Una hormiga está sobre una superficie que gira a una velocidad angular constante y se está desplazando, también a una velocidad constante, siguiendo una línea recta que pasa por el centro de giro. ¿En qué posición está en cada instante? ¿Cuál es la trayectoria que sigue?
Este planteamiento dinámico conduce a una antiquísima curva estudiada por Arquímedes y que describió, en torno al 225 a. C., en su libro "Sobre las espirales". Por ello lleva su nombre: "La espiral de Arquímedes.
( gif animado descargado desde http://gifsanimados.de/hormigas )
Y en la miscelánea que hemos publicado en nuestro servidor de contenidos puedes ver el camino que sigue nuestra laboriosa hormiga seleccionando las velocidades que desees y observando en qué influyen éstas.
A partir de la construcción dinámica --dependiente del tiempo--, se procede al análisis de esta curva que se inicia con la obtención de la relación --digamos estática o atemporal-- entre la distancia y el ángulo polar. Ésta es la ecuación algebraica en coordenadas polares de la espiral de Arquímedes y nos permite identificar el significado físico de los dos parámetros específicos de la misma. El primero es la posición o distancia inicial al centro de giro o polo y el segundo es la relación entre la velocidad lineal y la angular:
Interactuando con la escena y manteniendo inicialmente el parámetro b fijo, podremos observar como la variación del parámetro a lo que se produce es un giro en la curva, y podremos ver dos ramas que tienen simetría especular.
En el caso particular que b sea cero la espiral degenera en una circunferencia e incluso en un punto si también se tiene que a es cero.
En una última instancia se puede verificar analítica y experimentalmente como todos los puntos de la espiral que están situados sobre la recta de ecuación q = constante son equidistantes entre sí y, por tanto, sus distancias al polo constituyen una progresión aritmética de diferencia 2pb. Por esta razón, a la espiral de Arquímedes, también se le denomina espiral aritmética.
Pulsando sobre la imagen siguiente puedes acceder al contenido de esta miscelánea:
¡Te deseamos un buen aprendizaje siguiendo a nuestra hormiga!
Título: Cálculo integral. Integrando con Paco
Sección: iCartesiLibri
Bloque: Análisis
Unidad: Integración de funciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (16 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Varios autores
Editor: Juan Guillermo Rivera Berrío
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Título: Cálculo diferencial
Sección: iCartesiLibri
Bloque: Análisis
Unidad: Derivación de funciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (15 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Varios autores
Editor: Juan Guillermo Rivera Berrío
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Título: Sistemas autónomos y no autónomos
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Sistemas diferenciales
Nivel/Edad: Universidad (18 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Valeria Bertossi
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Título: Desarrollo en serie de Fourier
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Operaciones con funciones
Nivel/Edad: Universidad (18 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Elena E. Álvarez Sáiz
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Acceso a la miscelánea: Desarrollo en Serie de Fourier
Con esta escena se puede calcular el desarrollo en Serie de Fourier de una función periódica y representar la suma de sus primeros términos. Su objetivo es mostrar que una función periódica puede descomponerse como suma de funciones trigonométricas, senos y cosenos, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
A modo de ejemplo se incluye el desarrollo de varias funciones y se representa, en una misma gráfica, la función y la suma de los primeros términos de su desarrollo. Esta representación permite visualizar la aproximación que proporcionan las Series de Fourier.
La miscelánea facilita también introducir una función cualquiera y obtener su desarrollo utilizando cálculo simbólico para mostrar la expresión de los coeficientes de la serie. Cuando la función no es periódica y está definida en un intervalo de la forma [0, p], se puede obtener el desarrollo en Serie de Fourier de su extensión par o impar.
En el siguiente video se muestra cómo utilizar esta miscelánea.
Acceso a la miscelánea: Desarrollo en Serie de Fourier
Título: Derivada de funciones explícitas, paramétricas e implícitas
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Derivación de funciones
Nivel/Edad: Universidad (18 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Elena E. Álvarez Sáiz
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Acceso a la miscelánea: Proyección sobre planos coordenados
En esta miscelánea se muestra cómo proyectar puntos y superficies sobre planos coordenados.
Por defecto, en la escena aparece la proyección de un punto sobre el plano z=0. Sin embargo, también es posible proyectar triángulos y ciertas superficies sobre los tres planos coordenados XY, YZ y XZ.
La proyección de un punto P sobre cualquier plano es aquel punto del plano que se encuentra a distancia mínima de P.
Para proyectar un triángulo T bastará considerar el formado por la proyección de los vértices de T y en el caso de una superfice, su proyección se obtendrá proyectando todos sus puntos. Elegida la opción superficies, la escena permite practicar con porciones de paraboloides o cilindros intersecados por un plano vertical que se encuentran en el primer octante.
En la propia escena se ha incluido un botón con instrucciones que aclaran cómo utilizar esta miscelánea.
Acceso a la miscelánea: Proyección sobre planos coordenados
Título: Gestalt
Sección: Unidades didácticas
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría y la Gestalt
Nivel/Edad: ESO-Bach.-Universidad (15 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Juan Guillermo Rivera Berrío
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Título: Proyección sobre planos coordenados
Sección: Miscelánea
Bloque: Análisis
Unidad: Operaciones con funciones
Nivel/Edad: Universidad (18 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Elena álvarez Sáinz
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