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Problemas Clásicos. Trisección de un ángulo y cuadratura del círculo

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Título: Problemas Clásicos. Trisección de un ángulo y cuadratura del círculo
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría plana
Nivel/Edad: 4º ESO (15 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Ildefonso Fernández Trujillo

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Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas V. La cuadratura del círculo II.

Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas V. La cuadratura del círculo II.

Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas V. La cuadratura del círculo II.


Son varios los grandes matemáticos que han conseguido, por uno u otro camino, la cuadratura del círculo. Hemos analizado, en este blog, algunas de las formas en que dicha cuadratura se ha logrado, fundamentalmente las relacionadas con lugares geométricos que de una u otra manera consiguen determinar un segmento relacionado con el número π.

Dentro de la particularidad que nos ocupa: la cuadratura del círculo, también hemos podido apreciar el indudable valor de algunos de los procedimientos mecánicos (técnicos) que diferentes artistas, arquitectos y científicos interesados en el tema han elaborado. En este sentido enlazamos a continuación con el interesante trabajo del profesor Carlos Calvimontes Rojas sobre la cuadratura del círculo donde muestra una selecta documentación relacionada con el tema y basada en la desarrollada por Leonardo Da Vinci y Vitrubio, con la verificación de la aportación gráfica de la misma con el programa de diseño arquitectónico Autocad.

cuadratura
cuadratura del círculo 

Recomendamos la lectura completa del documento así como el análisis de su bibliografía.

Volvemos a enlazar con el blog de Miguel Ángel Morales Medina, en esta ocasión lo hacemos al artículo sobre la cuadratriz.


cuadratriz
Blog Gaussianos 

A continuación exponemos varias escenas interactivas elaboradas con DescartesJS y el programa GeoGebra que muestran la cuadratura del círculo utilizando los lugares geométricos aportados por Hípias (Dinostrato) y Arquímedes.

  • Cuadratura del círculo I: Con la ayuda de la animación y siguiendo las instrucciones encontramos la media proporcional que depende de π y de r y que nos permite hallar el cuadrado con el mismo área que el círculo dado.

    Escena desarrollada con DescartesJS.


    cuadratura del círculo (Dinostrato)

  • Cuadratura del círculo II: La siguiente escena, creada también con el editor DescartesJS muestra la generación de la espiral de Arquímedes y la determinación de un segmento de longitud (raíz cuadrada de π) · r con dicha espiral.



    cuadratura del círculo (Arquímedes)

A continuación exponemos las mismas escenas anteriores pero en esta ocasión elaboradas con el programa GeoGebra. Las escenas son especialmente sencillas por si se desean tomar como referencia para ampliar con contenido propio.

En primer lugar se muestra la cuadratura del círculo con la cuadratriz de Dinostrato y a continuación la cuadratura del círculo con la espiral de Arquímedes.


cuadratura del círculo (Dinostrato)


cuadratura del círculo (Arquímedes)

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la generación del lugar geométrico Trisectriz - Cuadratriz de Hípias - Dinostrato.


Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con las cuadraturas estudiadas para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos  analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2018

 

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Misceláneas: Lugares geométricos. Cuadraturas IV

Misceláneas: Lugares geométricos. Cuadraturas IV

CUADRATURAS IV.

La cantidad de patrones de teselado, por lo tanto la cantidad de teselados, es infinita e inagotable. También lo es la cantidad de no teselados. Los alarifes que hicieron posible la habitación de retiro de la reina y sus alrededores, en la alhambra de Granada, hicieron realmente, poesía geométrica viva, dinámica, sensorial, placentera, evocativa…

Hacemos hincapié en el estudio de los patrones más elementales del grupo de los básicos con objeto de analizar como una sutil variación en la forma o el color produce efectos anímicos y visuales muy diferentes y así facilitar el proceso de análisis y creación de las teselaciones más complejas.

Además de nuevos enlaces volvemos a mostrar, por su interés, algunos de los ya expuestos en entradas anteriores:

tesela
patrones y teselados 

Para quien considere necesaria una inmersión en los conceptos básicos relacionados con las teselaciones hemos preparado los siguientes contenidos:

tesela
tesela pentagonal 

La imagen anterior enlaza con una unidad que, en su día, desarrolló el profesor Ángel Aguirre Pérez y que he comenzado a adaptar a DescartesJS debido a que sus objetivos son similares a los que nos proponemos en este artículo y por tanto nos introduce en el tema de la forma clásica y básica.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos acercamos a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.



Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

A poco que se observen los trabjos de teselción expuestos o enlazados se evidencia que en cada uno de ellos se reproduce un patrón. Existe un amplio grupo de patrones y entre los más elementales están los conocidos como 'tipo mitad del cuadrado' que son los que se obtienen descomponiendo el cuadrado en dos o más partes diferenciadas, en nuestro caso, por el color, de manera que ambas formas tengan igual área. A continuación se exponen varios ejemplos de estos patrones que aclaran el concepto.

  • Estudio de los patrones y sus teselaciones correspondientes tipo "mitad del cuadrado".
    Mitad del cuadrado I.

    mitad del cuadrado VI
    Mitad del cuadrado: Patrón 6

  • Mitad del cuadrado II.

    mitad del cuadrado II
    Mitad del cuadrado: Patrón 7



  • Mitad del cuadrado III.
    Este patrón ya ha sido expuesto en entradas anteriores, en la actual enlazamos con un ejemplo de las teselaciones a que da lugar.

    Mitad del cuadrado
    Mitad del cuadrado: Patrón 8



  • Mitad del cuadrado IV.

    Mitad del cuadrado
    Mitad del cuadrado: Patrón 9



  • Mitad del cuadrado V.

    cuadratura del triángulo
    Mitad del cuadrado: Patrón 10

A continuación exponemos los trabajos que desarrollan la cuadratura del pentágono regular, tanto con DescartesJS como con GeoGebra.

  • Cuadratura de un pentágono regular de lado AB. La miscelánea Pentágono regular: Cuadratura. Método clásico detalla más explícitamente la misma escena.

    cuadratura del pentágono
    cuadratura del pentágono

    Recordamos que:
    • La circunferencia c tiene de centro el punto D' y radio A'B'.
    • El arco c2 tiene de centro el punto G' (punto medio de B'F') y radio G'B'.
    • El arco c3 tiene de centro el punto D' y radio D'H'.
  • La misma cuadratura realizada con el programa GeoGebra

    cuadratura del pentágono
    cuadratura del pentágono

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la creación, paso a paso, de una tesela reutilizando un "cede (CD)".


Interesante manualidad sobre teselación.

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con las cuadraturas estudiadss para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

Una forma lúdica de teselar es resolver un rompecabezas, esto es un ejercicio para ejercitar la memoria visual y otras habilidades por lo que proponemos, temporalmente, un amplio grupo de puzles para su resolución, uso y disfrute.


Juegos para entrenar la memoria visual.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

 

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Misceláneas: Lugares geométricos. Cuadraturas III.

Misceláneas: Lugares geométricos. Cuadraturas III.

CUADRATURAS III.

Los problemas clásicos de la geometría griega son, por activa o por pasiva, fuente inagotable de inspiración. En esta ocasión el estudio de los lugares geométricos nos llevó a sus orígenes por ende a Hípias, Dinostrato, Arquímedes... e inevitablemente a la cuadratura dinámica del círculo, esto es, a la cuadratura de cualquier polígono regular; o no, con cualquier número de lados. Resultando que, aparentemente, en la base de este proceso está el cuadrado. Motivo por el cual decidimos estudiar este polígono. Ahora bien, al intentar analizar el cuadrado este, en sí mismo, parece desaparecer mostrando como en su interior subyacen infinidad de polígonos: triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, rombos… y una infinidad de otras formas inexistentes, virtuales, cuya proyección a la realidad tangible proporcionan, probablemente, los objetos y formas más útiles, en todos los sentidos, para el ser humano. Puede comprobarse como el trazo de unas pocas líneas en un cuadrado y a continuación al realizar el teselado del plano con el mismo, aparecen, de manera dinámica, formas que son el resultado de la composición de una traslación y/o de un giro; u otros, y como la visión de conjunto, a veces un palíndromo geométrico bidimensional, sugiere formas, sensaciones y conceptos cambiantes. Este procedimiento constructivo es el que los siguientes enlaces y escenas interactivas pretenden analizar aún cuando sea basándonos en los conceptos teóricos básicos y en los efectos visuales elementales que intervienen en el proceso.

La imagen siguiente está vinculada a la miscelánea que recoge un resumen de las ideas visuales expuestas a lo largo de esta entrada.

tesela
patrones y teselados 

Para quien considere necesaria una inmersión en los conceptos básicos relacionados con las teselaciones hemos preparado los siguientes contenidos:

tesela
tesela pentagonal 

La imagen anterior enlaza con una unidad que, en su día, desarrolló el profesor Ángel Aguirre Pérez y que he comenzado a adaptar a DescartesJS debido a que sus objetivos son similares a los que nos proponemos en este artículo y por tanto nos introduce en el tema de la forma clásica y básica.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos acercamos a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.



Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

A poco que se observen los trabjos de teselación expuestos o enlazados se evidencia que en cada uno de ellos se reproduce un patrón. Existe un amplio grupo de patrones y entre los más elementales están los conocidos como 'tipo mitad del cuadrado' que son los que se obtienen descomponiendo el cuadrado en dos o más partes diferenciadas, en nuestro caso, por el color, de manera que ambas formas tengan igual área. A continuación se exponen varios ejemplos de estos patrones que aclaran el concepto.

  • Estudio de los patrones y sus teselaciones correspondientes tipo "mitad del cuadrado".
    Mitad del cuadrado I.

    mitad del cuadrado I
    Mitad del cuadrado: Patrón 1



    El gráfico muestra que, por construcción, los triángulos ABM4, BCM4, DEM2 y M2FG son iguales por lo tanto el área de la parte azul es igual al área de la parte verde ya que los puntos: M1, M2, M3 y M4 son los puntos medios de los lados del cuadrado.

  • Mitad del cuadrado II.

    mitad del cuadrado II
    Mitad del cuadrado: Patrón 2



  • Mitad del cuadrado III.

    Mitad del cuadrado
    Mitad del cuadrado: Patrón 3



  • Mitad del cuadrado IV.

    Mitad del cuadrado
    Mitad del cuadrado: Patrón 4



  • Mitad del cuadrado V.

    cuadratura del triángulo
    Mitad del cuadrado: Patrón 5

Debido a la extensión de la entrada las escenas que desarrollan la cuadratura del pentágono regular, tanto con DescartesJS como con GeoGebra, y otras relacionadas con el tema serán expuestas próximamente.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la tercera parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.


Cuadratura del círculo III

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos (cuadraturas) estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas."; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.


Una forma lúdica de teselar es resolver un rompecabezas, esto es un ejercicio para ejercitar la memoria visual y otras habilidades mentales por lo que proponemos, temporalmente, un amplio grupo de puzles para su resolución, uso y disfrute.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

 

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Misceláneas. Lugares geométricos: Cuadraturas II

Misceláneas. Lugares geométricos: Cuadraturas II

CUADRATURAS II

Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos, las cuadraturas, las teselaciones y las particiones de un polígono en otros más pequeños con la intención de teselar, en general el espacio plano, y en particular otros polígonos de diferente forma es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las manifestaciones más sobresalientes de las diferentes culturas y épocas. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.

Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.

Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual, económico, agrario y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.

  • Teselaciones


    aguilas

  • Mosaico de Escher
    Autor: Enrique Martínez Arcos. Adaptación a DescartesJS: Mª José García Cebrian. Publicado por: Ángel Cabezudo Bueno


    salamandras

  • Salamandra de Escher
    Fernándo Pavez Peñaloza.


    Salamandras 2

  • Descubierto un nuevo pentágono que tesela el plano


    teselas con pentágonos

Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.

Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.

    • Estudio de la Cuadratura y Teselación de un Triángulo Equilátero.
      Supongamos que el triángulo equilátero ABC (ver la siguiente figura), se descompone en los polígonos: AFEM3, FHI, IHBM2 y EM2CM3.

      cuadratura del triángulo
      cuadratura del triángulo 1



      Con los polígonos anteriores podemos formar muchas figuras, además del triángulo equilátero ABC, según coloquemos los polígonos en el plano. Una de las maneras de situar los polígonos es la que muestra la escena que enlaza la imagen anterior. En dicha escena: activando el botón anima o pulsando en el control alfa se observa como se recolocan los polígonos para formar el rectángulo EE2E3E4, visible cuando alfa = 3.14, que evidentemente es un cuadrado con el mismo área que el triángulo equilátero ABC.

      Con la misma intención y con objeto de practicar con las animaciones y diferentes formas de lograr un objetivo se ha creado la escena que enlaza la imagen siguiente.

      cuadratura del triángulo
      cuadratura del triángulo 2



      Analizadas las dos escenas anteriores, conviene pulsar el botón ver aux. o aux, vamos a elaborar una nueva escena para obtener infinitas teselaciones del triángulo equilátero ABC y con dichas teselaciones recubrir un rectángulo y/o un cuadrado.

      cuadratura del triángulo
      cuadratura del triángulo 3



      En esencia la escena es la misma que las anteriores pero simplificada en extremo. Hemos procedido de la siguiente manera:
      • dibujamos el triángulo equilátero ABC: A(0,0), B(6,0) y C(3, 6·sen(60º)).
      • particionamos el lado horizontal de la siguiente forma:
        • segmento AD controlado por el pulsador t
        • segmento DE de longitud igual a la mitad del lado AB
        • segmento EB tal que AD+EB=DE
      • situamos los puntos medios de los lados AC y BC, M3 y M2.
      • unimos, mediante una recta, uno de esos puntos medios con el punto más alejado de él entre D y E
      • desde el otro punto medio y desde el punto intermedio de la partición que no se ha usado se trazan segmentos perpendiculares a la recta anterior.
      • así se obtienen (por ejemplo) los polígonos: ADGM3, DEG, FEBM2 y FM2CM3 que teselan al triángulo. (ver escena enlazada con la imagen anterior)
      • en la escena mencionada al pulsar el botón anima o llevar el pulsador ang a 3.14, se construye el rectángulo FF2F3F4 de igual área que el triángulo ABC y que cuando t vale 0.97 es un cuadrado.
      • por lo tanto para cada valor de t tenemos una teselación diferente y para ciertos valores, además, la cuadratura.
      • debe indicarse que la construcción está aproximada a las centésimas y que para cualquier otro grado de precisión habría que reajustar los valores.


  • Cuadratura estándar de un triángulo. El método estándar de cuadrar un triángulo consiste en hallar el rectángulo con la misma área que él y a continuación cuadrar dicho rectángulo como muestra la escena que enlaza la siguiente imagen.
    Construcción de la escena:
    • paso 0
      • Representamos el triángulo, en esta ocasión equilátero, ABC y los puntos médios de los lados: AC y BC.
    • paso 1
      • El rectángulo ABDE, obviamente, tiene la misma superficie que el triángulo ABC.
      • El botón comprobar muestra una animación que evidencia la afirmación anterior.
    • paso 2
      • Prolongamos los lados BD y ED como apoyo a la construcción.
      • Con centro en D y radio DB se traza la circunferencia que junto a la extensión del lado ED definen el punto F.
      • Se determina G, punto medio del segmento EF.
      • Con centro en G y radio EG se traza la circunferencia que en su intersección con la prolongación de BD determina el punto H.
      • En la escena (paso 2) se observa que el segmento DH es medía geométrica de ED y DF, pero DF = BD, por lo tanto AB·BD = DH2.
      • Construimos el cuadrado DIJH.
    • paso 3
      • SABC=SABDE=SDIJH

    cuadratura
    Cuadratura estándar de un triángulo

Enlazamos a continuación otros ejemplos relacionados con el cuadrado y su partición en dos partes iguales o en dos/tres partes de forma que el área de una de las partes es siempre igual a la mitad de la superficie del cuadrado.

Escena 1


Partición dinámica del cuadrado en dos/tres partes.

Escena 2


Partición dinámica del cuadrado en dos partes iguales

Las escenas anteriores muestran la intima relación del cuadrado con el triángulo, el rectángulo y los trapecios para conformar teselas de indudable belleza.

Notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Cuadratura del Hexágono, por el método estándar o clásico y la descomposición de un triángulo equilátero de infinitas formas diferentes en cuatro polígonos para teselar rectángulos e incluso el cuadrado .

La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación de la Cuadratura del Hexágono por el método estándar.

Cuadratura del Hexágono. Método clásico.


Cuadratura del Hexágono

Descomposición de un triángulo equilátero.
La siguiente utilidad es copia de la ya analizada anteriormente.


Descomposición del triángulo

También, en esta introducción elemental al estudio de las cuadraturas, puede ser de interés el estudio de este otro trabajo sobre la cuadratura de un triángulo cualquiera.

Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido la segunda parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.


Cuadratura del círculo II

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografia:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

 

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Triángulo: Cuadratura y teselación

 

triangulo cuadratura tesela JS

Título: Triángulo: Cuadratura y teselación
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Transformaciones geométricas
Nivel/Edad: 2º ESO (13 años)
Idioma: Castellano
Autoría: Ildefonso Fernández Trujillo

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Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
https://proyectodescartes.org/miscelanea/index.htm - Ver Créditos

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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional

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Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas.

Misceláneas. Lugares geométricos. Cuadraturas.

CUADRATURAS.

Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las expresiones artísticas, religiosas, estructurales y técnicas de las diferentes culturas y épocas. Los conceptos, fundamentalmente los geométricos, físicos y filosóficos aparentan una evolución-involución atractiva y armónica que fascina. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.

Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.

Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.

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