Misceláneas: Probabilidad. Inferencia. Fundamentos II.

Incertidumbre.

De la pérdida de la incertidumbre en el acto de decidir sobre cualquier asunto son responsables los estudiosos de la Probabilidad y la Estadística. Un estudio, bien fundamentado y realizado, sobre prácticamente cualquier tema, desvelará el desarrollo futuro de un proceso económico, sanitario, social...y si, un puñado de herramientas inmateriales: teoremas, lemas, hipótesis, tesis, etc. cada vez más sofisticadas y eficaces, hacen las veces de bola de cristal de los auténticos videntes actuales, aunque a decir verdad la incertidumbre no desaparece del todo y está en función del dinero a invertir y/o las características propias del tema en estudio pero por lo general suele ser inferior al 5%. O dicho de otra manera el nivel de confianza en los resultados del estudio suele ser superior al 95%.

En la entrada anterior en este blog incrustamos una escena del libro digital: Estadística, Probabilidad e Inferencia, en la que se mostraba el cálculo práctico de los intervalos de confianza en una simulación teórica que permite manipular el tamaño de la muestra, el nivel de confianza exigido y el valor del parámetro en estudio. En esta ocasión, en principio, hemos creído conveniente insistir en la fundamentación elemental teórica de la Inferencia para lo cual proponemos que al introducir (difundir) este tema debemos garantizar el conocimiento de la distribución Normal, sus propiedades y el uso de la tabla para el cálculo de probabilidades de los valores de la variable X cuando esta variable tiene una distribución normal de media µ = 0 y una desviación típica σ = 1. X con distribución N(0,1). Así como el procedimiento de tipificación de variables normales con cualquier media y desviación.

Todo lo anterior queda completamente cubierto en la unidad didáctica dinámica e interactiva INFERENCIA ESTADÍSTICA

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Que se complementa con la útil "Calculadora de la Distribución Normal" del profesor Juan Jesús Cañas Escamilla

Ambas utilidades y el resto de las mencionadas constituyen una muy completa documentación para uso personal y como herramientas didácticas para la explicación del tema. Como consecuencia del análisis del material expuesto y de la bondad de los métodos numéricos finitos hemos desarrollado la siguiente utilidad que consiste en una escena que muestra la probabilidad de que una variable que se distribuye según una distribución Normal(0,1) tome un valor menor o igual que otro dado. La escena pretende ser una utilidad simple y eficaz para la introducción al estudio de las distribuciones de probabilidad.

Normal (0,1).

Todo lo expuesto anteriormente además del resto de conocimientos teóricos necesarios para afrontar el estudio de los intervalos de confianza y de los contrastes de resultados se encuentra en los materiales enlazados en esta y en entradas anteriores; no obstante volvemos a mostrar algunos de ellos por su indudable interés:

• Libro digital: Estadística, Combinatoria y Probabilidad

  
  Libro digital interactivo.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra una clase sobre las distribuciones de probabilidad.

Ildefonso Fernández Trujillo. 2018

Misceláneas: Probabilidad. Inferencia.

Geometría y Probabilidad.

En los diferentes subproyectos que conforman la organización no gubernamental RED Descartes hay profusión de contenidos relativos a la Estadística y la Probabilidad que prácticamente cubren las exigencias curriculares de Primaria, ESO y Bachillerato. La particularidad de estos contenidos es que son: dinámicos, interactivos, formativos y en algunos casos, además, evaluativos. Ya en la anterior entrada en este blog señalamos algunos de esos recursos y siguiendo en esa línea y teniendo en cuenta que nuestro objetivo es el análisis de los errores de tipo I y II en los contrastes (tests) de hipótesis hemos seleccionado los siguientes contenidos:

• La Unidad Didáctica "El azar y la probabilidad." de la profesora Ángela Nuñez Castaín (2001) posteriormente adaptada a DescartesJS por ella misma y José R. Galo Sánchez (2017). La unidad es un primer acercamiento a los conceptos del azar y la probabilidad mediante ejemplos interactivos elementales ideales para conocer/recordar los fundamentos teóricos del estudio del azar.

  
  Carrera de coches controlada por dados.

 
• Si ya se conocen los fundamentos básicos de la Estadística y la Probabilidad el libro digital "Estadística, Combinatoria y Probabilidad" de Juan Jesús Cañas Escamilla y José R. Galo Sánchez, es la siguiente fuente de donde extraer la consolidación teórica rigurosa de los principios elementales y la justificación de los procesos operativos relacionados con los cálculos probabilísticos además de las técnicas organizativas de la información numérica en tablas y gráficos. Todo ello de forma gradual y apoyado en multitud de escenas interactivas de alto nivel educativo.

  
  Libro digital interactivo.

• En tercer lugar enlazamos el extraordinario libro digital interactivo "Estadística, Probabilidad e Inferencia", también de los autores Juan Jesús Cañas Escamilla y José R. Galo Sánchez, que hace un completo recorrido por los conceptos relativos a: la Estadística Unidimensional, Bidimensional, la Combinatoria, la Probabilidad, las variables estadísticas discretas y continuas y sus respectivas distribuciones de probabilidad y termina con un espléndido y documentadísimo análisis de la teoría del muestreo probabilístico y la inferencia estadística, todo ello acompañado de una batería de ejemplos, escenas interactivas, vídeos relativos a los contenidos y enlaces que hacen que el nivel de profundización en el estudio de la materia quede en manos de la persona interesada. Un ejemplo de escena interactiva, de las muchas que contiene el libro, es el que mostramos a continuación que apoya los conceptos teóricos de la introducción al estudio de los Intervalos de Confianza.
  
  

También enlazamos la excelente unidad didáctica, dinámica e interactiva, creada con DescartesJS por la profesora Mª José García Cebrian (2001) y revisada y adaptada por ella misma (2017)   INFERENCIA ESTADÍSTICA

Unidades Didácticas.

El problema de la aguja de Buffon - Laplace

Desde la generalización del uso del astrágalo (taba) para dilucidar todo tipo de cuestiones relacionadas con la incertidumbre o sencillamente como elemento lúdico para ejercitar la habilidad mezclada con la suerte, la Geometría y el Azar comenzaron a ir de la mano. De hecho el gráfico de los cuerpos platónicos que mostramos en la cabecera de esta entrada es probablemente una de las mejores definiciones de equiprobabilidad que podamos ver. El hecho tangible de manipular cualquiera de estos cuerpos transmite una sensación de equilibrio, perfección y equidad, amén de otras, difícilmente igualable.

Los motivos por los que, primero el conde de Buffon y más tarde Pierre-Simón Laplace, conde del Imperio, atendieron este problema no están claros. El efecto inmediato si, a partir de entonces la utilidad del uso de la Geometría en cuestiones de probabilidad estaba comprobada así como el uso de métodos estadísticos y probabilísticos para aproximar valores de constantes geométricas.

Con el objetivo de rememorar el establecimiento formal de la relación entre la Estadística-Probabilidad con la Geometría y también por la idoneidad del experimento con la introducción al estudio de la Inferencia Estadística que estamos desarrollando se ha elaborado la miscelánea "Experimento: La Aguja de Buffon". En esta miscelánea se recrea dicho experimento con las siguientes particularidades:

• La escena simula el lanzamiento de 2 a 30000 agujas (o el lanzamiento de una aguja de 2 a 30000 veces).
• Cada lanzamiento de k agujas puede repetirse n veces así puede analizarse, en cada muestra, el comportamiento de los estadísticos estudiados, la influencia del tamaño de las muestras en el comportamiento de los estadísticos, el cumplimiento de  la ley de los grandes números y otros.
• Si el número de lanzamientos es menor o igual a 500 se representa cada una de las agujas lanzadas; si el número de agujas es mayor se muestra únicamente el punto medio de cada aguja.
• Con cada lanzamiento la escena expone un breve resumen de los resultados, así como el valor aproximado de π y la probabilidad de tocar línea en la muestra.
• El botón Indicaciones explica los objetivos y funcionalidad de la miscelánea.
• La escena posibilita que en pocos minutos puedan realizarse experimentos como el que muestra el siguiente documento.

  
  

Experimento de Buffon. Lanzamiento de agujas.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra una clase sobre la estimación de la media poblacional mediante intervalos de confianza. Este vídeo es uno de los enlazados en el libro digital interactivo "Estadística, Probabilidad e Inferencia".

Acerca de los cuerpos platónicos.

• MATEMÁTICA Y FÍSICA EN EL TIMEO DE PLATÓN. POLIEDROS REGULARES Y ELEMENTOS NATURALES
• Los poliedros regulares y la esfera de: Javier Abia Llera (Adaptación a DescartesJS: José R. Galo Sánchez)
  • *"El dodecaedro es la forma que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos." Platón

  
  Unidades Didácticas. Materiales

Ildefonso Fernández Trujillo. 2018

Misceláneas. Probabilidad a posteriori. Teorema de Bayes.

Ley de los grandes números

En la Wikipedia, al buscar información sobre el tema, encontramos lo siguiente:

"En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de ley de los grandes números se engloban varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.

Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie aumenta con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

El matemático italiano Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó sin pruebas que la precisión de las estadísticas empíricas tienden a mejorar con el número de intentos. Después esto fue formalizado como una ley de los grandes números. Una forma especial de la ley (para una variable aleatoria binaria) fue demostrada por primera vez por Jacob Bernoulli.​ Le llevó más de 20 años desarrollar una prueba matemática..."

La siguiente imagen enlaza con una pequeña utilidad dados.xls creada con Microsoft Excell 2010 que simula el lanzamiento de un dado y comprueba lo predicho. La hoja de cálculo, que es editable, simula el lanzamiento de un dado desde 90.000 a 63.000.000 de veces. Cada 'lanzamiento' consiste en generar, de forma 'aleatoria' (semialeatoria), un número entero del 1 al 6, y tener en cuenta el resultado incrementando en una unidad la cantidad apropiada. Se observa como al realizar pruebas sucesivas aumentando en cada una el número de lanzamientos el valor de la frecuencia relativa de un suceso concreto va acercándose muy lentamente al valor teórico previsto para su probabilidad de ocurrencia.

Aquí tocamos un tema interesante, la generación de números aleatorios (semialeatorios). Cada lenguaje de programación, cada intérprete y cada autor tiene su propia manera de generar números aleatorios. El hipervínculo anterior es un ejemplo de lo dicho y al final del artículo se enlazan algunas de las páginas que tratan este asunto.

El Teorema de Bayes

Dentro de la particularidad que nos ocupa: el estudio de la probabilidad a posteriori, o también probabilidad de las causas, que evidentemente es consecuencia de lo comentado en los párrafos anteriores, destaca la labor de Thomas Bayes que con su teorema sobre la probabilidad de las causas condicionadas a los efectos observados, abrió un amplio abanico de posibilidades al estudio científico de múltiples situaciones. El avance de las ciencias sociales, políticas y económicas, por citar algunas, se debe al uso acertado y sistemático de esta filosofía, además de a otras herramientas afines.

donde:

• {A₁, A₂, A₃,....., A_n} es un sistema completo de sucesos y se conocen las probabilidades P(A_i) (probabilidades a priori).
• B es un suceso cualquiera y P(B/A_i) es conocida, por lo tanto también se conoce P(B).
• P(A_i/B) es la probabilidad a posteriori a calcular.

A continuación enlazamos con una utilidad, creada con el editor DescartesJS, en la que, en primer lugar, se plantea una situación resoluble mediante el teorema de Bayes. Siguiendo las indicaciones que proporciona la propia escena, esta muestra el planteamiento y solución del ejercicio y más adelante la utilidad plantea, en una nueva escena, otra situación similar para que la persona interesada la resuelva ofreciéndose la posibilidad de contrastar la solución.

Entre los materiales disponibles para su uso y descarga en la web de la Red Descartes, relacionados con la Estadística y la Probabilidad, se encuentra una completa colección de utilidades que cubren todo el recorrido curricular, desde Primaria a Bachillerato. La autoría de estos materiales corresponde a miembros de la Red Descartes y, entre otros, destacamos la labor de:

• Juan Guillermo Rivera Berrío. Juego del Gato y el Ratón.

  

• Diego Luis Feria Gómez. Probabilidad.

  

• José Ireno Fernández Rubio / María José García Cebrian / Consolación Ruiz Gil. Estadística.

  

En próximas entradas continuaremos exponiendo enlaces a algunos de los contenidos interactivos de Estadística y Probabilidad significativos por su capacidad didáctica.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la aplicación del teorema de Bayes a la resolución de un problema.

A continuación exponemos algunos enlaces a la información sobre la generación de números aleatorios.

• Wikipedia
• Números aleatorios II
• Números aleatorios III por Manuel A. Pulido Cayuela
• Números aleatorios IV
• Números aleatorios V

Ildefonso Fernández Trujillo. 2018