Se presenta la miscelánea:Gradiente y curvas de nivel

En esta escena se muestra la propiedad siguiente del gradiente: el vector gradiente de una función de dos variables en un punto P es ortogonal a la curva de nivel C que pasa por dicho punto, esto significa que es ortogonal al vector tangente a la curva C en el punto P.

La miscelánea se puede configurar modificando el valor de la función e introduciendo o bien un punto P, o bien un valor de k de manera que al hallar la intersección de la gráfica de la función con el plano z=k nos permita determinar la curva de nivel. En el primer caso, cuando se da las coordenadas del punto P, la curva de nivel se obtiene considerando k como el valor f(P).

A partir de estos datos se representa, por un lado, la superficie de la función, y por otro, la curva de nivel. Se tiene además la posibilidad de incluir las coordenadas de un vector cualquiera para comprobar que únicamente será ortogonal a la curva de nivel en el punto, cuando sea proporcional al gradiente en dicho punto.

En la miscelánea se ha incluido también un botón que, al pulsar sobre él, nos conduce a la demostración de esta propiedad del gradiente.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea:Gradiente y curvas de nivel

Se presenta la miscelánea: Interpretación geométrica de la derivada direccional

Igual que ocurría en el caso de la derivada de una función de una variable en un punto, la derivada direccional de una función f de dos variables en un punto P es la pendiente de una recta. En este caso se trata de la recta tangente a la superficie, gráfica de la función f, en el punto f(P) que además está contenida en el plano vertical que contiene al punto P y a la dirección.

Como las derivadas direccionales en las direcciones paralelas al eje X y al eje Y son las derivadas parciales, la escena también permite mostrar su interpretación geométrica.

Introduciendo la expresión de la función y las coordenadas del punto, la miscelánea guía en la construcción de la recta tangente cuya pendiente coincide con la derivada direccional que se elija.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea: Interpretación geométrica de la derivada direccional

Se presenta la miscelánea: Sucesiones

Esta miscelánea muestra la interpretación geométrica de tres conceptos importantes sobre sucesiones numéricas: el concepto de límite, la acotación y la monotonía.

Juan de Burgos, en su libro "Cálculo Infinitesimal de Varias Variables", compara el concepto de límite con un conjuro que no funciona por mucho que se repita y se memorice, ya que requiere, como muchas otras cosas, de comprensión. En el capítulo "Aprendiendo a clavar la lanza con tino" del citado texto, se trata de forma muy amena la definición de límite de una sucesión. De ese texto se ha seleccionado los siguientes párrafos.

Decía Ocol-Nipep que, en sus años mozos, tropezó con un extraño texto, tallado en las paredes de una gruta, que guardó celosamente lo que allí ponía, que durante muchos años se dedicó, sin éxito, a interpretar el escrito, pero que, al fin, pudo dar con lo que él se decía, lo cual resultó ser cosa, además de cierta, admirable: se trataba de un eficaz conjuro que permitía penetrar en el mundo de los anú yodón y dialogar con ellos. Los tales anú yodón constituyen una rara especie de gnomos voladores, que no sosiegan, vuelan incansablemente, dirigiéndose siempre, con obstinación, una vez tras otra, a un mismo lugar al que apuntan y, con no mucho tino, arrojan allí una lanza que siempre llevan consigo, intentando clavarla en él.

Hoy, que ya ha fallecido Ocol-Nilep creo que ha llegado el momento de desvelar su secreto, para lo que me dio autorización, pues ha de de interesar a muchos conocer la vida y milagros de los anú yodón. Para el conjuro, las cosas hay que hacerlas como aquí digo.

En primer lugar, se toma una estaca, no más larga que largo es el que hace el conjuro, y se clava en medio de una gran planicie. En la parte soterrada de la estaca se tallará la palabra "limite", que es la clave del conjuro, y en su parte visible se escribirá "rarraga ed-eh-et radnor ohcum-ed seupsed". Después, el conjurante se situará a gran distancia de la estaca.

 

Ya allí, él emprenderá una alocada carrera, con mil cambios de rumbo, llena de vacilaciones, de idas y de venidas, que le irá acercando, dando vueltas a su alrededor, a su destino, a la inscripción que dice "límite" en la parte enterrada de la estaca. Durante todo este recorrido zigzagueante, entonará reiteradamente con monotonía, como hacían los indios americanos cuando imploraban la lluvia a Manitú, con voz monocorde, un canto que diga "ollip et-ek, otidlam, aporata et-ke"

 

Ya cerca de su meta, cuando lo separen sólo unos codos de ella, si el conjurante ha procedido como aquí se dice y tiene confianza en conseguir su objetivo, entrará en tránsito, percibirá sensaciones extrañas, irá disminuyendo su consciencia, sentirá que se acerca sin cesar a su destino y que lo hace cada vez más y más rápidamente, a velocidad de vértigo, se le nublará la vista y perderá el conocimiento. Cuando vuelva en sí, se encontrará de pie, abrazado a la estaca; en una palabra ha llegado al "límite", ha concluido el conjuro. Si mira a su alrededor, verá que allí pululan los anú yodón, que le contemplarán con admiración y arrobo.

 

Nota: En ese texto los nombres de las gentes aparecen al revés

En el vídeo siguiente se explica el funcionamiento de la escena Sucesiones que permite, además de practicar con este conjuro, interpretar gráficamente la idea de cota superior e inferior y monotonía de una sucesión.

Acceso a la miscelánea: Sucesiones

Se presenta la miscelánea: Resto de Lagrange

Esta escena analiza el resto de la aproximación de una función derivable n veces en un punto a por su polinomio de Taylor de grado n a partir de la expresión del resto debida a Lagrange.

Esta expresión es una generalización del teorema del valor medio del cálculo diferencial y permite, en algunos casos, acotar el error de la aproximación de una función por su polinomio de Taylor.

Para la utilización de esta miscelánenea se debe introducir la expresión de la función, su derivada de orden n y los puntos a y x que se corresponden, respectivamente, con el punto en el que se hace el desarrollo y el punto en el que se quiere estudiar la aproximación. A partir de estos datos se puede calcular el polinomio de Taylor de cualquier grado centrado en el punto a siempre que la función sea suficientemente derivable en un dicho punto.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Acceso a la miscelánea: Resto de Lagrange

Se presenta la miscelánea: Polinomios de Taylor

Con esta escena se pueden obtener los polinomios de Taylor hasta el grado 4 de cualquier función que sea lo suficientemente derivable en un punto a.

Se representa además, en una misma gráfica, la función y los distintos polinomios de Taylor calculando sus valores en puntos x que son próximos al punto en el que se hace el desarrollo, punto a. El objetivo es poder observar la tesis del teorema de Taylor viendo que el valor de la función en un punto x se puede aproximar por el valor que toman los distintos polinomios de Taylor en dicho punto. Puede también comprobarse que esta aproximación es mejor cuanto mayor sea el grado del polinomio y cuanto más próximo esté x del punto a.

El vídeo siguiente explica el funcionamiento de esta escena.

Enlace a la miscelánea: Polinomios de Taylor