Misceláneas: Probabilidad. Inferencia.

Geometría y Probabilidad.

En los diferentes subproyectos que conforman la organización no gubernamental RED Descartes hay profusión de contenidos relativos a la Estadística y la Probabilidad que prácticamente cubren las exigencias curriculares de Primaria, ESO y Bachillerato. La particularidad de estos contenidos es que son: dinámicos, interactivos, formativos y en algunos casos, además, evaluativos. Ya en la anterior entrada en este blog señalamos algunos de esos recursos y siguiendo en esa línea y teniendo en cuenta que nuestro objetivo es el análisis de los errores de tipo I y II en los contrastes (tests) de hipótesis hemos seleccionado los siguientes contenidos:

• La Unidad Didáctica "El azar y la probabilidad." de la profesora Ángela Nuñez Castaín (2001) posteriormente adaptada a DescartesJS por ella misma y José R. Galo Sánchez (2017). La unidad es un primer acercamiento a los conceptos del azar y la probabilidad mediante ejemplos interactivos elementales ideales para conocer/recordar los fundamentos teóricos del estudio del azar.

  
  Carrera de coches controlada por dados.

 
• Si ya se conocen los fundamentos básicos de la Estadística y la Probabilidad el libro digital "Estadística, Combinatoria y Probabilidad" de Juan Jesús Cañas Escamilla y José R. Galo Sánchez, es la siguiente fuente de donde extraer la consolidación teórica rigurosa de los principios elementales y la justificación de los procesos operativos relacionados con los cálculos probabilísticos además de las técnicas organizativas de la información numérica en tablas y gráficos. Todo ello de forma gradual y apoyado en multitud de escenas interactivas de alto nivel educativo.

  
  Libro digital interactivo.

• En tercer lugar enlazamos el extraordinario libro digital interactivo "Estadística, Probabilidad e Inferencia", también de los autores Juan Jesús Cañas Escamilla y José R. Galo Sánchez, que hace un completo recorrido por los conceptos relativos a: la Estadística Unidimensional, Bidimensional, la Combinatoria, la Probabilidad, las variables estadísticas discretas y continuas y sus respectivas distribuciones de probabilidad y termina con un espléndido y documentadísimo análisis de la teoría del muestreo probabilístico y la inferencia estadística, todo ello acompañado de una batería de ejemplos, escenas interactivas, vídeos relativos a los contenidos y enlaces que hacen que el nivel de profundización en el estudio de la materia quede en manos de la persona interesada. Un ejemplo de escena interactiva, de las muchas que contiene el libro, es el que mostramos a continuación que apoya los conceptos teóricos de la introducción al estudio de los Intervalos de Confianza.
  
  

También enlazamos la excelente unidad didáctica, dinámica e interactiva, creada con DescartesJS por la profesora Mª José García Cebrian (2001) y revisada y adaptada por ella misma (2017)   INFERENCIA ESTADÍSTICA

Unidades Didácticas.

El problema de la aguja de Buffon - Laplace

Desde la generalización del uso del astrágalo (taba) para dilucidar todo tipo de cuestiones relacionadas con la incertidumbre o sencillamente como elemento lúdico para ejercitar la habilidad mezclada con la suerte, la Geometría y el Azar comenzaron a ir de la mano. De hecho el gráfico de los cuerpos platónicos que mostramos en la cabecera de esta entrada es probablemente una de las mejores definiciones de equiprobabilidad que podamos ver. El hecho tangible de manipular cualquiera de estos cuerpos transmite una sensación de equilibrio, perfección y equidad, amén de otras, difícilmente igualable.

Los motivos por los que, primero el conde de Buffon y más tarde Pierre-Simón Laplace, conde del Imperio, atendieron este problema no están claros. El efecto inmediato si, a partir de entonces la utilidad del uso de la Geometría en cuestiones de probabilidad estaba comprobada así como el uso de métodos estadísticos y probabilísticos para aproximar valores de constantes geométricas.

Con el objetivo de rememorar el establecimiento formal de la relación entre la Estadística-Probabilidad con la Geometría y también por la idoneidad del experimento con la introducción al estudio de la Inferencia Estadística que estamos desarrollando se ha elaborado la miscelánea "Experimento: La Aguja de Buffon". En esta miscelánea se recrea dicho experimento con las siguientes particularidades:

• La escena simula el lanzamiento de 2 a 30000 agujas (o el lanzamiento de una aguja de 2 a 30000 veces).
• Cada lanzamiento de k agujas puede repetirse n veces así puede analizarse, en cada muestra, el comportamiento de los estadísticos estudiados, la influencia del tamaño de las muestras en el comportamiento de los estadísticos, el cumplimiento de  la ley de los grandes números y otros.
• Si el número de lanzamientos es menor o igual a 500 se representa cada una de las agujas lanzadas; si el número de agujas es mayor se muestra únicamente el punto medio de cada aguja.
• Con cada lanzamiento la escena expone un breve resumen de los resultados, así como el valor aproximado de π y la probabilidad de tocar línea en la muestra.
• El botón Indicaciones explica los objetivos y funcionalidad de la miscelánea.
• La escena posibilita que en pocos minutos puedan realizarse experimentos como el que muestra el siguiente documento.

  
  

Experimento de Buffon. Lanzamiento de agujas.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra una clase sobre la estimación de la media poblacional mediante intervalos de confianza. Este vídeo es uno de los enlazados en el libro digital interactivo "Estadística, Probabilidad e Inferencia".

Acerca de los cuerpos platónicos.

• MATEMÁTICA Y FÍSICA EN EL TIMEO DE PLATÓN. POLIEDROS REGULARES Y ELEMENTOS NATURALES
• Los poliedros regulares y la esfera de: Javier Abia Llera (Adaptación a DescartesJS: José R. Galo Sánchez)
  • *"El dodecaedro es la forma que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos." Platón

  
  Unidades Didácticas. Materiales

Ildefonso Fernández Trujillo. 2018

Misceláneas. Probabilidad a posteriori. Teorema de Bayes.

Ley de los grandes números

En la Wikipedia, al buscar información sobre el tema, encontramos lo siguiente:

"En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de ley de los grandes números se engloban varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.

Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie aumenta con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

El matemático italiano Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó sin pruebas que la precisión de las estadísticas empíricas tienden a mejorar con el número de intentos. Después esto fue formalizado como una ley de los grandes números. Una forma especial de la ley (para una variable aleatoria binaria) fue demostrada por primera vez por Jacob Bernoulli.​ Le llevó más de 20 años desarrollar una prueba matemática..."

La siguiente imagen enlaza con una pequeña utilidad dados.xls creada con Microsoft Excell 2010 que simula el lanzamiento de un dado y comprueba lo predicho. La hoja de cálculo, que es editable, simula el lanzamiento de un dado desde 90.000 a 63.000.000 de veces. Cada 'lanzamiento' consiste en generar, de forma 'aleatoria' (semialeatoria), un número entero del 1 al 6, y tener en cuenta el resultado incrementando en una unidad la cantidad apropiada. Se observa como al realizar pruebas sucesivas aumentando en cada una el número de lanzamientos el valor de la frecuencia relativa de un suceso concreto va acercándose muy lentamente al valor teórico previsto para su probabilidad de ocurrencia.

Aquí tocamos un tema interesante, la generación de números aleatorios (semialeatorios). Cada lenguaje de programación, cada intérprete y cada autor tiene su propia manera de generar números aleatorios. El hipervínculo anterior es un ejemplo de lo dicho y al final del artículo se enlazan algunas de las páginas que tratan este asunto.

El Teorema de Bayes

Dentro de la particularidad que nos ocupa: el estudio de la probabilidad a posteriori, o también probabilidad de las causas, que evidentemente es consecuencia de lo comentado en los párrafos anteriores, destaca la labor de Thomas Bayes que con su teorema sobre la probabilidad de las causas condicionadas a los efectos observados, abrió un amplio abanico de posibilidades al estudio científico de múltiples situaciones. El avance de las ciencias sociales, políticas y económicas, por citar algunas, se debe al uso acertado y sistemático de esta filosofía, además de a otras herramientas afines.

donde:

• {A₁, A₂, A₃,....., A_n} es un sistema completo de sucesos y se conocen las probabilidades P(A_i) (probabilidades a priori).
• B es un suceso cualquiera y P(B/A_i) es conocida, por lo tanto también se conoce P(B).
• P(A_i/B) es la probabilidad a posteriori a calcular.

A continuación enlazamos con una utilidad, creada con el editor DescartesJS, en la que, en primer lugar, se plantea una situación resoluble mediante el teorema de Bayes. Siguiendo las indicaciones que proporciona la propia escena, esta muestra el planteamiento y solución del ejercicio y más adelante la utilidad plantea, en una nueva escena, otra situación similar para que la persona interesada la resuelva ofreciéndose la posibilidad de contrastar la solución.

Entre los materiales disponibles para su uso y descarga en la web de la Red Descartes, relacionados con la Estadística y la Probabilidad, se encuentra una completa colección de utilidades que cubren todo el recorrido curricular, desde Primaria a Bachillerato. La autoría de estos materiales corresponde a miembros de la Red Descartes y, entre otros, destacamos la labor de:

• Juan Guillermo Rivera Berrío. Juego del Gato y el Ratón.

  

• Diego Luis Feria Gómez. Probabilidad.

  

• José Ireno Fernández Rubio / María José García Cebrian / Consolación Ruiz Gil. Estadística.

  

En próximas entradas continuaremos exponiendo enlaces a algunos de los contenidos interactivos de Estadística y Probabilidad significativos por su capacidad didáctica.

En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido uno que muestra la aplicación del teorema de Bayes a la resolución de un problema.

A continuación exponemos algunos enlaces a la información sobre la generación de números aleatorios.

• Wikipedia
• Números aleatorios II
• Números aleatorios III por Manuel A. Pulido Cayuela
• Números aleatorios IV
• Números aleatorios V

Ildefonso Fernández Trujillo. 2018