Mostrando artículos por etiqueta: universidad
Título: Operaciones con matrices
Sección: Un_100
Bloque: Álgebra
Unidad: Álgebra Lineal
Nivel/Edad: Universidad (18 años en adelante)
Idioma: Castellano
Diseño del contenido: Juan Guillermo Rivera Berrío
Diseño funcional: Carlos Mario Restrepo Restrepo
Programación: Héctor Javier Herrera
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Puedes encontrar todos los materiales del Proyecto Un_100 en https://proyectodescartes.org/Un_100/index.htm - Ver Créditos
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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional
Hay una tendencia a tratar de asociar o encontrar en todo aquello que es bello la proporción áurea o divina, o a construir objetos a partir de esta razón porque se presuponen serán apreciados como bellos por el simple hecho de seguir dicha pauta. Esto, como no, también ha acontecido con la modelación matemática de la concha del Nautilus pompilius sobre la que suele afirmarse que su forma y crecimiento es áureo. Sin embargo, en este artículo se muestra y se analiza en detalle cómo dicha concha lo que realmente sigue es un patrón ubicado en la denominada proporción cordobesa o humana. Con apoyo en un recurso interactivo desarrollado con la herramienta Descartes se motiva el análisis y comportamiento y se procede a partir de la yocto-yotta realidad observada a construir el modelo matemático, el cual se detalla ampliamente.
Pulsando sobre la siguiente imagen se accede a dicho recurso interactivo que se aborda o plantea en seis fases:
- Ajuste de la concha por una espiral logarítmica.
- Ajuste del sifúnculo por una espiral logarítmica.
- Ajuste global por una familia de espirales cordobesas.
- Mejora del modelo discreto.
- Aproximación de los septos.
- Modelo matemático del Nautilus pompilius.
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En cada fase se dispone de un botón de información que, al pulsarlo, da acceso a un detalle de las propiedades que pueden inducirse a partir de la interacción con la escena. |
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| Y en el botón de indicaciones se aborda una introducción, los objetivos, las instrucciones de uso en cada fase y finalmente se enlaza un artículo donde se detalla el análisis matemático realizado. Este artículo está embebido a continuación o bien puede abrirse y/o descargarse desde este enlace. |
En las conclusiones del artículo anterior afirmamos:
A través del detallado y progresivo análisis realizado hemos ido construyendo la base teórica o modelo matemático que soporta a la bella morfología del Nautilus Pompilius y hemos tratado del encontrar el modelo de crecimiento que conduce a poder explicar y a comprender por qué adquiere esa forma. Desde su inicio la espiral logarítmica cordobesa tomó presencia y a medida que la mirada se deslizaba hacia algún nuevo detalle esta espiral ha vuelto a imponer su presencia marcándonos y alumbrándonos el camino del descubrimiento y de la adquisición del conocimiento. La belleza del Nautilus pompilius se sustenta en la proporción cordobesa o humana y todo punto de su concha o del interior ha quedado determinado por la intersección de dos espirales cordobesas. El germen o base inicial matemática que explica el por qué acontece todo lo observado, se ha ubicado en el crecimiento gnomónico de un triángulo cordobés, las propiedades de éste se trasladan al desarrollo y comportamiento global detectado y modelado.
Deseamos que nuestro trabajo de investigación satisfaga tu curiosidad y te animamos a interactuar con nosotros bien realizando algún comentario en este blog (los comentarios no se publicarán directamente sino que pasan por una moderación previa a su publicación) o bien escribe al correo de nuestra RED Descartes: Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo..
Título: Sobre el crecimiento cordobés del Nautilus Pompilius
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría plana
Nivel/Edad: Universidad (18 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez, Ángel Cabezudo Bueno e Ildefonso Fernández Trujillo
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Título: Integrales trigonométricas
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Integración de funciones
Nivel/Edad: Universidad (18 años en adelante)
Idioma: Castellano
Autoría: Miguel Ángel Cabezón Ochoa
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Un grillo está sobre una superficie, que gira a una velocidad angular constante, y se está desplazando dando saltos siguiendo una línea recta que pasa por el centro de giro. Ha dado un salto inicial y posteriormente cada salto es c veces mayor que el anterior. ¿En qué posición está en cada instante? ¿Cuál es la trayectoria que sigue?
Este planteamiento dinámico conduce a una curva, ampliamente estudiada, la cual es el objeto de este artículo de difusión. En la miscelánea que hemos publicado en nuestro servidor de contenidos puedes ver el camino que sigue nuestro grillo saltarín, pudiendo seleccionar el salto y la velocidad de giro que desees y observando en qué influye tu elección.
Es bien conocido que la circunferencia es una curva equiangular, es decir, que en cualquier punto de la misma, el ángulo que forma el radio con la tangente es siempre constante e igual a un ángulo recto.
Inicialmente René Descartes (1596-1650) fue quien se planteó la determinación de una curva que también fuera equiangular, pero que el ángulo fuera el que previamente se deseara, es decir, una generalización de lo que acontece en la circunferencia. Jakob Bernoulli (1654-1705) también la analizó y la denominó “Spira mirabilis” o espiral maravillosa, y de acuerdo con sus propiedades, en su epitafio hizo poner “Eadem mutata resurgo”, es decir, “Mutante y permanente vuelvo a resurgir siendo el mismo”. En este recurso podrás comprobar el significado de esta expresión y experimentar que:
¡Ciertamente es maravillosa!
Para ello, planteamos un camino en varias fases, un total de doce, y en cada una de ellas se avanza en el análisis de esta espiral, en sus propiedades. Pulsa sobre la imagen siguiente para acceder al recurso.
En las tres primeras fases se aborda su construcción dinámica —dependiente del tiempo— y se inicia su análisis con la obtención de la relación —digamos estática o atemporal— entre la distancia y el ángulo polar. Ésta, es la ecuación algebraica en coordenadas polares de la espiral y nos permite identificar el significado físico de los parámetros específicos de la misma.
La expresión justifica su denominación como espiral logarítmica, pues se observa que el ángulo polar se puede expresar en función del logaritmo del radio polar. Y en la fase cuarta del recurso se observa y justifica que a es un factor de escala, que para b=1 obtenemos como caso particular la circunferencia y que las espirales de base b y 1/b son simétricas respecto del eje polar.
Una quinta fase permite ver y justificar por qué también se le denomina espiral geométrica ya que los puntos de ella situados sobre una misma semirrecta siguen la relación de una proporción geométrica (aquí se aplica una analogía con la que acontece en la espiral de Arquimedes o espiral aritmética). Y en la sexta se visualiza y demuestra el carácter equiangular que motivó a Descartes.
El hecho de ser equiangular es lo que le confiere a esta espiral su carácter tan especial. Y en base a ello, las últimas fases del recurso se centran en mostrar y demostrar el carácter maravilloso que marcó Bernoulli y que sintetizó en la citada expresión: “Eadem mutata resurgo”. Para una circunferencia es fácil de intuir y ver que su forma es tal que siempre surge o resurge siendo la misma, crece y crece siempre siendo la misma. Y lo maravilloso es que este surgir y resurgir siendo la misma se verifica también en esta “circunferencia generalizada” o espiral logarítmica, es decir, la razón de su crecimiento instantáneo es la unidad. Sintetizando el planteamiento que se realiza en el recurso, pues el detalle lo puedes comprobar interactuando con él, tenemos que:
- Inicialmente el análisis del crecimiento se aproxima mediante rectángulos semejantes circunscritos a la espiral, que siguen un patrón de crecimiento gnomónico en el sentido euclídeo (según lo definido en “Los elementos de Euclides”), que puede interpretarse como el patrón de crecimiento en pasos discretos de π radianes.
- Posteriormente se aborda el crecimiento, pero en el sentido establecido por Aristóteles cuando decía: «Hay ciertas cosas que no sufren alteración salvo en magnitud, cuando crecen...».
Y aquí, esto se aborda planteando el crecimiento con polígonos semejantes construidos sobre radios vectores, correspondientes a puntos de la espiral, que difieren:
-
- En π/2 radianes, lo que conduce a una razón de semejanza b^(π/2):
-
- O, en general, con paso 2π/n y razón de semejanza b^(2π/n):
Como ejemplo, sobre la concha del Nautilus pompilius, se muestra un crecimiento gnomónico discreto de paso 2π/16 en una espiral logarítmica cordobesa (b=1.186):
- Finalmente cuando el crecimiento es instantáneo, es decir, si n->infinito y el paso entre radios vectores es por tanto 2π/n->0, la razón de semejanza b^(2π/n) tiende a la unidad: “Eadem mutata resurgo”.
¡Te deseamos un buen aprendizaje siguiendo a nuestro grillo!
Una hormiga está sobre una superficie que gira a una velocidad angular constante y se está desplazando, también a una velocidad constante, siguiendo una línea recta que pasa por el centro de giro. ¿En qué posición está en cada instante? ¿Cuál es la trayectoria que sigue?
Este planteamiento dinámico conduce a una antiquísima curva estudiada por Arquímedes y que describió, en torno al 225 a. C., en su libro "Sobre las espirales". Por ello lleva su nombre: "La espiral de Arquímedes.
( gif animado descargado desde http://gifsanimados.de/hormigas )
Y en la miscelánea que hemos publicado en nuestro servidor de contenidos puedes ver el camino que sigue nuestra laboriosa hormiga seleccionando las velocidades que desees y observando en qué influyen éstas.
A partir de la construcción dinámica --dependiente del tiempo--, se procede al análisis de esta curva que se inicia con la obtención de la relación --digamos estática o atemporal-- entre la distancia y el ángulo polar. Ésta es la ecuación algebraica en coordenadas polares de la espiral de Arquímedes y nos permite identificar el significado físico de los dos parámetros específicos de la misma. El primero es la posición o distancia inicial al centro de giro o polo y el segundo es la relación entre la velocidad lineal y la angular:
Interactuando con la escena y manteniendo inicialmente el parámetro b fijo, podremos observar como la variación del parámetro a lo que se produce es un giro en la curva, y podremos ver dos ramas que tienen simetría especular.
En el caso particular que b sea cero la espiral degenera en una circunferencia e incluso en un punto si también se tiene que a es cero.
En una última instancia se puede verificar analítica y experimentalmente como todos los puntos de la espiral que están situados sobre la recta de ecuación q = constante son equidistantes entre sí y, por tanto, sus distancias al polo constituyen una progresión aritmética de diferencia 2pb. Por esta razón, a la espiral de Arquímedes, también se le denomina espiral aritmética.
Pulsando sobre la imagen siguiente puedes acceder al contenido de esta miscelánea:
¡Te deseamos un buen aprendizaje siguiendo a nuestra hormiga!
Título: Cálculo integral. Integrando con Paco
Sección: iCartesiLibri
Bloque: Análisis
Unidad: Integración de funciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (16 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Varios autores
Editor: Juan Guillermo Rivera Berrío
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Puedes encontrar todos los libros interactivos de iCartesiLibri en
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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional
Título: Cálculo diferencial
Sección: iCartesiLibri
Bloque: Análisis
Unidad: Derivación de funciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (15 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Varios autores
Editor: Juan Guillermo Rivera Berrío
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Título: Sistemas autónomos y no autónomos
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Sistemas diferenciales
Nivel/Edad: Universidad (18 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Valeria Bertossi
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