CUADRATURAS III.

Los problemas clásicos de la geometría griega son, por activa o por pasiva, fuente inagotable de inspiración. En esta ocasión el estudio de los lugares geométricos nos llevó a sus orígenes por ende a Hípias, Dinostrato, Arquímedes... e inevitablemente a la cuadratura dinámica del círculo, esto es, a la cuadratura de cualquier polígono regular; o no, con cualquier número de lados. Resultando que, aparentemente, en la base de este proceso está el cuadrado. Motivo por el cual decidimos estudiar este polígono. Ahora bien, al intentar analizar el cuadrado este, en sí mismo, parece desaparecer mostrando como en su interior subyacen infinidad de polígonos: triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, rombos… y una infinidad de otras formas inexistentes, virtuales, cuya proyección a la realidad tangible proporcionan, probablemente, los objetos y formas más útiles, en todos los sentidos, para el ser humano. Puede comprobarse como el trazo de unas pocas líneas en un cuadrado y a continuación al realizar el teselado del plano con el mismo, aparecen, de manera dinámica, formas que son el resultado de la composición de una traslación y/o de un giro; u otros, y como la visión de conjunto, a veces un palíndromo geométrico bidimensional, sugiere formas, sensaciones y conceptos cambiantes. Este procedimiento constructivo es el que los siguientes enlaces y escenas interactivas pretenden analizar aún cuando sea basándonos en los conceptos teóricos básicos y en los efectos visuales elementales que intervienen en el proceso.

La imagen siguiente está vinculada a la miscelánea que recoge un resumen de las ideas visuales expuestas a lo largo de esta entrada.

patrones y teselados 

Para quien considere necesaria una inmersión en los conceptos básicos relacionados con las teselaciones hemos preparado los siguientes contenidos:

tesela pentagonal 

La imagen anterior enlaza con una unidad que, en su día, desarrolló el profesor Ángel Aguirre Pérez y que he comenzado a adaptar a DescartesJS debido a que sus objetivos son similares a los que nos proponemos en este artículo y por tanto nos introduce en el tema de la forma clásica y básica.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos acercamos a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.

• Rellenado mínimo del plano y del espacio
  
  Autor:

  
  cubo de colores (origen de la imagen)

• "Teselas de Escher y otras consideraciones sobre las teselaciones y movimientos en el plano.
  Autora: María José Sánchez Quevedo.

  
  Maurits C. Escher

• Matemáticas mágicas, ingeniosas y... muy serias.
  Autora: Therese Eveilleau.

  
  Arte y Matemáticas

• Amplio estudio del plano.
  Blog. Vaios Autores

  
  Amplio trabajo sobre la teselación

• Estudio de los frisos, cenefas y celosías.
  Autora: Ángela Núñez Castaín

  
  Amplio trabajo sobre movimientos y simetrías

Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

A poco que se observen los trabjos de teselación expuestos o enlazados se evidencia que en cada uno de ellos se reproduce un patrón. Existe un amplio grupo de patrones y entre los más elementales están los conocidos como 'tipo mitad del cuadrado' que son los que se obtienen descomponiendo el cuadrado en dos o más partes diferenciadas, en nuestro caso, por el color, de manera que ambas formas tengan igual área. A continuación se exponen varios ejemplos de estos patrones que aclaran el concepto.

• Estudio de los patrones y sus teselaciones correspondientes tipo "mitad del cuadrado".
  Mitad del cuadrado I.

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 1

  
  
  El gráfico muestra que, por construcción, los triángulos ABM₄, BCM₄, DEM₂ y M₂FG son iguales por lo tanto el área de la parte azul es igual al área de la parte verde ya que los puntos: M₁, M₂, M₃ y M₄ son los puntos medios de los lados del cuadrado.
  
  
• Mitad del cuadrado II.
  

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 2

  
  
  
• Mitad del cuadrado III.
  

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 3

  
  
  
• Mitad del cuadrado IV.
  

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 4

  
  
  
• Mitad del cuadrado V.
  

  
  Mitad del cuadrado: Patrón 5

Debido a la extensión de la entrada las escenas que desarrollan la cuadratura del pentágono regular, tanto con DescartesJS como con GeoGebra, y otras relacionadas con el tema serán expuestas próximamente.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la tercera parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.

Cuadratura del círculo III

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos (cuadraturas) estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas."; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Una forma lúdica de teselar es resolver un rompecabezas, esto es un ejercicio para ejercitar la memoria visual y otras habilidades mentales por lo que proponemos, temporalmente, un amplio grupo de puzles para su resolución, uso y disfrute.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• La Mitad del cuadrado. De José Antonio Mora Sánchez: aproximación al estudio de las teselaciones.
• CUADRATURAS. De Ildefonso Fernández Trujillo: aproximación al estudio de las cuadraturas.
• CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
• "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Documentación de Inmaculada Llamas Centeno y Agustín Carrillo de Albornoz Torres (revista Suma)
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión.
  XIV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica.
  Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol. 105, Nº 2 (2012), 241-258
  Fernando Bombal
• Cuadraturas
  Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. Facultad de Ciencias UNAM. Cálculo Diferencial e Integral II
• Páginas en GeoGebra de Vicente Martín Torres López
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

CUADRATURAS II

Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos, las cuadraturas, las teselaciones y las particiones de un polígono en otros más pequeños con la intención de teselar, en general el espacio plano, y en particular otros polígonos de diferente forma es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las manifestaciones más sobresalientes de las diferentes culturas y épocas. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.

Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.

Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual, económico, agrario y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.

Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

Enlazamos a continuación otros ejemplos relacionados con el cuadrado y su partición en dos partes iguales o en dos/tres partes de forma que el área de una de las partes es siempre igual a la mitad de la superficie del cuadrado.

Escena 1

Partición dinámica del cuadrado en dos/tres partes.

Escena 2

Partición dinámica del cuadrado en dos partes iguales

Las escenas anteriores muestran la intima relación del cuadrado con el triángulo, el rectángulo y los trapecios para conformar teselas de indudable belleza.

Notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Cuadratura del Hexágono, por el método estándar o clásico y la descomposición de un triángulo equilátero de infinitas formas diferentes en cuatro polígonos para teselar rectángulos e incluso el cuadrado .

La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación de la Cuadratura del Hexágono por el método estándar.

Cuadratura del Hexágono. Método clásico.

Cuadratura del Hexágono

Descomposición de un triángulo equilátero.
La siguiente utilidad es copia de la ya analizada anteriormente.

Descomposición del triángulo

También, en esta introducción elemental al estudio de las cuadraturas, puede ser de interés el estudio de este otro trabajo sobre la cuadratura de un triángulo cualquiera.

Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido la segunda parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.

Cuadratura del círculo II

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografia:

• La Mitad del cuadrado. De José Antonio Mora Sánchez: aproximación al estudio de las teselaciones.
• CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
• "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Documentación de Inmaculada Llamas Centeno y Agustín Carrillo de Albornoz Torres (revista Suma)
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La cuadratura del círculo: Historia de una obsesión.
  XIV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica.
  Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol. 105, Nº 2 (2012), 241-258
  Fernando Bombal
• Cuadraturas
  Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz. Facultad de Ciencias UNAM. Cálculo Diferencial e Integral II
• Páginas en GeoGebra de Vicente Martín Torres López
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017