Un grillo está sobre una superficie, que gira a una velocidad angular constante, y se está desplazando dando saltos siguiendo una línea recta que pasa por el centro de giro. Ha dado un salto inicial y posteriormente cada salto es c veces mayor que el anterior. ¿En qué posición está en cada instante? ¿Cuál es la trayectoria que sigue?

Este planteamiento dinámico conduce a una curva, ampliamente estudiada, la cual es el objeto de este artículo de difusión. En la miscelánea que hemos publicado en nuestro servidor de contenidos puedes ver el camino que sigue nuestro grillo saltarín, pudiendo seleccionar el salto y la velocidad de giro que desees y observando en qué influye tu elección.

Es bien conocido que la circunferencia es una curva equiangular, es decir, que en cualquier punto de la misma, el ángulo que forma el radio con la tangente es siempre constante e igual a un ángulo recto.

Inicialmente René Descartes (1596-1650) fue quien se planteó la determinación de una curva que también fuera equiangular, pero que el ángulo fuera el que previamente se deseara, es decir, una generalización de lo que acontece en la circunferencia. Jakob Bernoulli (1654-1705) también la analizó y la denominó “Spira mirabilis” o espiral maravillosa, y de acuerdo con sus propiedades, en su epitafio hizo poner “Eadem mutata resurgo”, es decir, “Mutante y permanente vuelvo a resurgir siendo el mismo”. En este recurso podrás comprobar el significado de esta expresión y experimentar que:

¡Ciertamente es maravillosa!

Para ello, planteamos un camino en varias fases, un total de doce, y en cada una de ellas se avanza en el análisis de esta espiral, en sus propiedades. Pulsa sobre la imagen siguiente para acceder al recurso.

En las tres primeras fases se aborda su construcción dinámica —dependiente del tiempo— y se inicia su análisis con la obtención de la relación —digamos estática o atemporal— entre la distancia y el ángulo polar. Ésta, es la ecuación algebraica en coordenadas polares de la espiral y nos permite identificar el significado físico de los parámetros específicos de la misma.

La expresión justifica su denominación como espiral logarítmica, pues se observa que el ángulo polar se puede expresar en función del logaritmo del radio polar. Y en la fase cuarta del recurso se observa y justifica que a es un factor de escala, que para b=1 obtenemos como caso particular la circunferencia y que las espirales de base b y 1/b son simétricas respecto del eje polar.

Una quinta fase permite ver y justificar por qué también se le denomina espiral geométrica ya que los puntos de ella situados sobre una misma semirrecta siguen la relación de una proporción geométrica (aquí se aplica una analogía con la que acontece en la espiral de Arquimedes o espiral aritmética). Y en la sexta se visualiza y demuestra el carácter equiangular que motivó a Descartes.

El hecho de ser equiangular es lo que le confiere a esta espiral su carácter tan especial. Y en base a ello, las últimas fases del recurso se centran en mostrar y demostrar el carácter maravilloso que marcó Bernoulli y que sintetizó en la citada expresión: “Eadem mutata resurgo”. Para una circunferencia es fácil de intuir y ver que su forma es tal que siempre surge o resurge siendo la misma, crece y crece siempre siendo la misma. Y lo maravilloso es que este surgir y resurgir siendo la misma se verifica también en esta “circunferencia generalizada” o espiral logarítmica, es decir, la razón de su crecimiento instantáneo es la unidad. Sintetizando el planteamiento que se realiza en el recurso, pues el detalle lo puedes comprobar interactuando con él, tenemos que:

• Inicialmente el análisis del crecimiento se aproxima mediante rectángulos semejantes circunscritos a la espiral, que siguen un patrón de crecimiento gnomónico en el sentido euclídeo (según lo definido en “Los elementos de Euclides”), que puede interpretarse como el patrón de crecimiento en pasos discretos de π radianes.
• Posteriormente se aborda el crecimiento, pero en el sentido establecido por Aristóteles cuando decía: «Hay ciertas cosas que no sufren alteración salvo en magnitud, cuando crecen...».

Y aquí, esto se aborda planteando el crecimiento con polígonos semejantes construidos sobre radios vectores, correspondientes a puntos de la espiral, que difieren:

• • En π/2 radianes, lo que conduce a una razón de semejanza b^(π/2): 

• • O, en general, con paso 2π/n y razón de semejanza b^(2π/n):

 Como ejemplo, sobre la concha del Nautilus pompilius, se muestra un crecimiento gnomónico discreto de paso 2π/16 en una espiral logarítmica cordobesa (b=1.186):

• Finalmente cuando el crecimiento es instantáneo, es decir, si n->infinito y el paso entre radios vectores es por tanto 2π/n->0, la razón de semejanza b^(2π/n) tiende a la unidad: “Eadem mutata resurgo”.

¡Te deseamos un buen aprendizaje siguiendo a nuestro grillo!