Título: Partición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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Este material está publicado bajo una licencia:
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional
Título: Partición de un prisma triangular en pirámides triangulares equivalentes
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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La partición de un cubo en pirámides triangulares tiene su cardinal mínimo en cinco pirámides, pero hay una única forma de realizar esta partición. La descomposición en seis pirámides triangulares amplía el número de formas de realizarla y da lugar a particiones que podemos encuadrar en dos bloques: no prismáticas o prismáticas. En estas últimas todas las pirámides son equivalentes (igual volumen) o incluso congruentes. En este artículo nos centraremos en la partición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes. Análisis previos que nos conducen a esta situación fueron detallados en el artículo "Partición del cubo en pirámides (parte II)".
Particiones de un cubo en pirámides triangulares equivalentes
El plano determinado por dos diagonales con igual dirección en dos caras opuestas de un cubo interseca a éste dividiéndolo en dos prismas triangulares cuyas bases son triángulos rectángulos isósceles. Consecuentemente, la descomposición de un cubo en pirámides triangulares puede abordarse analizando la partición de un prisma recto de base un triángulo isósceles rectángulo. Este procedimiento es el que denominaremos partición prismática del cubo. Sin pérdida de generalidad consideraremos que el lado del cubo es la unidad.
Escena 1. División del cubo en dos prismas triangulares
1. Descomposición de un prisma triangular en pirámides triangulares
Consideremos el prisma recto de vértices {A, B, C, E, F, G}, donde la base superior se corresponde con los tres primeros vértices y la inferior con los tres últimos (ver escena 1). Queremos descomponerla en pirámides de base triangular y para ello hemos de tene en cuenta que:
Basándonos en que una pirámide triangular queda determinada sin más que elegir dos segmentos con distinta dirección no coplanarios, una forma de abordar la partición del prisma de vértices {A, B, C, E, F, G} en tres pirámides triangulares se logra considerando dos aristas no coplanarias, una de la base ABC y otra de la EFG (Ver escena 2). Los cuatro vértices de esas dos aristas determinan una pirámide triangular que parte al prisma en tres bloques (se puede simular la situación en dicha escena 2) quedando fijadas, junto a ésta, las otras dos pirámides buscadas. Hay sólo seis posibilidades que vamos a denotar como partición I, II, III, IV, V y VI.
Escena 2. Particiones del prisma en tres pirámides triangulares (I, II, III, IV, V y VI) y detalle de la partición tipo I
Distinguiendo los vértices por su nombre, en esas seis particiones aparecen doce pirámides diferentes, lo cual obviamente se corresponde con las combinaciones que se pueden obtener a partir de los seis vértices {A, B, C, E, F, G} agrupándolos de cuatro en cuatro, que son los vértices de una pirámide, y quitando aquellas agrupaciones en las que los cuatro vértices son coplanarios. Así pues, son C6, 4 = 15 combinaciones diferentes {ABCE, ABCF, ABEF, ABEG, ABFG, ACEF, ACEG, ACFG, AEFG, BCEF, BCEG, BCFG, BEFG, CEFG} y se excluyen los tres casos que hemos tachado por ser cuatro vértices coplanarios. Este podría ser también otro procedimiento alternativo al anterior para analizar las diferentes particiones del prisma.
En esas doce pirámides intervienen 15 aristas posibles, pues son combinaciones de seis vértices tomados de dos en dos, C6, 2 = 15. Son las reflejadas en la tabla 1, donde se indica su medida respectiva.
AB=1 | ||||
AC=√2 | BC=1 | |||
AE=1 | BE=√2 | CE=√3 | ||
AF=√2 | BF=1 | CF=√2 | EF=1 | |
AG=√3 | BG=√2 | CG=1 | EG=√2 | FG=1 |
Tabla 1. Aristas de las pirámides y longitud de las mismas
En la tabla 2 podemos agrupar toda la información anterior y comparar las pirámides de esas particiones buscando detectar cuales son iguales o del mismo tipo. FIjándonos en la medida de las aristas que las componen se observa que hay tres tipos de pirámides que hemos etiquetado como X, Y, Z y, como detallaremos a continuación, en el tipo X se distinguen dos modalidades que etiquetamos como 1 y 2. También se refleja si la partición está constituida por pirámides congruentes entre sí (y por tanto también equivalentes) o si son sólo equivalentes.
Partición | Pirámide | Aristas | Tipo | Modalidad | Congruencia y Equivalencia |
I | ABCE | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 2 | Congruencia |
BCEF | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 1 | ||
CEFG | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 2 | ||
II | ABCF | 1, 1, 1, √2, √2, √2 | Y | Equivalencia | |
ACEF | 1, 1, √2, √2, √2, √3 | Z | |||
CEFG | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 2 | ||
III | ABCG | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 1 | Equivalencia |
ABEG | 1, 1, √2, √2, √2, √3 | Z | |||
BEFG | 1, 1, 1, √2, √2, √2 | Y | |||
IV | ABCG | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 1 | Equivalencia |
ABFG | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 2 | ||
AEFG | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 1 | ||
V | ABCF | 1, 1, 1, √2, √2, √2 | Y | Equivalencia | |
ACFG | 1, 1, √2, √2, √2, √3 | Z | |||
AEFG | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 1 | ||
VI | ABCE | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | X | 2 | Equivalencia |
BCEG | 1, 1, √2, √2, √2, √3 | Z | |||
BEFG | 1, 1, 1, √2, √2, √3 | Y |
Tabla 2. Desglose de particiones, pirámides que lo conforman, longitud de las aristas que lo componen, tipo de pirámide y modalidad, y congruencia y/o equivalencia
Cada partición del prisma la vamos a distinguir con el número romano que le hemos asignado o sin más que nombrar los tipos de pirámide que la forman para lo que convendremos hacerlo de arriba hacia abajo de acuerdo a la ubicación inicial de la pirámide en la que la base superior tiene de vértices ABC y la inferior EFG. Así la partición II viene dada por {Y, Z, X2}.
Procedamos a analizar cada uno de los tipos de pirámides que aparecen en dichas particiones.
1.1 Pirámide tipo Y
Atendiendo sólo a la forma, es decir, considerando que todas las caras son de igual color y no etiquetando los vértices, sólo es posible una pirámide triangular cuyas aristas midan 1, 1, 1, √2 , √2, √2 (escena 3). Su desarrollo plano está compuesto por un triángulo equilátero de lado 2 y tres triángulos rectángulos isósceles de catetos 1 y de hipotenusa2. El desarrollo, como se ha representado en la figura, tiene simetría axial con eje de simetría cualquiera de las alturas del triángulo equilátero y por tanto, independientemente de la orientación con la que se realiza el plegado (hacia dentro o hacia fuera) se obtiene la misma pirámide. El volumen de esta pirámide es 1/6 u3.
Escena 2. Pirámide triangular tipo Y (trirrectángula)
1.2 Pirámide tipo Z
De manera análoga al caso anterior, si atendemos sólo a la forma, sólo es posible una pirámide triangular cuyas aristas midan 1, 1, √2, √2, √2, √3 (escena 3). Su desarrollo plano está compuesto por un triángulo equilátero de lado √2, un rectángulo isósceles de catetos 1 e hipotenusa √2 y dos triángulos rectángulos de catetos 1 y √2 e hipotenusa √3. Este desarrollo, como está representado en la figura, tiene simetría axial con eje de simetría la altura del triángulo equilátero que es altura a la vez del triángulo rectángulo isósceles. Así pues, independientemente de la orientación con la que se realiza el plegado (hacia dentro o hacia fuera) se obtiene la misma pirámide. El volumen de esta pirámide es también 1/6 u3, por tanto, equivalente a la pirámide tipo Y.
Escena 3. Pirámide triangular tipo Z
1.3 Pirámide tipo X
Con las aristas de medidas 1, 1, 1, √2, √2, √3 se pueden construir dos pirámides triangulares siendo una simétrica de la otra (escena 4). Los desarrollos planos son simétricos entre sí. Eligiendo uno de ellos, si se pliega hacia dentro se obtiene una de las pirámides y al plegarlo hacia fuera se obtiene la otra. Ambas tienen volumen 1/6 u3, es decir, son equivalentes entre sí y a las pirámides Y y Z.
También en la parte inferior de dicha figura puede observarse cómo ambas pirámides son simétricas, una respecto a la otra, en el sentido de que si hacen coincidir dos caras que sean iguales el plano que separa a ambas pirámides es un plano de simetría de las mismas. X1 y X2 son, por tanto, congruentes entre sí.
Escena 4. Pirámides triangulares tipo X —X1 en color azul y X2 en color verde—, desarrollo plano de las mismas y simetría de una respecto a la otra
1.4 Particiones del prisma triangular
Las seis particiones del prisma reflejadas en la tabla 2 están representadas en la escena 5, donde se han mantenido los colores usados anteriormente en cada tipo de pirámide para así poder distinguir a simple vista cuál es la pirámide utilizada: rojo para tipo Y, blanco para tipo Z, azul para X1 y verde para X2.
Escena 5. Particiones del prisma triangular
No obstante, de esas seis hay solamente dos que no son congruentes entre sí, pues tenemos que se cumplen las siguientes relaciones:
Escena 6. Congruencias en las particiones del prisma triangular
Si nuestro objetivo final es exclusivamente la partición de dicho prisma en pirámides triangulares tendríamos que indicar que, salvo isometrías, sólamente hay dos particiones posibles y, por tanto, bastaría considerar, por ejemplo, la partición I y la II. En ellas, a su vez, en la partición I las pirámides son congruentes entre sí (y consecuentemente equivalentes) y en la II son sólo equivalentes.
Escena 7. Partición del prisma con pirámides congruentes y con pirámides equivalentes
Todo lo analizado en este punto está englobado en el siguiente objeto interactivo:
Escena 8. Partición de un prisma triangular en pirámides triangulares equivalentes
2. Partición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes
Para abordar la partición prismática del cubo, es decir, su descomposición mediante la unión de dos prismas es necesario tener en cuenta que la orientación de uno de ellos respecto al otro es significativa y consecuentemente hemos de considerar como diferentes las seis particiones del prisma triangular obtenidas en la sección anterior, dado que ellas son el fruto de hacer una distinción entre la cara inferior y la superior del prisma. O bien podemos hacer la lectura de que partiendo de las dos únicas particiones I y II del prisma al aplicarles isometrías tendríamos que son seis las particiones posibles en un prisma al distinguir la cara inferior de la superior.
Seleccionada una de las seis particiones posibles del prisma triangular, al aplicarle isometrías obtendremos otro prisma y los dos juntos conformarán una partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes. En la tabla 3 se reflejan las posibles transformaciones isométricas a realizar.
Giro alrededor del eje Oz | Giro alrededor del eje Oz y del eje Oy | Simetría respecto a un plano |
Tabla 3. Isometrías para obtener un cubo a partir de un prisma triangular
En la tabla 4 se reflejan estas transformaciones aplicadas a cada una de las seis particiones:
Partición | Giro Oz | Giro Oz, Oy | Simetría |
I = X2, X1, X2 | X2, X1, X2 = I | X2, X1, X2 = I | X1, X2, X1 = IV |
II = Y, Z, X2 | Y, Z, X2 = II | X2, Z, Y = VI | Y, Z, X1 = V |
III = X1, Z, Y | X1, Z, Y = III | Y, Z, X1 = V | X2, Z, Y= VI |
IV = X1, X2, X1 |
X1, X2, X1 = IV | X1, X2, X1 = IV | X2, X1, X2 = I |
V = Y, Z, X1 |
Y, Z, X1 = V | X1, Z, Y = III | Y, Z, X2 = II |
VI = X2, Z, Y | X2, Z, Y = VI | Y, Z, X2 = II | X1, Z, Y = III |
Tabla 4. Isometrías para obtener un cubo a partir de un prisma triangular
Por tanto, las diferentes particiones del cubo en seis pirámides equivalentes se obtienen sin más que hallar las variaciones con repetición de 6 elementos (las seis diferentes particiones del prisma) tomados de dos en dos, es decir, un total de VR6,2=62=36 posibilidades.
Escena 8. Partición prismática del cubo en pirámides triangulares equivalentes
De partida, al comparar esas 36 posibilidades, se observa que la partición P2-P1 es congruente con la P1-P2 sin más que realizar un giro de 180º alrededor de la vertical (eje Oz) y, por tanto, quedan reducidas a 21 las posibles particiones (combinaciones con repetición CR6,2). Éstan son : {I-I, I-II, I-III, I-IV, I-V, I-VI, II-II, II-III, II-IV, II-V, II-VI, III-III, III-IV, III-V, III-VI, IV-IV, IV-V, IV-VI, V-V, V-VI, VI-VI}. Y en particular, entre ellas, hay tres casos en los que todas las pirámides son congruentes: {I-I, I-IV, IV-IV}.
En la siguiente escena se muestran todas esas particiones:
Escena 9. Partición del cubo con pirámides triangulares equivalentes
Y en ésta los tres casos en los que hay congruencia entre todas las pirámides.
Escena 10. Partición del cubo con pirámides triangulares congruentes
Pero para finalizar, en lugar de cerrar el tema, quizás sea mejor dejar una pregunta abierta: "Si comparamos las anteriores veintiuna particiones del cubo ¿cuántas son congruentes a su vez entre sí?, es decir, ¿cuántas son diferentes salvo isometrías?"...
Título: Partición de un cubo en pirámides triangulares por división de pirámides cuadradas. Caso general.
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez
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La descomposición de un cubo en pirámides de base triangular surge de manera natural, y fácil, una vez que se han analizado las particiones de un cubo en pirámides de base cuadrada. Basta considerar una de las dos diagonales de dicha base cuadrada para que la pirámide quede partida en dos triangulares. Así pues, toda pirámide cuadrada puede subdividirse de dos formas diferentes en pirámides triangulares, sendas pirámides para sendas diagonales. No obstante, veremos que este procedimiento no conduce a la partición de cardinal mínimo, siendo necesario abordar un planteamiento constructivo independiente para lograrla. Este nuevo esquema nos conducirá a particiones que catalogaremos como no prismáticas o primásticas. Estas últimas serán objeto de un análisis específico en un tercer artículo relativo a este tema.
Particiones de un cubo en pirámides de base triangular
1. Partición mediante descomposición de pirámides de base cuadrada
Si consideramos las diferentes particiones del cubo en pirámides cuadradas obtenidas en el artículo anterior entonces, automáticamente, son conocidas sendas particiones en pirámides triangulares sin más que considerar cada una de las dos diagonales del cuadrado que constituye la base en cada pirámide. Además, las dos subpirámides obtenidas serán equivalentes (con igual volumen), pues la base inicial cuadrada ha quedado dividida en dos partes iguales y la altura es común a ambas y, por tanto, el volumen de cada una de esas pirámides triangulares es la mitad del volumen inicial. En este contexto tendríamos las siguientes situaciones:
Escena 1. Partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares congruentes
(Haz clic en la imagen para acceder al recurso interactivo)
Este proceso de división podría repetirse considerando la mediana de las nuevas bases y así obtendríamos una partición con doce pirámides equivalentes y dos familias de 6 pirámides congruentes entres sí; y con una nueva fracción por la mediana serían 24 pirámides equivalentes y 4 familias congruentes y, en general 3·2n pirámides equivalentes y 2n-1 familias de pirámides congruentes entre sí. Un entretenimiento teórico bonito, pero que físicamente su traslación a un contexto manipulativo rápidamente no es viable.
Escena 2. Partición no prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes
En la siguiente escena se aborda de manera general la partición del cubo en pirámides triangulares a partir de las particiones del mismo en pirámides cuadradas:
Escena 3. Partición del cubo en pirámides triangulares por división de pirámides cuadradas. Caso general.
Todas las situaciones anteriores son, o pueden considerarse, interesantes y conducentes a puzles de cierta dificultad tanto en los casos en los que se busca la máxima congruencia o regularidad, como en la posición contraria. Pero ninguna de ellas conduce a la partición con cardinal mínimo, pues el planteamiento realizado viene condicionado por la partición previa en pirámides de base cuadrada. La partición mínima, como veremos en la próxima sección, se corresponde con cinco pirámides y salvo isometrías hay una única posibilidad para su construcción. Por ello, nuestro centro de interés se focalizará en la antes citada descomposición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes, que sin ser el caso único de cardinal mínimo sí que genera una variedad de situaciones que nos proponemos cuantificar y detallar.
2. Partición mediante construcción específica
En esta sección partiendo de un cubo de vértices {A, B, C, D, E, F, G, H}, nos planteamos realizar una partición del mismo en pirámides triangulares buscando, por un lado, que la descomposición tenga cardinal mínimo y, por otro, buscando alternativas en las que sin ser de cardinal minimo se encuentren congruencias o equivalencias.
Dado que las pirámides triangulares son poliedros convexos con cuatro caras triangulares (es decir tetraedros) y cuatro vértices, en la planificación de esta partición han de tenerse en consideración las siguientes observaciones:
Escena 4. Una posible elección de los elementos primarios para realizar la partición
Escena 5. Pirámide triangular determinada por dos segmentos con distinta dirección no coplanarios
Escena 6. División del cubo en cinco prismas triangulares
Escena 7. Diagonales coplanarias
Escena 8. División del cubo en dos prismas triangulares
Así pues, nuestro análisis nos conduce a plantearnos la partición del cubo a través de la descomposición de un prisma triangular en pirámides triangulares. Éste puede ser un buen tema para detallar en un próximo artículo, y ello es mi propósito, confiando en que habrá colegas interesados en seguir comprobando como algo que parece tan simple, la descomposición de un cubo, no lo es tanto y aporta mucho juego, interés, conocimiento y belleza matemática. Por aquí ¡os espero pronto!
Título: Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
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El subproyecto Misceláneas está de enhorabuena, que se recuerde, pocas veces, en tan poco tiempo, un grupo tan reducido de personas ha aportado tanta cantidad de objetos de tan elevada calidad y tan alto potencial educativo a cualquiera de los subproyectos de la Red Descartes. Y no es la intención desmerecer al resto, muy al contrario; si no la de dar merecida notificación de un hito tan memorable. La excepcionalidad se justifica a si misma nada más visualizar cualesquiera de las últimas escenas incorporadas al subproyecto, lo que ya ha sido posible gracias a las reseñas que tanto José R. Galo Sánchez como Ángel Cabezudo Bueno han expuesto recientemente en el apartado Últimos materiales del blog y al artículo que el primero de ellos acaba de publicar, también en este blog, donde justifica el proceso de creación, creando a su vez nuevas escenas relacionadas con el tema de proporcionar una ayuda inestimable a la capacidad de visualización de las transformaciones dinámicas en el espacio tridimensional. Por otro lado la buena salud del subproyecto también se debe a la infatigable tarea de adaptación de materiales obsoletos, al nuevo editor DescartesJS, de las profesoras Elena E. Álvarez Sáiz y María José García Cebrian, los profesores ya mencionados y otros/as que aunque no se indican están en la mente de todos los usuarios del portal. Relativo a las aportaciones más recientes caben destacar:
De las que destacamos:
Matemáticas, joyería y mezclas.
En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra una presentación de los cuerpos platónicos diferente a lo habitual.
Ildefonso Fernández Trujillo. 2018
Título: Partición de un cubo en pirámides de base cuadrada. Caso general.
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Título: Partición de un cubo en cuatro pirámides cuadradas iguales dos a dos
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El estudio y búsqueda de regularidades o propiedades en cualquier objeto puede abordarse desde diferentes perspectivas. Una de ellas es proceder a la disección o descomposición buscando desentrañar el interior o lo particular para comprender el exterior o la globalidad. La máxima aristotélica de que el todo es más que la suma de sus partes no queda contradicha por acudir al hecho de realizar una partición —matemáticamente descomponer un conjunto como unión de subconjuntos cuyas intersecciones tienen medida nula—, sino que metodológica o procedimentalmente es un medio humanamente asequible con el que dar un primer paso a través del cual buscar y tratar de abarcar, en un posterior análisis global, ese todo a partir de sus partes. En esta línea, en este artículo, mostraremos con recursos interactivos algunas particiones usuales de un cubo en pirámides con base cuadrada y comprobaremos como todos esos casos son situaciones particulares de una partición general basada en nueve puntos (los vértices del cubo y un adicional).
El motivo para elegir una determinada partición de la infinidad de particiones posibles y hacerla distinguible del resto puede sustentarse en diversos criterios u objetivos, pero usualmente suelen marcarse pautas como que la partición tenga el menor número de elementos o que sea lo más regular posible, es decir, que las partes sean iguales o congruentes —que coincidan mediante una composición de isometrías (traslaciones, giros o simetrías)— o equivalentes —con igual medida— o cualquier otro parámetro que sea atractivo para quien busque adentrarse en este contexto. Pero la elección también podría estar marcada por criterios opuestos o diferentes a los anteriores. Si pensamos en que la reconstrucción del cubo a partir de las piezas de una partición es un entretenimiento usual, catalogado como rompecabezas o puzle, el diseñador del mismo puede perseguir que todas las piezas sean iguales o plantarse en la situación opuesta de que todas sean diferentes. La dificultad o sencillez, la mayor o menor belleza del modelo obtenido tiene más componente subjetivo que objetivo; pero la belleza matemática siempre estará implícita en todos y cada unos de los planteamientos realizados, al ser medios y soportes conducentes a la extracción y obtención del conocimiento.
En este artículo analizaremos la partición de un cubo en pirámides de base cuadrada y en un artículo posterior nos adentraremos en la partición en pirámides de base triangular (tetraedros aunque no necesariamente regulares).
Particiones de un cubo en pirámides de base cuadrada
Posicionándonos y atendiendo al criterio de que la partición tenga cardinal mínimo o que sea lo menor posible y adicionalmente que sus componentes sean regulares o que sean lo más similares entre sí, podemos encontrar cuatro situaciones, que son las que usualmente se muestran y divulgan, y que reflejaremos en sendos recursos interactivos. En ellos se conjugará la virtualidad digital con la posibilidad de contruir el modelo respectivo de forma tangible, a lo que animamos e invitamos a todos.
1. Tres pirámides cuadradas iguales.
Este caso se corresponde con la partición con cardinal mínimo. Las tres pirámides comparten la misma cúspide y son iguales. Esta partición suele tomarse como base para mostrar que el volumen de una piramide es la tercera parte del área de su base por su altura, pero no nos adentraremos en ese objetivo.
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2. Cuatro pirámides cuadradas iguales dos a dos.
Esta partición se caracteriza porque las cuatro pirámides también comparten la misma cúspide y son iguales dos a dos.
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3. Cinco pirámides cuadradas, cuatro iguales y una desigual que es regular.
Aquí las cinco pirámides vuelven a tener la misma cúspide.
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4. Seis pirámides cuadradas regulares e iguales.
Todas las pirámides comparten la misma cúspide y todas son regulares e iguales (congruentes).
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Todos los casos anteriores son los ejemplos que usualmente se suelen mostrar en múltiples contextos por su simplicidad y belleza. Pero, como hemos indicado, la belleza también puede alcanzarse a través de un análisis global en el que los casos anteriores no sean más que un caso particular de una situación general, y donde la diversidad y la diferencia sean la pauta a lograr. En ese empeño, a continuación, mostraremos de manera razonada y constructiva cómo abordar una partición del cubo en pirámides de base cuadrada, y adicionalmente se podrá observar digital y analógicamente apoyándonos en un nuevo recurso interactivo.
Generalización de la partición del cubo en pirámides cuadradas
Para construir una partición del cubo en pirámides cuadradas es necesario, obligatorio, utilizar los ocho vértices del cubo y las doce aristas del mismo, y adicionalmente hay que seleccionar o marcar cuál o cuáles serán las cúspides de las pirámides a construir. La introducción de puntos adicionales a los vértices hará que aumente el número de combinaciones de cinco puntos que pueden realizarse y consecuentemente podrá incrementarse el número de pirámides de la partición (no todas las combinaciones posibles de vértices son viables para obtener una partición del cubo). Así pues, analicemos diferentes alternativas:
En el siguiente objeto interactivo puede experimentarse y verse todo lo indicado.
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En un próximo artículo nos adentraremos en la partición de un cubo en pirámides triangulares.