estadistica-JS

Título: Estadística. Distribuciones unidimensionales
Sección: Unidades didácticas
Bloque: Estadística y Probabilidad
Unidad: Estadística descriptiva
Nivel/Edad: 2º Bachillerato (17 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Luis Barrios Calmaestra

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Cinética química

Título: Cinética química
Sección: Ingeniería y Tecnología
Bloque: Ciencias básicas
Unidad: Química
Nivel/Edad: Bachillerato/Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autor: Enric Ripoll i Mira

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Gravedad y las estrellas dobles

Título: Gravedad y las estrellas dobles
Sección: Ingeniería y Tecnología
Bloque: Ciencias básicas
Unidad: Física general - Mecánica celeste
Nivel/Edad: Bachillerato/Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autor: José Luis San Emeterio Peña

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Normal(0,1)-JS

Título: Tabla de la Distribución Normal (0,1)
Sección: Miscelánea
Bloque: Estadística y probabilidad
Unidad: Distribuciones de probabilidad
Nivel/Edad: 2º Bachillerato (17 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Ildefonso Fernández Trujillo

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Banco óptico

Título: Banco óptico
Sección: Ingeniería y Tecnología
Bloque: Ciencias básicas
Unidad: Física general
Nivel/Edad: Bachillerato/Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autor: Enric Ripoll i Mira

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Calculadora de la distribución Normal

Título: Calculadora de la distribución Normal
Sección: Miscelánea
Bloque: Estadística y Probabilidad
Unidad: Distribuciones de probabilidad
Nivel/Edad: 2º Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autor: Juan Jesús Cañas Escamilla 

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inferencia_estadistica_JS

Título: Distribución normal e inferencia estadística
Sección: Unidades didácticas
Bloque: Estadística y Probabilidad
Unidad: Distribuciones de probabilidad
Nivel/Edad: 2º Bachillerato CCSS (17 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: María José García Cebrián

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 Interpolación polinómica

Título: Interpolación polinómica
Sección: Unidades didácticas
Bloque: Análisis
Unidad: Operaciones con funciones
Nivel/Edad: 2º Bachillerato (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Salvador Calvo-Fernández Pérez

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   Hay una tendencia a tratar de asociar o encontrar en todo aquello que es bello la proporción áurea o divina, o a construir objetos a partir de esta razón porque se presuponen serán apreciados como bellos por el simple hecho de seguir dicha pauta. Esto, como no, también ha acontecido con la modelación matemática de la concha del Nautilus pompilius sobre la que suele afirmarse que su forma y crecimiento es áureo. Sin embargo, en este artículo se muestra y se analiza en detalle cómo dicha concha lo que realmente sigue es un patrón ubicado en la denominada proporción cordobesa o humana. Con apoyo en un recurso interactivo desarrollado con la herramienta Descartes se motiva el análisis y comportamiento y se procede a partir de la yocto-yotta realidad observada a construir el modelo matemático, el cual se detalla ampliamente.

Pulsando sobre la siguiente imagen se accede a dicho recurso interactivo que se aborda o plantea en seis fases:

      1. Ajuste de la concha por una espiral logarítmica.
      2. Ajuste del sifúnculo por una espiral logarítmica.
      3. Ajuste global por una familia de espirales cordobesas.
      4. Mejora del modelo discreto.
      5. Aproximación de los septos.
      6. Modelo matemático del Nautilus pompilius.

Modelo matemático del Nautilus Pompilius

 informa       

   En cada fase se dispone de un botón de información que, al pulsarlo, da acceso a un detalle de las propiedades que pueden inducirse a partir de la interacción con la escena.
indicaciones
Y en el botón de indicaciones se aborda una introducción, los objetivos, las instrucciones de uso en cada fase y finalmente se enlaza un artículo donde se detalla el análisis matemático realizado.  Este artículo está embebido a continuación o bien puede abrirse y/o descargarse desde este enlace.

 

 

 

 En las conclusiones del artículo anterior afirmamos:

A través del detallado y progresivo análisis realizado hemos ido construyendo la base teórica o modelo matemático que soporta a la bella morfología del Nautilus Pompilius y hemos tratado del encontrar el modelo de crecimiento que conduce a poder explicar y a comprender por qué adquiere esa forma.  Desde su inicio la espiral logarítmica cordobesa tomó presencia y a medida que la mirada se deslizaba hacia algún nuevo detalle esta espiral ha vuelto a imponer su presencia marcándonos y alumbrándonos el camino del descubrimiento y de la adquisición del conocimiento. La belleza del Nautilus pompilius se sustenta en la proporción cordobesa o humana y todo punto de su concha o del interior ha quedado determinado por la intersección de dos espirales cordobesas. El germen o base inicial matemática que explica el por qué acontece todo lo observado, se ha ubicado en el crecimiento gnomónico de un triángulo cordobés, las propiedades de éste se trasladan al desarrollo y comportamiento global detectado y modelado.

Deseamos que nuestro trabajo de investigación satisfaga tu curiosidad y te animamos a interactuar con nosotros bien realizando algún comentario en este blog (los comentarios no se publicarán directamente sino que pasan por una moderación previa a su publicación) o bien escribe al correo de nuestra RED Descartes: Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

 

Publicado en Difusión

Un grillo está sobre una superficie, que gira a una velocidad angular constante, y se está desplazando dando saltos siguiendo una línea recta que pasa por el centro de giro. Ha dado un salto inicial y posteriormente cada salto es c veces mayor que el anterior. ¿En qué posición está en cada instante? ¿Cuál es la trayectoria que sigue?

El grillo y la espiral logarítmica

 

Este planteamiento dinámico conduce a una curva, ampliamente estudiada, la cual es el objeto de este artículo de difusión. En la miscelánea que hemos publicado en nuestro servidor de contenidos puedes ver el camino que sigue nuestro grillo saltarín, pudiendo seleccionar el salto y la velocidad de giro que desees y observando en qué influye tu elección.


Es bien conocido que la circunferencia es una curva equiangular, es decir, que en cualquier punto de la misma, el ángulo que forma el radio con la tangente es siempre constante e igual a un ángulo recto.

La circunferencia es equiangular

 

Inicialmente René Descartes (1596-1650) fue quien se planteó la determinación de una curva que también fuera equiangular, pero que el ángulo fuera el que previamente se deseara, es decir, una generalización de lo que acontece en la circunferencia. Jakob Bernoulli (1654-1705) también la analizó y la denominó “Spira mirabilis” o espiral maravillosa, y de acuerdo con sus propiedades, en su epitafio hizo poner “Eadem mutata resurgo”, es decir, “Mutante y permanente vuelvo a resurgir siendo el mismo”. En este recurso podrás comprobar el significado de esta expresión y experimentar que:

¡Ciertamente es maravillosa!

Para ello, planteamos un camino en varias fases, un total de doce, y en cada una de ellas se avanza en el análisis de esta espiral, en sus propiedades. Pulsa sobre la imagen siguiente para acceder al recurso.

Acceso a la espiral maravillosa

 

En las tres primeras fases se aborda su construcción dinámica dependiente del tiempo— y se inicia su análisis con la obtención de la relación —digamos estática o atemporal entre la distancia y el ángulo polar. Ésta, es la ecuación algebraica en coordenadas polares de la espiral y nos permite identificar el significado físico de los parámetros específicos de la misma.

Ecuación de la espiral logarítmica

La expresión justifica su denominación como espiral logarítmica, pues se observa que el ángulo polar se puede expresar en función del logaritmo del radio polar. Y en la fase cuarta del recurso se observa y justifica que a es un factor de escala, que para b=1 obtenemos como caso particular la circunferencia y que las espirales de base b y 1/b son simétricas respecto del eje polar.

Una quinta fase permite ver y justificar por qué también se le denomina espiral geométrica ya que los puntos de ella situados sobre una misma semirrecta siguen la relación de una proporción geométrica (aquí se aplica una analogía con la que acontece en la espiral de Arquimedes o espiral aritmética). Y en la sexta se visualiza y demuestra el carácter equiangular que motivó a Descartes.


El hecho de ser equiangular es lo que le confiere a esta espiral su carácter tan especial. Y en base a ello, las últimas fases del recurso se centran en mostrar y demostrar el carácter maravilloso que marcó Bernoulli y que sintetizó en la citada expresión: “Eadem mutata resurgo”. Para una circunferencia es fácil de intuir y ver que su forma es tal que siempre surge o resurge siendo la misma, crece y crece siempre siendo la misma. Y lo maravilloso es que este surgir y resurgir siendo la misma se verifica también en esta “circunferencia generalizada” o espiral logarítmica, es decir, la razón de su crecimiento instantáneo es la unidad. Sintetizando el planteamiento que se realiza en el recurso, pues el detalle lo puedes comprobar interactuando con él, tenemos que:

  • Inicialmente el análisis del crecimiento se aproxima mediante rectángulos semejantes circunscritos a la espiral, que siguen un patrón de crecimiento gnomónico en el sentido euclídeo (según lo definido en “Los elementos de Euclides”), que puede interpretarse como el patrón de crecimiento en pasos discretos de π radianes.
  • Posteriormente se aborda el crecimiento, pero en el sentido establecido por Aristóteles cuando decía: «Hay ciertas cosas que no sufren alteración salvo en magnitud, cuando crecen...».

Gnomon según Aristóteles

Y aquí, esto se aborda planteando el crecimiento con polígonos semejantes construidos sobre radios vectores, correspondientes a puntos de la espiral, que difieren:

    • En π/2 radianes, lo que conduce a una razón de semejanza b^(π/2): 

Crecimiento gnomónico discreto pi/2

    • O, en general, con paso 2π/n y razón de semejanza b^(2π/n):

Crecimiento gnomónico discreto

 Como ejemplo, sobre la concha del Nautilus pompilius, se muestra un crecimiento gnomónico discreto de paso 2π/16 en una espiral logarítmica cordobesa (b=1.186):

Crecimiento gnomónico en el Nautilus pompilius

 

  • Finalmente cuando el crecimiento es instantáneo, es decir, si n->infinito y el paso entre radios vectores es por tanto 2π/n->0, la razón de semejanza b^(2π/n) tiende a la unidad: “Eadem mutata resurgo”.

Crecimiento gnomónico instantáneo

 

¡Te deseamos un buen aprendizaje siguiendo a nuestro grillo!

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