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Acceso a la miscelánea: Extremos absolutos en una región cerrada y acotada

La escena guía en el proceso de obtención de los extremos absolutos de una función diferenciable de dos variables en una región cerrada y acotada. Se considera el caso particular en el que dicha región tiene por frontera dos curvas paramétricas que deben introducirse como datos.

Se representa la superficie que es gráfica de la función sobre el dominio elegido y también la frontera de dicho dominio en el plazo z=0.

Para realizar el cálculo de los extremos absolutos debemos seguir las instrucciones que se nos muestran en cada paso. La miscelánea permite observar en cada momento qué puntos verifican las condiciones requeridas utilizando para ello distintas representaciones gráficas. Se comienza estudiando los extremos relativos en el interior del dominio y luego se analizan los extremos relativos que están sobre su frontera. De todos estos puntos, se considerá máximo absoluto (respectivamente mínimo absoluto) aquel punto en el que el valor de la función tome el valor mayor (respectivamente menor).

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea: Extremos absolutos en una región cerrada y acotada

Acceso a la miscelánea: Extremos de funciones de dos variables. Método del Hessiano.

En esta escena se muestra cómo realizar el estudio de los extremos relativos de una función diferenciable de dos variables.

Introducida la expresión de una función diferenciable y de sus derivadas parciales primeras, se puede analizar en primer lugar, qué puntos tienen el plano tangente horizontal (condición necesaria para que un punto sea extremo). Posteriormente, el método del hessiano permitirá determinar cuáles de esos puntos son máximos o mínimos relativos.

Este método se justifica utlilizando el polinomio de Taylor de la función de grado 2 centrado en el punto en el que se está realizando el análisis.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea: Extremos de funciones de dos variables. Método del Hessiano.

Se presenta la miscelánea:Gradiente y curvas de nivel

En esta escena se muestra la propiedad siguiente del gradiente: el vector gradiente de una función de dos variables en un punto P es ortogonal a la curva de nivel C que pasa por dicho punto, esto significa que es ortogonal al vector tangente a la curva C en el punto P.

La miscelánea se puede configurar modificando el valor de la función e introduciendo o bien un punto P, o bien un valor de k de manera que al hallar la intersección de la gráfica de la función con el plano z=k nos permita determinar la curva de nivel. En el primer caso, cuando se da las coordenadas del punto P, la curva de nivel se obtiene considerando k como el valor f(P).

A partir de estos datos se representa, por un lado, la superficie de la función, y por otro, la curva de nivel. Se tiene además la posibilidad de incluir las coordenadas de un vector cualquiera para comprobar que únicamente será ortogonal a la curva de nivel en el punto, cuando sea proporcional al gradiente en dicho punto.

En la miscelánea se ha incluido también un botón que, al pulsar sobre él, nos conduce a la demostración de esta propiedad del gradiente.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea:Gradiente y curvas de nivel

Se presenta la miscelánea: Interpretación geométrica de la derivada direccional

Igual que ocurría en el caso de la derivada de una función de una variable en un punto, la derivada direccional de una función f de dos variables en un punto P es la pendiente de una recta. En este caso se trata de la recta tangente a la superficie, gráfica de la función f, en el punto f(P) que además está contenida en el plano vertical que contiene al punto P y a la dirección.

Como las derivadas direccionales en las direcciones paralelas al eje X y al eje Y son las derivadas parciales, la escena también permite mostrar su interpretación geométrica.

Introduciendo la expresión de la función y las coordenadas del punto, la miscelánea guía en la construcción de la recta tangente cuya pendiente coincide con la derivada direccional que se elija.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea: Interpretación geométrica de la derivada direccional