicionalmente se podrá observar digital y analógicamente apoyándonos en un nuevo recurso interactivo.

Generalización de la partición del cubo en pirámides cuadradas

Para construir una partición del cubo en pirámides cuadradas es necesario, obligatorio, utilizar los ocho vértices del cubo y las doce aristas del mismo, y adicionalmente hay que seleccionar o marcar cuál o cuáles serán las cúspides de las pirámides a construir. La introducción de puntos adicionales a los vértices hará que aumente el número de combinaciones de cinco puntos que pueden realizarse y consecuentemente podrá incrementarse el número de pirámides de la partición (no todas las combinaciones posibles de vértices son viables para obtener una partición del cubo).  Así pues, analicemos diferentes alternativas:

• No incluir ningún punto adicional.
  Esta elección obliga a que la cúspide de cada pirámide sea uno de los vértices del cubo y si además imponemos que todas las pirámides compartan la misma cúspide entonces obviamente obtendremos la partición de cardinal mínimo. Este plantemiento es viable pues basta seleccionar un vértice del cubo y desde él trazar segmentos a cada uno de los otros siete vértices, ello conduce a la partición en tres pirámides que ha sido reflejada en el primer caso descrito en este artículo. La partición es única pues, se elija el vértice que se elija, todas las particiones son congruentes mediante giros.
• Añadir un punto adicional. 
  Este punto sería la cúspide común de todas las pirámides a construir para que así el número de éstas sea lo menor posible y constructivamente se procede igual que en el caso anterior trazando segmentos desde la cúspide común a los vértices del cubo. Dicho punto adicional ha de pertenecer al cubo, bien a su interior o a la frontera y por tanto podemos distinguir las siguientes situaciones:
  • Punto perteneciente a una arista. Aquí obtendremos una partición compuesta por cuatro pirámides. En general las cuatro son distintas, pero entre dos de ellas se da siempre una congruencia (una es simétrica de la otra). Y hay un caso particular en el que las pirámides son iguales dos a dos, que es el segundo caso expuesto en la sección anterior, y que acontece cuando el punto adicional considerado es el punto medio de la arista.
    La arista a la que pertenezca el punto no introduce ninguna variación. Todas serán situaciones congruentes. 
  • Punto perteneciente a una cara. Este caso conduce a la partición en cinco pirámides y de las infinitas posibilidades la situación con más regularidad es cuando el punto elegido es el punto donde se intersecan las diagonales de la cara. Es el tercer caso expuesto con anterioridad.
    La partición, salvo isometrías, es independiente de la cara seleccionada
  • Punto perteneciente al interior del cubo. Esta situación hace que sean seis pirámides las que forman la partición. De las infinitas particiones posibles, cuando el punto seleccionado es el punto de intersección de las diagonales del cubo se tiene que las seis pirámides son iguales y regulares, éste es el cuarto caso mostrado antes.

En el siguiente objeto interactivo puede experimentarse y verse todo lo indicado.

Haz clic en la imagen para acceder al recurso interactivo

En un próximo artículo nos adentraremos en la partición de un cubo en pirámides triangulares.