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Las cónicas como lugares geométricos: La Parábola.
Dentro del estudio de los lugares geométricos tienen un especial interés los relativos a las cónicas por motivos muy diversos, fundamentalmente geométricos, físicos y filosóficos. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación a su conocimiento genérico analizando algunos aspectos de la Parábola considerada como lugar geométrico. Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico y funcional que la Geometría clásica ha tenido en las poblaciones cultas: el cucurucho con sus múltiples aplicaciones, los niños y niñas jugando con el aro, la peonza, el yoyo...
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
- La Parábola como lugar geométrico.
El Origami y las Matemáticas - Generación de la Parábola como lugar geométrico.
Trabajo muy detallado de la creación del l.g. Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin)
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum para ESO y Bachillerato.
Ambos trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
- Estudio de la PARÁBOLA I. La parábola como l.g. generado por el método, basado en la definición, del triángulo isósceles.
A partir de una recta d (directriz) y de un punto F (foco) consideramos que un punto del plano, P, pertenece a la parábola (F,d) si la distancia de P a M (ver imagen) es igual a la distancia de P a F. Esto es, el triángulo PMF es isósceles y por lo tanto la altura de dicho triángulo trazada desde P corta al lado FM en su punto medio. O bien que la intersección de la perpendicular a la directriz por un punto M de la misma con la perpendicular por el punto medio de FM es un punto de la parábola. Haciendo que M recorra la directriz obtendremos la parábola (F,d).
parábola l.g. I - Estudio de la PARÁBOLA II. En esta ocasión se considera la parábola como el l.g. generado por los puntos, Q y R, intersección de la circunferencia c(F,r) con la paralela a la directriz por el vértice cuando el vértice, como punto virtual v', se desplaza por el eje focal desde su posición original hasta el infinito alejandose de la directriz (ver la animación completa), el radio de la circunferencia, r es igual a la distancia del vértice virtual v' a la directriz.
Es trivial comprobar que los puntos Q y R siempre son puntos de la parábola.
Se ha construido el l.g. por este segundo método sobre la construcción anterior por motivos didácticos.
parábola l.g. II
En la primera escena el botón anima y en la segunda el pulsador k y el botón anima, generan el l.g. (parábola).
Continuamos animando a conocer el editor DescartesJS. Volvemos a exponer la adaptación a DescartesJS de la Unidad realizada por el profesor Antonio Caro Merchante debido a su relación con los conceptos en estudio.
cónicas
Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Parábola, primero por el método del triángulo isósceles y a continuación por el método clásico de la intersección de recta y circunferencia.
La Parábola. Método I.
hoja de trabajo de la parábola (I)
La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método, intersección de paralela a la directriz con la circunferencia de centro el foco y radio variable..
La Parábola. Método II.
la parábola (método II)
Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la ecuación del lugar geométrico que define a una curva cónica.
Las Cónicas como lugares geométricos
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
- CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas: amplio estudio de las secciones cónicas.
- "Secciones cónicas " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación reducida de una elipse" de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- "Ecuación matricial de una cónica " de la profesora: Elena E. Álvarez Sáiz.
- Las cónicas como lugares geométricos. Extraordinaria, completa y muy instructiva página elaborada por los profesores de la Universidad de Valladolid e Instituto de Investigación en Matemáticas: M. Teresa Pérez García y Oscar Arratia García
- Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
- Caracol de Pascal
- Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
- Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
- La abundante información encontrada en la Wikipedia
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
