El estudio y búsqueda de regularidades o propiedades en cualquier objeto puede abordarse desde diferentes perspectivas. Una de ellas es proceder a la disección o descomposición buscando desentrañar el interior o lo particular para comprender el exterior o la globalidad. La máxima aristotélica de que el todo es más que la suma de sus partes no queda contradicha por acudir al hecho de realizar una partición —matemáticamente descomponer un conjunto como unión de subconjuntos cuyas intersecciones tienen medida nula—, sino que metodológica o procedimentalmente es un medio humanamente asequible con el que dar un primer paso a través del cual buscar y tratar de abarcar, en un posterior análisis global, ese todo a partir de sus partes. En esta línea, en este artículo, mostraremos con recursos interactivos algunas particiones usuales de un cubo en pirámides con base cuadrada y comprobaremos como todos esos casos son situaciones particulares de una partición general basada en nueve puntos (los vértices del cubo y un adicional).  

El motivo para elegir una determinada partición de la infinidad de particiones posibles y hacerla distinguible del resto puede sustentarse en diversos criterios u objetivos, pero usualmente suelen marcarse pautas como que la partición tenga el menor número de elementos o que sea lo más regular posible, es decir, que las partes sean iguales o congruentes —que coincidan mediante una composición de isometrías (traslaciones, giros o simetrías)— o equivalentes —con igual medida— o cualquier otro parámetro que sea atractivo para quien busque adentrarse en este contexto. Pero la elección también podría estar marcada por criterios opuestos o diferentes a los anteriores. Si pensamos en que la reconstrucción del cubo a partir de las piezas de una partición es un entretenimiento usual, catalogado como rompecabezas o puzle, el diseñador del mismo puede perseguir que todas las piezas sean iguales o plantarse en la situación opuesta de que todas sean diferentes. La dificultad o sencillez, la mayor o menor belleza del modelo obtenido tiene más componente subjetivo que objetivo; pero la belleza matemática siempre estará implícita en todos y cada unos de los planteamientos realizados, al ser medios y soportes conducentes a la extracción y obtención del conocimiento.

En este artículo analizaremos la partición de un cubo en pirámides de base cuadrada y en un artículo posterior nos adentraremos en la partición en pirámides de base triangular (tetraedros aunque no necesariamente regulares).

Particiones de un cubo en pirámides de base cuadrada 

Posicionándonos y atendiendo al criterio de que la partición tenga cardinal mínimo o que sea lo menor posible y adicionalmente que sus componentes sean regulares o que sean lo más similares entre sí, podemos encontrar cuatro situaciones, que son las que usualmente se muestran y divulgan, y que reflejaremos en sendos recursos interactivos. En ellos se conjugará la virtualidad digital con la posibilidad de contruir el modelo respectivo de forma tangible, a lo que animamos e invitamos a todos.

1. Tres pirámides cuadradas iguales.

Este caso se corresponde con la partición con cardinal mínimo.  Las tres pirámides comparten la misma cúspide y son iguales. Esta partición suele tomarse como base para mostrar que el volumen de una piramide es la tercera parte del área de su base por su altura, pero no nos adentraremos en ese objetivo. 

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2. Cuatro pirámides cuadradas iguales dos a dos.

Esta partición se caracteriza porque las cuatro pirámides también comparten la misma cúspide y son iguales dos a dos.  

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3. Cinco pirámides cuadradas, cuatro iguales y una desigual que es regular.

Aquí las cinco pirámides vuelven a tener la misma cúspide.

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4. Seis pirámides cuadradas regulares e iguales.

Todas las pirámides comparten la misma cúspide y todas son regulares e iguales (congruentes). 

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Todos los casos anteriores son los ejemplos que usualmente se suelen mostrar en múltiples contextos por su simplicidad y belleza. Pero, como hemos indicado, la belleza también puede alcanzarse a través de un análisis global en el que los casos anteriores no sean más que un caso particular de una situación general, y donde la diversidad y la diferencia sean la pauta a lograr. En ese empeño, a continuación, mostraremos de manera razonada y constructiva cómo abordar una partición del cubo en pirámides de base cuadrada, y adicionalmente se podrá observar digital y analógicamente apoyándonos en un nuevo recurso interactivo.

Generalización de la partición del cubo en pirámides cuadradas

Para construir una partición del cubo en pirámides cuadradas es necesario, obligatorio, utilizar los ocho vértices del cubo y las doce aristas del mismo, y adicionalmente hay que seleccionar o marcar cuál o cuáles serán las cúspides de las pirámides a construir. La introducción de puntos adicionales a los vértices hará que aumente el número de combinaciones de cinco puntos que pueden realizarse y consecuentemente podrá incrementarse el número de pirámides de la partición (no todas las combinaciones posibles de vértices son viables para obtener una partición del cubo).  Así pues, analicemos diferentes alternativas:

• No incluir ningún punto adicional.
  Esta elección obliga a que la cúspide de cada pirámide sea uno de los vértices del cubo y si además imponemos que todas las pirámides compartan la misma cúspide entonces obviamente obtendremos la partición de cardinal mínimo. Este plantemiento es viable pues basta seleccionar un vértice del cubo y desde él trazar segmentos a cada uno de los otros siete vértices, ello conduce a la partición en tres pirámides que ha sido reflejada en el primer caso descrito en este artículo. La partición es única pues, se elija el vértice que se elija, todas las particiones son congruentes mediante giros.
• Añadir un punto adicional. 
  Este punto sería la cúspide común de todas las pirámides a construir para que así el número de éstas sea lo menor posible y constructivamente se procede igual que en el caso anterior trazando segmentos desde la cúspide común a los vértices del cubo. Dicho punto adicional ha de pertenecer al cubo, bien a su interior o a la frontera y por tanto podemos distinguir las siguientes situaciones:
  • Punto perteneciente a una arista. Aquí obtendremos una partición compuesta por cuatro pirámides. En general las cuatro son distintas, pero entre dos de ellas se da siempre una congruencia (una es simétrica de la otra). Y hay un caso particular en el que las pirámides son iguales dos a dos, que es el segundo caso expuesto en la sección anterior, y que acontece cuando el punto adicional considerado es el punto medio de la arista.
    La arista a la que pertenezca el punto no introduce ninguna variación. Todas serán situaciones congruentes. 
  • Punto perteneciente a una cara. Este caso conduce a la partición en cinco pirámides y de las infinitas posibilidades la situación con más regularidad es cuando el punto elegido es el punto donde se intersecan las diagonales de la cara. Es el tercer caso expuesto con anterioridad.
    La partición, salvo isometrías, es independiente de la cara seleccionada
  • Punto perteneciente al interior del cubo. Esta situación hace que sean seis pirámides las que forman la partición. De las infinitas particiones posibles, cuando el punto seleccionado es el punto de intersección de las diagonales del cubo se tiene que las seis pirámides son iguales y regulares, éste es el cuarto caso mostrado antes.

En el siguiente objeto interactivo puede experimentarse y verse todo lo indicado.

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En un próximo artículo nos adentraremos en la partición de un cubo en pirámides triangulares.