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Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas V. La cuadratura del círculo.


Como prólogo a un breve estudio sobre la cuadratura del círculo, hemos analizado la manera de cuadrar algunos polígonos y hecho una breve reflexión sobre los teselados. En particular se ha visto, entre otros asuntos, el método general de cuadrar los polígonos regulares y referente a las teselaciones se ha mostrado, entre otras, la manera de teselar un triángulo cordobés con una sucesión de triángulos cordobeses.

Dentro del tema que nos ocupa: los Lugares geométricos también, en su día, estudiamos las Trisectrices de Hipias y Nicomedes y en otros artículos se han expuesto misceláneas y escenas que desarrollan la espiral de Arquímedes y la cuadratriz de Dinostrato; no obstante en la presente entrada volvemos a insistir en el estudio de las primeras curvas mecánicas o lugares geométricos creados por estos autores por su evidente interés y para animar a la conversión en misceláneas de las escenas que aún no lo son.

Anteriormente hemos enlazado el extraordinario trabajo del profesor Fernando Bombal sobre la cuadratura del círculo, volvemos a hacerlo y en el leemos:

trisectriz
curva trisectriz (cuadratriz) 

Recomendamos la lectura completa del documento así como el análisis de su extensa bibliografía.

También en entradas anteriores hemos enlazado con el blog de Miguel Ángel Morales Medina, en esta ocasión lo hacemos al básico pero minucioso artículo sobre la cuadratura del círculo: ¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?.


cuadratura
Blog Gaussianos 

A continuación y también como prolegómeno al estudio de la cuadratura del círculo enlazamos con dos pequeños trabajos sobre la cuadratura de las lúnulas: el primero de ellos creado con DescartesJS y el segundo con el programa GeoGebra.

  • Cuadratura de una lúnula I: Con la ayuda de dos semicírculos creamos una lúnula y aplicando el teorema de Hipócrates de Chios encontramos, según se muestra en la siguiente escena interactiva, un triángulo de igual área que dicha lúnula. Cuadrando el triángulo obtenemos la cuadratura de la lúnula.

    Escena desarrollada con DescartesJS.


    cuadratura de una lúnula

  • Cuadratura de una lúnula II: actuando de forma análoga a como hemos hecho en la escena anterior obtenemos la cuadratura de una lúnula con el programa GeoGebra



    cuadratura de una lúnula



Las escenas que se exponen a continuación son recreaciones de otras ya expuestas en este blog y tienen como objetivo refrescar la memoria sobre las curvas mecánicas mencionadas anteriormente.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

La trisectriz de Hípias



trisectriz

La trisectriz - cuadratriz de Hípias - Dinostrato

En la siguiente escena se determina un segmento relacionado directamente con el número π utilizando la trisectriz - cuadratriz de Hípias - Dinostrato



trisectriz - cuadratriz

Las siguientes utilidades muestran: la primera, además de las ecuaciones paramétricas de la espiral, la manera como se genera el lugar geométrico conocido como espiral de Arquímedes y la otra la determinación de un segmento de longitud raiz cuadrada de π, en esta ocasión mediante la mencionada espiral de Arquímedes y la ecuación cartesiana de dicho lugar geométrico.


espiral de Arquímedes



deducción de raiz de π con la espiral de Arquímedes

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, del área de las lúnulas de Hipócrates.


,

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con las cuadraturas estudiadas para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

Viernes, 08 Diciembre 2017 01:13

PISA 2017. Comprensión lectora

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Aviso en el supermercado es una unidad didáctica interactiva que pertenece al apartado de Comprensión lectora del grupo PISA 2017. Las unidades de este grupo forman parte del Proyecto Competencias de la RED y han sido elaboradas a partir de unidades liberadas PISA.

Para facilitar su consulta, están agrupadas cinco grandes bloques: ciencias, comprensión lectora, finanzas, matemáticas y resolución de problemas.

Viernes, 01 Diciembre 2017 18:36

EDAD 1ºESO Fracciones

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Este mes vamos a ver el resumen de fracciones de 1ºESO:

Hemos tratado los siguientes puntos en nuestro vídeo:

1.Concepto de fracción.
   Las fracciones en nuestra vida.            
   Elementos de una fracción.       
   Cómo se lee una fracción.
   El valor de una fracción.
   Pasar una fracción a un decimal.  

2.Fracciones equivalentes.
   Fracciones equivalentes.
   Productos cruzados.    
   Simplificar una fracción.

3.Operaciones con fracciones.
   Paso a común denominador.
   Suma de fracciones.
   Suma y resta de fracciones.
   Multiplicación de fracciones.
   Fracción inversa de una fracción.
   División de fracciones.
   Operaciones combinadas

4.Aplicaciones
   Problemas con fracciones

 

 

 

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CUADRATURAS IV.

La cantidad de patrones de teselado, por lo tanto la cantidad de teselados, es infinita e inagotable. También lo es la cantidad de no teselados. Los alarifes que hicieron posible la habitación de retiro de la reina y sus alrededores, en la alhambra de Granada, hicieron realmente, poesía geométrica viva, dinámica, sensorial, placentera, evocativa…

Hacemos hincapié en el estudio de los patrones más elementales del grupo de los básicos con objeto de analizar como una sutil variación en la forma o el color produce efectos anímicos y visuales muy diferentes y así facilitar el proceso de análisis y creación de las teselaciones más complejas.

Además de nuevos enlaces volvemos a mostrar, por su interés, algunos de los ya expuestos en entradas anteriores:

tesela
patrones y teselados 

Para quien considere necesaria una inmersión en los conceptos básicos relacionados con las teselaciones hemos preparado los siguientes contenidos:

tesela
tesela pentagonal 

La imagen anterior enlaza con una unidad que, en su día, desarrolló el profesor Ángel Aguirre Pérez y que he comenzado a adaptar a DescartesJS debido a que sus objetivos son similares a los que nos proponemos en este artículo y por tanto nos introduce en el tema de la forma clásica y básica.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos acercamos a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.



Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

A poco que se observen los trabjos de teselción expuestos o enlazados se evidencia que en cada uno de ellos se reproduce un patrón. Existe un amplio grupo de patrones y entre los más elementales están los conocidos como 'tipo mitad del cuadrado' que son los que se obtienen descomponiendo el cuadrado en dos o más partes diferenciadas, en nuestro caso, por el color, de manera que ambas formas tengan igual área. A continuación se exponen varios ejemplos de estos patrones que aclaran el concepto.

  • Estudio de los patrones y sus teselaciones correspondientes tipo "mitad del cuadrado".
    Mitad del cuadrado I.

    mitad del cuadrado VI
    Mitad del cuadrado: Patrón 6

  • Mitad del cuadrado II.

    mitad del cuadrado II
    Mitad del cuadrado: Patrón 7



  • Mitad del cuadrado III.
    Este patrón ya ha sido expuesto en entradas anteriores, en la actual enlazamos con un ejemplo de las teselaciones a que da lugar.

    Mitad del cuadrado
    Mitad del cuadrado: Patrón 8



  • Mitad del cuadrado IV.

    Mitad del cuadrado
    Mitad del cuadrado: Patrón 9



  • Mitad del cuadrado V.

    cuadratura del triángulo
    Mitad del cuadrado: Patrón 10

A continuación exponemos los trabajos que desarrollan la cuadratura del pentágono regular, tanto con DescartesJS como con GeoGebra.

  • Cuadratura de un pentágono regular de lado AB. La miscelánea Pentágono regular: Cuadratura. Método clásico detalla más explícitamente la misma escena.

    cuadratura del pentágono
    cuadratura del pentágono

    Recordamos que:
    • La circunferencia c tiene de centro el punto D' y radio A'B'.
    • El arco c2 tiene de centro el punto G' (punto medio de B'F') y radio G'B'.
    • El arco c3 tiene de centro el punto D' y radio D'H'.
  • La misma cuadratura realizada con el programa GeoGebra

    cuadratura del pentágono
    cuadratura del pentágono

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la creación, paso a paso, de una tesela reutilizando un "cede (CD)".


Interesante manualidad sobre teselación.

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con las cuadraturas estudiadss para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

Una forma lúdica de teselar es resolver un rompecabezas, esto es un ejercicio para ejercitar la memoria visual y otras habilidades por lo que proponemos, temporalmente, un amplio grupo de puzles para su resolución, uso y disfrute.


Juegos para entrenar la memoria visual.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

 

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