Lugares geométricos: Las Cónicas.

Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de las curvas Cónicas no degenaradas, esto es: de la circunferencia, la Elipse, la Parábola y la Hipérbola consideradas como lugares geométricos. Curvas estas resultantes del trabajo de observación y posterior interpretación geométrica de la relación entre el ser humano y la naturaleza, por parte de los sabios griegos clásicos. En esta ocasión estudiaron la incidencia, en el cono de la visión ocular, de las ondas visibles, con objeto de establecer los principios teóricos del conocimiento de las formas y los colores.

Es de interés recordar que estas curvas están entre las primeras que fueron estudiadas y descritas.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos los que se enlazan a continuación.

Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado o adaptado, con DescartesJS, las misceláneas que se exponen a continuación. Queremos notar la intención didáctica de dichos trabajos en los que se condensan una buena cantidad de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum.

• Los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema o desee trabajar la precisión en clase, el ajuste fino de algunas variables controladas con pulsadores.
• Las siguientes posibles mejoras de la utilidad:
  • convertir los pulsadores en animaciones.
  • mostrar la ecuación de la elipse en algunas de sus formas
  • ampliar la generación del l.g. al caso en el que el eje mayor de la elipse sea el vertical
  • .................

Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Elipse, primero como el l.g. creado por los dos puntos intersección de las circunferencias con centro en los focos y radios variables y en segundo lugar el l.g. generado por un punto de un segmento cuando dicho segmento se desliza por dos rectas perpendiculares.

La Elipse. Método I.

hoja de trabajo de la Elipse (I)

La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método.

La elipse. Método II.

la elipse (método II)

Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la ecuación del lugar geométrico que define a una curva cónica.

Las Cónicas como lugares geométricos

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografía:

• "Secciones cónicas" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• " Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• " Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
• Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
• Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
• Caracol de Pascal
• Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
• Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
• La abundante información encontrada en la Wikipedia

Ildefonso Fernández Trujillo. 2017