"Si comparamos las anteriores veintiuna particiones del cubo ¿cuántas son congruentes a su vez entre sí?, es decir, ¿cuántas son diferentes salvo isometrías?"... Esta pregunta quedó abierta en el artículo "Partición de un cubo en pirámides (y parte III)" y en esta adenda procedemos a su respuesta.

1. Reducción por congruencia de las particiones prismáticas del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes 

Podemos realizar dos planteamientos conducentes a determinar el menor número de particiones diferentes salvo isometrías:

Opción A

En las treinta y seis particiones prismáticas del cubo observamos que la partición P2-P1 es congruente con la P1-P2 sin más que realizar un giro de 180º alrededor de la vertical (eje Oz) y, por tanto, quedaban reducidas a veintiuna las posibles particiones. Éstan son : {I-I, I-II, I-III, I-IV, I-V, I-VI, II-II, II-III, II-IV, II-V, II-VI, III-III, III-IV, III-V, III-VI, IV-IV, IV-V, IV-VI, V-V, V-VI, VI-VI}. Y en particular, entre ellas, hay tres casos en los que todas las pirámides son congruentes: {I-I, I-IV, IV-IV}.

Escena 1. Congruencia mediante giro de 180º alrededor del eje Oz

En el análisis de la descomposición del prisma triangular en tres pirámides triangulares equivalentes indicamos que la aplicación de una simetría y de un giro alrededor del eje Oy generaba las siguientes transformaciones:

que aplicadas a las particiones del cubo conducen a: 

Así pues combinando estas isometrías podemos ver las relaciones existentes entre las treinta y seis particiones e identificar las congruencias existentes entre las mismas. Esto puede verse interactivamente en la siguiente escena:

Escena 2. Congruencias en las particiones del cubo

Opción B

Otro planteamiento posible sería partir de las dos particiones posibles del prisma (I y II), junto a sus congruencias respectivas (IV y III, V, VI) y abordar las combinaciones de las mismas para formar el cubo. Esto nos lleva a:

I-I
I-II
I-III
I-IV
I-V	congruente con I-III
I-VI	congruente con I-II
II-II
II-III
II-IV	congruente con I-III
II-V
II-VI

La primera opción tiene como ventaja el poder ver todas las particiones posibles, agrupadas por congruencia, y la segunda el ser un análisis más breve. Ambas nos permiten obtener las conclusiones finales expuestas a continuación.  

2. Conclusiones en la partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes 

Del análisis anterior se concluye que, salvo isometrías, hay sólo ocho formas diferentes de descomponer prismáticamente el cubo en seis pirámides equivalentes y entre ellas hay dos en las que todas las pirámides son también congruentes entre sí.

Escena 3. Las ocho particiones prismáticas del cubo, salvo isometrías

Todo queda englobado en este objeto interactivo:

Objeto interactivo: Partición prismática del cubo en pirámides triangulares equivalentes

Nota bene. 

En los artículos publicados en este blog con el título "Particiones del cubo en pirámides" se han realizado las siguientes aportaciones:

1. Partiendo de las clásicas y conocidas descomposiciones del cubo en tres, cuatro, cinco y seis pirámides de base cuadrada, aquí se ha planteado una visión global que muestra que los casos anteriores no son más que cuatro casos particulares de una infinidad de particiones, todas construidas en base a considerar un punto que pasa a configurarse como el vértice común a todas las pirámides que conforman cada partición. El cardinal mínimo de la partición se alcanza en tres pirámides.

2. En base a la partición genérica anterior, se ha descompuesto de manera general el cubo en seis, ocho, diez y doce pirámides triangulares mediante la subdivisión de cada pirámide cuadrada en dos triangulares. En el caso de seis pirámides se demuestra que dichas pirámides son siempre equivalentes, de igual volumen.

3. Constructivamente se prueba que la partición del cubo en pirámides triangulares alcanza su cardinal mínimo en una única y clásica partición en cinco pirámides triangulares compuesta por un tetraedro regular y cuatro pirámides trirrectángulares, pero que no tienen igual volumen. 

4. Centrándose en las particiones del cubo en pirámides triangulares que sean equivalentes (igual volumen) se ha obtenido que en este caso el cardinal mínimo es de seis y pueden englobarse en particiones no prismáticas y particiones prismáticas (aquellas en las que el cubo queda a su vez dividido en dos prismas triangulares).

5.  Se ha abordado y analizado la partición de un prisma triangular en tres pirámides equivalentes, como problema conducente a la partición prismática del cubo, y se ha concluído que salvo isometrías hay sólo dos posibilidades. En particular en una de ellas las tres pirámides son además congruentes (coincidentes mediante isometrías).

6. A partir de la descomposición del prisma se han construido las posibles particiones prismáticas del cubo en pirámides triangulares equivalentes obteniéndose ocho posibilidades y, entre ellas, dos casos en las que las seis pirámides además son congruentes.

Así pues, un problema clásico —la partición de un cubo en pirámides cuadradas y triangulares—, que ha sido siempre expuesto de manera parcial a través de ejemplos particulares que no detallan la totalidad de las posibilidades, aquí se ha analizado constructivamente desde una perspectiva metódica, englobadora que logra hacer un completo y detallado recubrimiento descriptivo de su solución.