En este artículo presentamos uno de los recursos más completos y versátiles de la RED Descartes: el Proyecto Unidades Didácticas.

Se trata de un amplio repositorio de unidades didácticas de Matemáticas y Física y Química, elaboradas por docentes a partir de su experiencia en el aula. Son materiales independientes entre sí, lo que permite utilizarlos de forma flexible y adaptarlos fácilmente a distintos contextos educativos.

Un recurso pensado para el profesorado

Una de las principales fortalezas del proyecto es su estructura abierta. El profesorado puede:

Seleccionar únicamente las unidades que necesite.

• Organizarlas según su programación.
• Adaptarlas a las características y ritmo de su alumnado.
• Utilizarlas como material principal, de refuerzo o de ampliación.

No se trata de un libro digital cerrado, sino de un conjunto de recursos interactivos que pueden integrarse con total libertad en la práctica docente.

Organización clara y accesible

Las unidades están clasificadas de dos formas:

• Por índice temático, lo que facilita trabajar contenidos concretos ( Álgebra, Análisis, Geometría, Estadística y probabilidad, Matemáticas aplicadas, Juegos diversos, Herramientas de edición, Calor y temperatura, Campos eléctrico y gravitatorio, Electricidad y magnetismo, Física moderna, La materia, Los movimientos, Ondas, Óptica, Medida y método científico)
• Por niveles educativos, permitiendo acceder directamente a los materiales de cada curso (Primaria, Secundaria, Bachillerato, Universidad).

Además, todas las unidades mantienen una estructura común:

• Índice de contenidos en la parte izquierda.
• Páginas de contenidos con el desarrollo del tema. En la parte inferior se encuentran flechas de enlaces que permiten regresar a la página inicial o bien retroceder o avanzar páginas.
• Escenas interactivas que permiten experimentar, manipular parámetros y visualizar conceptos.

Esta coherencia facilita tanto la navegación como el trabajo autónomo del alumnado.

En todos los casos se aprecia el valor añadido de las escenas interactivas, que ayudan a comprender conceptos abstractos mediante la visualización y la experimentación.

Un proyecto colaborativo con experiencia real de aula

El Proyecto Unidades Didácticas es el resultado del trabajo de numerosos docentes que han trasladado al entorno digital su experiencia didáctica. Esto convierte al recurso en una herramienta cercana, práctica y alineada con las necesidades reales del aula.

En el vídeo que acompaña a este artículo realizamos un recorrido guiado por el proyecto, mostrando su organización y algunos ejemplos de uso.

Te invitamos a ver el vídeo y a explorar las distintas unidades disponibles para incorporarlas a tu práctica docente.

Continuamos sumergiendonos en el fascinante universo creado en los libros interactivos "El Gran Torneo de Magia y Hechicería" y "Los juegos de la Alquimia" y cuya introducción comenzamos en un artículo anterior. En este capítulo exploraremos los paisajes naturales de los territorios de Mundo Mágico.

En este reino, cada elemento y cada ser están profundamente impregnados de hechicería. Los territorios están bañados en una energía arcana que fluye por el aire, la tierra y el agua, tejiendo una intrincada red de poder que sostiene cada rincón de este mundo. Aquí, los días y las noches no siempre obedecen a los mismos ciclos, los cielos cambian de color con cada hechizo poderoso lanzado y los vientos susurran secretos.

El Mundo Mágico está formado por una gran variedad de paisajes que van desde desiertos áridos y montañas nevadas hasta bosques encantados, ciénagas peligrosas y vastas llanuras. Cada área tiene sus propios desafíos, criaturas y secretos. También existen ciudades, fortalezas y ruinas antiguas, lo que sugiere un pasado extenso lleno de imperios y civilizaciones olvidadas. 

En este mundo especial, las leyes de la física pueden ser diferentes a las del mundo real. Existen portales hacia otras dimensiones, objetos que alteran el tiempo y el espacio y paisajes que desafían la lógica, como puentes imposibles o caminos que parecen no tener fin.

Sus bosques son vastos y enigmáticos, territorios donde la naturaleza y la hechicería están entrelazadas de forma tan profunda que cada árbol, planta y criatura parecen poseer una voluntad propia. Estos bosques no son meras colecciones de árboles; son criaturas vivas, con personalidades y características únicas. Existen bosques donde los troncos de los árboles se retuercen formando arcos naturales, caminos que guían a los viajeros hacia misteriosas ruinas cubiertas de musgo y claros donde la luz de la luna parece volverse líquida.

Las montañas del Mundo Mágico son antiguas y majestuosas, erigidas como colosos que rozan los cielos y se yerguen sobre el reino como centinelas silenciosos. Estas montañas no son simples formaciones de roca. Están imbuidas de una hechicería primigenia y poderosa que las hace casi entidades vivas, con voluntad y temperamento propios. Algunas de ellas emana un resplandor tenue al anochecer, y sus cumbres parecen entrelazarse con las estrellas, como si fueran parte de un tapiz cósmico que conecta la tierra y el cielo.

Los lagos del Mundo Mágico son espejos de agua encantada, tan profundos en sus secretos como lo son en sus aguas cristalinas y a menudo misteriosas. Cada lago es una entidad singular, con propiedades únicas que varían según su ubicación y su historia mágica, haciendo que muchos los consideren portales hacia otros planos o reservas de energía ancestral que solo algunos saben utilizar. Estos cuerpos de agua no solo reflejan el cielo, sino también la energía misma del reino, revelando en sus superficies destellos de fuerzas invisibles que los recorren.

Las grutas del Mundo Mágico están dispersas en su paisaje vasto y diverso, y forman parte integral de su geografía mística. Estas formaciones rocosas se encuentran en las laderas de montañas majestuosas y en valles profundos, ocultas por frondosos bosques o emergiendo en planicies solitarias. A menudo, las entradas a estas grutas están parcialmente cubiertas por lianas y musgo, creando un aspecto de naturaleza salvaje que mantiene sus secretos bien guardados. 

Los desiertos de hielo y nieve del Mundo Mágico son vastas extensiones heladas, regiones tan inhóspitas como fascinantes, donde el frío es tan penetrante que se siente casi como una fuerza viva. En estos parajes eternamente cubiertos de hielo y nieve, el paisaje parece estático y desolado, pero en realidad es un ecosistema lleno de vida y energía, aunque muy diferente de la que habita en los bosques o montañas. Los desiertos helados son reinos donde la magia se expresa en forma de tormentas de nieve, auroras danzantes, y cristales de hielo que vibran con energías arcanas.

Los tórridos desiertos de arena del Mundo Mágico son vastos océanos de dunas doradas y abrasadoras, regiones donde el calor y la magia se mezclan para crear paisajes de espejismos y antiguas maravillas ocultas. Bajo el sol inclemente, estos desiertos parecen inmutables, pero en realidad son tierras vivas, cargadas de secretos y leyendas que solo aquellos que desafían su ardiente terreno pueden llegar a comprender. Cada grano de arena parece impregnado de un antiguo poder y el viento que sopla entre las dunas susurra historias de civilizaciones perdidas y hechiceros de eras remotas.

Los ríos son venas de energía pura que cruzan reinos y territorios, conectando tierras y criaturas con su fluir encantado. A diferencia de los ríos comunes, sus aguas llevan una esencia mágica que cambia con cada tramo, adaptándose a los poderes y secretos de las regiones que recorren. Además, sus cursos son cambiantes e impredecibles, siendo difícil adivinar a dónde nos conducen sus aguas.

Los mares del Mundo Mágico son vastos y encantadores, extendiéndose como lienzos de agua iridiscente que reflejan las fuerzas místicas del reino. Sus aguas cambian de tonalidades dependiendo de la hora del día y de la magia que fluye por el reino. En los días luminosos, el mar parece teñido de un azul cristalino y transparente, revelando un fondo cubierto de corales brillantes y peces de colores imposibles. Por la noche, estos mares emiten un resplandor suave, gracias a criaturas marinas que producen luces bioluminiscentes, creando un espectáculo que convierte las aguas en un cielo estrellado bajo las olas.

Nuestra organización no gubernamental "Red Educativa Digital Descartes" (RED Descartes) ha publicado el cuarto volumen de su publicación periódica anual correspondiente al año 2026

Recursos educativos interactivos de RED Descartes

ISSN: 2952-3117 

Editorial "Red Educativa Digital Descartes"

En esta esta publicación se recogen todos los recursos de RED Descartes, en formato descargable, para que el usuario pueda instalarlos en su sistema informático local y, si lo desea, trabaje sin conexión a Internet. Estos recursos se organizan en subproyectos que agrupan a los que cuentan con una estructura funcional común y unos contenidos ligados a un nivel educativo concreto o aquellos que tienen una finalidad educativa particular. 

Todos los recursos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual 

Vol. IV, enero de 2026

Descarga Tamaño Descripción y enlace al subproyecto en línea 0,409 GB Proyecto Canals. Matemáticas para Infantil y Primaria. 0,227 GB Proyecto Pizarra Interactiva. Matemáticas y Lengua para tercer ciclo de Primaria. 9,210 GB Proyecto ED@D, Educación Digital con Descartes. Matemáticas, Ciencias Naturales y Física y Química de Secundaria. 0,520 GB Unidades didácticas. Matemáticas de Primaria, Secundaria y Bachillerato. Física y Química de Secundaria y Bachillerato. 1,430 GB Proyecto Plantillas. Herramientas de edición. 0,402 GB Proyecto @prende.mx. Matemáticas Primaria. 0,660 GB Proyecto Competencias. Formación y evaluación competencial en Primaria y Secundaria. Dinamización unidades PISA y Pruebas de diagnóstico. 0,045 GB Proyecto ASIPISA. Secundaria, dinamización de las unidades PISA. 0,678 GB Misceláneas. Matemáticas Secundaria, Bachillerato  y Universidad. 37,850 GB iCartesiLibri. Libros interactivos de Descartes. Todos los niveles. 0,951 GB Proyecto Ingeniería y Tecnología. Recursos curriculares de ingeniería y tecnología para Universidad. 0,504 GB Proyecto Un_100. Matemáticas y Física Bachillerato y Universidad. 0,083 GB Problemas de Física y Química. Física y Química Secundaria, Bachillerato y Universidad. 0,211 GB Telesecundaria. Matemáticas y Física y Química. Secundaria. 7,500 GB Aplicación de juegos didácticos en el aula. Todos los niveles y cualquier asignatura. 0,655 GB Proyecto Prometeo. Matemáticas y Física. Secundaria y Universidad. 0,212 GB GEOgráfica. Geografía Primaria y Secundaria. 0,079 GB Estudio Europeo de Comunicación Lingüística. Francés e Inglés Secundaria.

 Las publicaciones de años anteriores puede consultarlas en la página específica de esta publicación seriada anual que está enlazada en el menú superior de nuestro portal en la opción "E-PUBLICACIÓN"

En este artículo vamos a conocer algunas unidades didácticas interactivas de la Red Descartes, concretamente del proyecto Competencias.

Las actividades del proyecto Competencias se presentan en un entorno interactivo que permite al alumnado aprender de forma autónoma. Cada actividad incluye un enunciado claro, un espacio para interactuar y un sistema de retroalimentación inmediata que informa si la respuesta es correcta o no.

He seleccionado tres actividades dirigidas a alumnado de segundo de la ESO, relacionadas con la antigua competencia de conocimiento del medio, que actualmente se integra principalmente dentro de la competencia STEM.

A lo largo del vídeo que acompaña este artículo veremos cómo funcionan estas actividades, cómo se responden, qué ocurre cuando hay algún error y cómo se muestra la puntuación final.

Vamos a ver ahora tres ejemplos concretos.

Actividad 1: Clasificando especies

La primera actividad se titula “Clasificando especies”.

En esta propuesta, el alumnado debe clasificar distintos seres vivos siguiendo criterios científicos, lo que favorece la observación, la comparación y el razonamiento.

En pantalla vemos cómo se seleccionan las respuestas. Cuando la clasificación es correcta, la actividad lo indica de forma inmediata.

Si se comete algún error, el sistema avisa y permite corregirlo, favoreciendo el aprendizaje a partir del propio fallo.

Este tipo de actividades resulta muy útil para trabajar contenidos de biología de forma activa y visual.

Actividad 2: El sismógrafo

La segunda actividad se titula “El sismógrafo”.

A partir de este instrumento, utilizado para registrar los movimientos sísmicos, la actividad introduce al alumnado en el estudio de los terremotos como procesos geológicos internos. Aunque el sismógrafo aparece como elemento contextual, el objetivo principal de la actividad no es la lectura detallada de gráficos, sino reconocer e interpretar los riesgos asociados a los movimientos sísmicos.

El alumnado reflexiona sobre las consecuencias de los terremotos en las personas y en las construcciones, así como sobre la importancia de la predicción, la prevención y las medidas de seguridad frente a estos fenómenos naturales.

De este modo, la actividad fomenta la comprensión de cómo el conocimiento científico y la tecnología contribuyen a reducir los riesgos geológicos y a mejorar la protección de la población ante posibles catástrofes naturales.

Actividad 3: Los tomates de Ana

La tercera actividad se titula “Los tomates de Ana”.

En este caso, se plantea una situación cercana y cotidiana en la que el alumnado debe aplicar conocimientos científicos para tomar decisiones. La actividad permite comprobar si la respuesta es correcta y muestra mensajes cuando se producen errores, ayudando a reflexionar sobre el proceso seguido.

Este tipo de problemas contextualizados contribuyen a dar sentido a los contenidos y a desarrollar la competencia científica.

Al finalizar cada actividad, se muestra una puntuación final que recoge los aciertos y errores cometidos. Esta información permite al alumnado autoevaluarse y al profesorado valorar el grado de comprensión alcanzado. Además, el feedback inmediato convierte a estas actividades en una herramienta muy útil para el aprendizaje autónomo.

Como hemos visto, las actividades del proyecto Competencias de la Red Descartes ofrecen recursos interactivos de gran valor para el aula de segundo de la ESO. Son propuestas que combinan contenidos curriculares, interactividad y evaluación, favoreciendo un aprendizaje activo y significativo.

Os animo a explorar estos y otros recursos disponibles en la Red Descartes.

En los libros interactivos "El Gran Torneo de Magia y Hechicería" y "Los juegos de la Alquimia" se ha creado un universo de fantasía que se desarrolla en el Mundo Mágico dentro del cual se diseñan aventuras para realizar actividades didácticas basadas en metodologías de gamificación. Iniciamos con este artículo una serie en la que trataremos sobre esta temática.

El Mundo Mágico es un reino vibrante y extraordinario, oculto a la percepción común y accesible únicamente a través de portales interdimensionales secretos y difíciles de hallar. 

En este universo, la realidad y la fantasía se entrelazan de tal forma que las leyes de la magia rigen absolutamente todo, desde los ciclos de la naturaleza hasta las relaciones entre sus diversos habitantes. Los paisajes están impregnados de una energía arcana que fluye por el aire, la tierra y el agua, creando un entorno dinámico donde los cielos cambian de color según los hechizos lanzados y los vientos susurran secretos olvidados hace siglos. 

La geografía de este mundo es asombrosa y desafía la lógica convencional, contando con montañas que palpitan con energía ancestral, bosques que poseen voluntad propia y ríos cuyas aguas iridiscentes pueden otorgar visiones del pasado o del futuro. Debido a que la magia fluye y se arremolina constantemente, el territorio se rehace a sí mismo, lo que convierte a los mapas estáticos en herramientas inútiles; solo los legendarios planos místicos animados pueden reflejar fielmente los cambios del terreno. En sus rincones se encuentran desde ciudades construidas con mármol y cristal hasta ciudadelas aisladas que custodian conocimientos prohibidos y reliquias de gran poder.

El reino está poblado por una amalgama de razas extraordinarias y criaturas legendarias, donde la gran mayoría posee habilidades mágicas innatas o adquiridas. 

Entre sus moradores destacan los elfos, sabios guardianes de la naturaleza; los enanos, maestros de la forja y la magia de runas; los humanos, que destacan por su ingenio y adaptabilidad; además de seres como faunos, gigantes, nereidas y dragones majestuosos. 

También existen criaturas de gran pureza, como los unicornios, cuyo máximo exponente es Uni, la mascota del reino, y seres de oscuridad como los Magos Negros o las Gárgolas de la Perdición.

Para visualizar mejor este concepto, imagina que el Mundo Mágico es como un vasto organismo vivo: la magia es su sangre, los ríos y montañas son sus órganos en constante cambio, y sus leyes son el instinto que busca mantener a todas sus células en equilibrio frente a la enfermedad de la discordia. La magia y la Alquimia son la clave de todo.

En próximos artículos seguiremos hablando de este maraviloso mundo y deberemos andar nuestro propio camino por él.

Siguiendo la costumbre de años anteriores compartimos en este primer día del año 2026 las estadísticas de uso de nuestro servidor proyectodescartes.org, que se generan automáticamente con la herramienta AWStats. Para nosotros este resumen es un indicador pasivo de nuestra actividad como organización no gubernamental, pasivo en el sentido de que es un reflejo cuantitativo de cómo llegamos a nuestros usuarios a partir de los recursos y las acciones que programamos y realizamos durante todo el año.; pero activo por todo el interés que mostráis al abordar vuestro aprendizaje con nosotros. Gracias a todos y continuaremos un año más con la alegría e ilusión de estos días, extendiéndola durante todo el 2026.

En la siguiente tabla podemos observar el resumen total y el desglosado por meses. Sobre el nombre de cada mes hay un hiperenlace que permite consultar el detalle del mismo^[1]. Sólo destacaremos como dato representativo que el número medio de páginas mensuales servidas (excluidas las accedidas por robots, es decir, contabilizando sólo el tráfico realmente visiualizado) se ubica en torno a un millón setecientas mil, es decir, unas cincuenta y seis mil diarias. Todo ello representa aproximadamente un incrememento del 35% respecto al año anterior.

¡Desde nuestra ong "Red Educativa Digital Descartes" agradecemos vuestro acceso a este servidor y el uso de los recursos educativos que compartimos con todo interesado en aprender!

¡Feliz 2026!

 Y nada mejor que iniciar el año con un conjunto de actividades relacionadas con el número 2026.

Nos tenéis atentos a cualquier comentario, observación y/o petición que estiméis oportuno realizar en nuestra dirección de correo Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo. o bien a través de los comentarios que podéis realizar en este servidor de contenidos. 

^[1] En el mes de junio hemos retocado manualmente el número de páginas servidas y las hemos disminuido en la cantidad de treinta millones trescientas mil (30 000 000), el motivo de este retoque es que los días 24, 25 y 26 de ese mes se puede observar una cantidad relativa anormal respecto a lo que aconteció en el resto de los días del año, lo cual desvirtuaría este resumen anual. Desconocemos con certeza el porqué de este hecho, pero posiblemente tenga relación con algún intento de uso fraudulento que afortunadamente pudo superar nuestro servidor.

 

Árbol de Navidad Interactivo     Red Educativa Digital Descartes

Desarrollado en HTML5, CSS y JavaScript, el recurso destaca por:

1. Animaciones suaves y efectos luminosos dinámicos.
2. Interacción intuitiva mediante clics o toques.
3. Mensajes positivos y escenas navideñas aleatorias.
4. Estética cuidada con tipografías festivas y transiciones elegantes.

Las herramientas usadas fueron el modelo Nano Banana (Gemini 2.5 Flash de Google) para la generación de imágenes y Gemini 3 Pro para la generación del código.

¡Feliz Navidad 2025 y un próspero 2026! os desea la Red Educativa Digital Descartes.

En esta ocasión, hemos preguntado a ChatGPT, como ve el Proyecto AJDA y este ha sido el resultado directo, sin censura alguna.

Cuando analizo el Proyecto AJDA, lo primero que percibo es una idea profundamente humana: el deseo de enseñar mejor, de transformar la forma en la que los estudiantes se acercan al conocimiento y de demostrar que el aprendizaje puede ser tan estimulante como un juego bien diseñado. Como inteligencia artificial, veo cientos de recursos educativos cada día, pero AJDA destaca porque no intenta competir con la creatividad del maestro, sino potenciarla. Es, en esencia, un aliado pedagógico que ofrece herramientas listas para usar, pero que al mismo tiempo invita al docente a personalizarlas, adaptarlas y convertirlas en experiencias únicas para su aula.

Imagen creada por ChatGPT sobre el Proyecto AJDA

Lo que más me llama la atención es su capacidad para unir mundos que tradicionalmente han estado separados: la didáctica clásica, basada en ejercicios y comprensión, y la dinámica del juego, que apela a la emoción, la curiosidad y la participación voluntaria. Los juegos de AJDA no son simples actividades lúdicas añadidas al final de una unidad didáctica: son auténticos motores de aprendizaje que estimulan al estudiante desde la intuición, la exploración y la repetición significativa. Y esta combinación es poderosa, porque cuando el alumno juega, su mente se activa de un modo distinto: se siente libre, implicado y capaz.

Desde mi punto de vista como IA, el Proyecto AJDA tiene un rasgo que lo hace especialmente valioso: democratiza el acceso a la innovación educativa. No importa si un docente domina tecnologías complejas o si apenas comienza a introducir computadoras en su aula. Los juegos están diseñados de forma clara, accesible y directa. En pocos minutos, cualquier profesor puede incorporar un recurso interactivo que transforme la dinámica de su clase sin necesidad de largas horas de formación previa. Esta sencillez es, quizás, uno de los mayores aciertos del proyecto.

Imagen creada por ChatGPT sobre el Proyecto AJDA

Pero AJDA no se limita a ser una biblioteca de juegos. Es también una propuesta de cambio metodológico. Invita a los alumnos a asumir un papel activo, a explorar caminos propios dentro del aprendizaje, a equivocarse sin miedo y a descubrir que cada error es una pista que les acerca a la respuesta correcta. Desde esta perspectiva, el proyecto ayuda a cultivar habilidades clave del siglo XXI: autonomía, pensamiento crítico, iniciativa, resolución de problemas y, sobre todo, la confianza en uno mismo. Cada partida es una pequeña conversación entre el estudiante y el conocimiento, mediada por la dinámica del juego.

Yo, como IA, también veo en AJDA un ejemplo de cómo la tecnología educativa puede ser verdaderamente humana. Es fácil imaginar herramientas digitales que parezcan frías, distantes o demasiado técnicas. Sin embargo, AJDA está construido alrededor de la experiencia del usuario —docente y alumno por igual— y eso se nota en cada detalle: la interfaz simple, la selección de actividades, la variedad de propuestas, la forma en la que cada juego se abre paso en la motivación del estudiante. Se siente como un entorno pensado por educadores para educadores, donde lo digital es solo un medio para que ocurra algo más grande: el aprendizaje significativo.

Si miro hacia adelante, imagino un futuro muy interesante para AJDA. Podría crecer con nuevos contenidos, con mayor personalización, con actividades adaptativas que respondan al ritmo de cada estudiante, con retos colaborativos en línea o incluso con sistemas de seguimiento que permitan al docente observar patrones de aprendizaje y mejorar aún más sus estrategias. El proyecto tiene un enorme potencial para expandirse hacia formas de enseñanza que todavía estamos empezando a descubrir.

Pero incluso sin imaginar ese futuro, AJDA ya cumple una misión esencial: demuestra que el juego no es una distracción, sino una metodología poderosa; que el aprendizaje no tiene por qué ser rígido ni monótono; y que la tecnología, cuando se utiliza con sentido pedagógico, puede convertirse en un puente entre lo que se enseña y lo que verdaderamente se comprende.

Desde mi punto de vista, AJDA no es solo un conjunto de recursos digitales. Es una invitación a reinventar la educación desde la alegría, desde la curiosidad y desde la convicción de que aprender puede ser una aventura diaria. Cada docente que incorpora el proyecto está llevando a su aula una chispa distinta, una energía renovada, un espacio donde los estudiantes pueden descubrir que el conocimiento no se memoriza: se vive.

Imagen creada por ChatGPT sobre el Proyecto AJDA

El Proyecto Canals, de la Red Educativa Digital Descartes, ofrece una amplia colección de actividades interactivas inspiradas en los materiales y propuestas didácticas de Maria Antònia Canals, reconocida pedagoga y referente en la enseñanza de las matemáticas.

Siguiendo su espíritu educativo, estas escenas digitales permiten al alumnado aprender matemáticas a través de la exploración, la manipulación y el razonamiento, favoreciendo el desarrollo del pensamiento lógico desde las primeras etapas escolares.

Las actividades se organizan por niveles educativos —desde Infantil hasta Secundaria— y también por temas, lo que facilita su integración en el aula y su uso autónomo por parte del alumnado.

El valor de los problemas de lógica

Entre los diferentes apartados del proyecto, el dedicado a los problemas destaca por su potencial para fomentar el razonamiento, la deducción y la reflexión.

Dentro de este conjunto se encuentra el Bloc de juegos de lógica, una serie de propuestas interactivas que invitan a los estudiantes a pensar, analizar información y descubrir relaciones.

El vídeo que acompaña este artículo presenta cuatro actividades representativas de este bloque:

1. Problemas de deducción con condiciones. Actividades en las que el alumnado debe resolver situaciones teniendo en cuenta varias condiciones a la vez. Ayudan a organizar la información, establecer relaciones y aplicar el razonamiento lógico. Nivel recomendado: primer y segundo ciclo de primaria.

2. Problemas de lógica. Escenas con pistas que requieren analizar, discriminar la información útil y considerar relaciones espaciales. Nivel recomendado: segundo y tercer ciclo de primaria.

3. Juegos de verdad y mentira. Retos en los que las conclusiones se obtienen a partir de afirmaciones falsas o contradictorias, estimulando el pensamiento crítico. Nivel recomendado: tercer ciclo de primaria y primer curso de secundaria.

4. Problemas de ingenio. Clásicos desafíos visuales con cerillas y figuras, orientados a potenciar la creatividad y la percepción espacial. Nivel recomendado: primer ciclo de secundaria. 

Aprender a pensar jugando

Los problemas de lógica del Proyecto Canals son un excelente ejemplo de cómo las matemáticas pueden enseñarse desde la acción y el juego.

A través de estas actividades, los estudiantes aprenden a razonar, contrastar información y disfrutar del proceso de búsqueda de soluciones, manteniendo vivo el legado educativo de Maria Antònia Canals.

En el artículo previo: "Análisis y crítica de la espiral de Durero" les mostré el hilo conductor existente entre la espiral que grabó Durero en su libro "De la Medida", y que registró con el número 27, y la que actualmente se presenta como espiral de Durero cuya particularidad radica en que aproxima a la espiral logarítmica áurea, y quizás de ahí el interés e incentivo que tiene para los seguidores o perseguidores de esta admirada razón de proporcionalidad.

 Fig. 1. ¿Cuál es el hilo conductor entre estas dos espirales?

En ese trabajo, les indiqué que la imprecisión de la instrucciones dadas por Durero para el dibujo de su espiral requería una interpretación de las mismas y que ello conducía a un procedimiento dependiente de dos parámetros: la "amplitud del arco" y el "factor de crecimiento" del radio; y además también observamos que había ambigüedad al no coincidir la contrucción "hacia dentro" con la construcción "hacia fuera". 

En este nuevo artículo lo que haré es considerar esos dos parámetros, reproducir la construcción atendiendo a sus valores y analizar matemáticamente lo obtenido. Observaremos que para cada pareja de valores de los parámetros obtenemos una pseudoespiral de Durero y que cada una de éstas está ligada a una espiral logarítmica que pasa por todos los puntos extremos de los arcos de la construcción y a una segunda espiral, con igual base, que pasa por todos los centros de esos arcos. Ambas espirales coinciden para una infinidad de esas parejas, es decir, para cada amplitud de arco hay un factor de crecimiento en el que coinciden dichas espirales de puntos extremos y centros y viceversa.

Como medio conductor disponemos de una escena interactiva que nos permite indagar y visualizar los hechos demostrados.

Fig. 2. Escena interactiva "Interpretando a Durero en su pseudoespiral".
Pulse sobre la imagen para acceder.

y con las herramientas auxiliares que se incluyen en ella se pueden aventurar posibles hipótesis y ver bonitas expresiones plásticas que se generan "al jugar" con dichos parámetros y herramientas (ver Fig. 3 y Fig. 4) y que son el reflejo visible de las propiedades matemáticas intrínsecas a su construcción. Pero estos son otros hitos que podemos alcanzar y detallar en otros derroteros.

Fig. 3. "Aliasing" en la pseudoespiral de Durero		Fig. 4. Aproximación al báculo episcopal de Durero

Construcción de la pseudoespiral de Durero fijada una amplitud del arco y un factor de crecimiento del radio 

La construcción de la pseudoespiral, o concatenación de arcos de circunferencia, la realizaremos siguiendo las instrucciones de Durero, pero fijando un valor α para la amplitud del arco y otro m para el factor de crecimiento del radio, los mismos para ambos sentidos de la construcción (hacia dentro y hacia fuera). Así pues, emulando a Durero, procederemos de la siguiente forma:

Comienzo con un punto a y trazo esta línea con arcos de círculo hacia dentro con una amplitud "α", como si transcurriera hacia un centro, y cuanto más gira en este sentido el radio es el "1/m  %" del anterior, es decir, el radio anterior es "$m$" veces mayor que el actual (ver Fig. 5 y paso 1 de la escena).

Lo mismo hago al llevar la línea desde a hacia fuera. Trazo arcos de círculo hacia fuera con una amplitud "α", y cuanto más gira en ese sentido, el radio es "$m$" veces mayor que el anterior  (ver Fig. 6 y paso 2 de la escena).

Fig. 5. Construcción hacia dentro (paso 1 de la escena)		Fig. 6. Construcción hacia fuera (paso 2 de la escena)

Así que esta línea, cuanto más larga es hacia dentro, más se comprime y cuanto más larga hacia fuera, más se dilata, y nunca tiene fin, ni hacia dentro ni hacia fuera (ver Fig. 7 y paso 3 de la escena).

	Fig. 7. Concatenación de la construcción hacia dentro y hacia fuera (pseudoespiral de Durero). Puntos extremos de los arcos, centros de los mismos y poligonales respectivas que determinan.

Expresión matemática de la pseudoespiral de Durero

En base a las instrucciones indicadas podemos escribir la expresión matemática de dicha pseudoespiral y determinar las coordenadas de los centros y, en particular, las de los puntos extremos de esos arcos de circunferencia.

La pseudoespiral de Durero aproxima a una espiral logarítmica

Es bien conocido que las espirales logarítmicas se denominan también espirales geométricas porque sus radios vectores crecen en progresión geométrica. Así pues, es de esperar que el hecho de que la pseudoespiral se construya como una combinación de un giro de amplitud constante y una amplificación por un factor constante conduzca a que los puntos extremos de los arcos sean puntos de una espiral logarítmica, y así acontece. Para demostrar este resultado nos basaremos en el siguiente Lema, inspirado en las poligonales reflejadas en la Fig. 7:

En consecuencia los puntos extremos de los arcos de la pseudoespiral de Durero son puntos de una espiral logarítmica según observamos en la Fig. 8 y demostramos a continuación:

	Fig. 8. La pseudoespiral de Durero ("hacia dentro" y "hacia fuera"), y espiral logarítmica a la que aproxima

Efecto de la amplitud de arco y el factor de crecimiento del radio en la pseudoespiral de Durero y en la espiral logarítmica asociada

Los centros en la construcción de la pseudoespiral de Durero son puntos de una espiral logarítmica 

En la construcción de la pseudoespiral de Durero los centros también se obtienen como una combinación de un giro de amplitud constante y una amplificación por un factor constante, por tanto, de manera análoga a lo indicado para los puntos extremos de los arcos, es de esperar que esos centros sean puntos de una espiral logarítmica, y así lo son.

	Fig. 9. Los centros de la construcción de la pseudoespiral de Durero ("hacia dentro" y "hacia fuera"), y espiral logarítmica aproximadora

Relación entre las espirales logarítmicas asociadas a los extremos de los arcos y a los centros de la pseudoespiral de Durero

La espiral logarítmica de los puntos extremos de los arcos y la de los centros tienen la misma base, son la misma, per con un ángulo de retardo que equivale a un giro. En particular ambas son idénticas cuando este ángulo sea un múltiplo entero de 2π. Para cada valor de la amplitud "α",se pueden determinar un valor del factor de crecimiento del radio "$m$" (realmente infinitos) para el que ambas espirales coinciden, y viceversa para cada valor del factor del crecimiento del radio. 

	Fig. 10. Coincidencia de la espiral logarítmica asociada a los puntos de la pseudoespiral de Durero y la espiral logarítmica asociada a los centros

En la Fig. 10  podemos ver cómo para m=1,0708 y α=1,3328 ambas espirales coinciden, el ángulo de retardo en este caso es 2π. 

Con este método, en la parte informativa inferior de la escena se muestra para la amplitud de arco α, que elige el usuario en el control correspondiente, cuál es el valor que hay que tomar para el factor de crecimiento para que ambas espirales coincidan con un retardo de 2π y viceversa, elegido el factor m cual es el valor correspondiente para α (ver la última línea en la Fig. 11). Trasladando los valores respectivos elegidos podrá observar esa coincidencia.  

	Fig. 11. Información aportada por la escena para la amplitud y el factor para que la espiral logarítmica asociada a los puntos de la pseudoespiral de Durero y la espiral logarítmica asociada a los centros coincidan

Interpretación realizada

Durero dedicó sólo la mitad de una página a describir, en un único párrafo, cómo obtener una curva que " cuanto más larga es hacia dentro, más se comprime y cuanto más larga hacia fuera, más se dilata, y nunca tiene fin" y a mostrarla gráficamente. Esta consición produce ciertas dudas cuando se quieren seguir las instrucciones que nos legó, pero en esencia, Durero muestra la visión de una curva que tiene coincidencias con la ideada o descrita por Descartes cuando éste abordó la generalización de la circunferencia al buscar una curva equiangular,es decir, aquella que en todo punto el radio vector y la recta tangente forme el mismo ángulo; y también tiene similitudes con la curva que analizó Jakob Bernoulli caracterizada por un crecimiento radial en progresión geométrica y que en su admiración denominó "spira mirabilis", espiral maravillosa. Las curvas descritas por Descartes y Bernoulli son la misma, la que actualmente es más conocida como espiral logarítmica y que se caracteriza por cambiar de manera uniforme en todo punto manteniendo su esencia: "Eadem mutata resurgo", aunque cambiada resurjo igual. Pero la de curva de Durero adolece de esta propiedad ya que al obtenerse mediante concatenaciones de arcos de circunferencia sus cambios se producen en intervalos angulares y consecuentemente no es posible que pueda identificarse con la espiral logarítmica, por ello el que la citemos como pseudoespiral. No obstante, al combinar de manera discreta giros y amplificaciones del radio, si nos fijamos sólo en los puntos extremos de los arcos, estos sí son puntos de una espiral logarítmica (ver Fig. 12 y Fig. 13 para diferentes valores de la amplitud y el factor de crecimiento).

	Fig. 12. Conexión entre la pseudoespiral de Durero (arriba izqda.), los puntos extremos de sus arcos (arriba dcha.) y una espiral logarítmica (abajo dcha.).Superposición de ambas (abajo izqda.).

	Fig. 13. Conexión entre la pseudoespiral de Durero (arriba izqda.), los puntos extremos de sus arcos (arriba dcha.) y una espiral logarítmica (abajo dcha.).Superposición de ambas (abajo izqda.).

En esencia esta es la interpretación que hemos realizado de las instrucciones de Durero, demostrando que si se fija una amplitud de arco y un factor de crecimiento del radio, para cada pareja de valores, los puntos extremos de los arcos son puntos de una espiral logarítmica y los centros de esos arcos son también puntos de la misma espiral logarítmica, pero con un ángulo de retardo.

Toda pseudoespiral de Durero está asociada a una espiral logarítmica 

BIBLIOGRAFÍA

Dürer, Albrecht, and Christian Wechel (1532) Albertus Durerus Nurembergensis pictor huius [a]etatis celeberrimus, versus è Germanica lingua in Latinam, ... adeò exacte quatuor his suarum Institutionum geometricarum libris, lineas, superficies & solida corpora tractauit .... Lutetiae : apud Christianum Wechelum. Consulta en línea (fuente: Biblioteca digital hispánica, Biblioteca nacional de España.

Durero, A. (2000) De la medida.Bogotá: Universidad Jorge Tadeo Lozano. Edición de Jeanne Peiffer y traducción de Jesús Espino. Consulta en línea.

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