En el artículo anterior "El paralelogramo de Newton" se mostró la ampliación que realizó Newton del triángulo de Pascal y cómo, ésta, le condujo a extender la expresión de las potencias binomiales al caso de exponentes enteros negativos. En este artículo mostramos cómo el esquema organizativo con el que Pascal divulgó su triángulo es más adecuado que el que usó Newton (versión escalonada de Stifel), pues conocido el primero, el segundo se obtiene por una simple reflexión y, por tanto, las congruencias existentes entre los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton queda reducida a realizar una simetría de las congruencias del triángulo de Pascal.

Pascal, en su libro Traité du triangle arithmétique (1665) analizó las propiedades del triángulo aritmético que quedó finalmente ligado a su nombre. La forma en que lo organizó y presentó es la reflejada en la siguiente imagen que he tomado de dicho libro, que es de dominio público: 

El triángulo aritmético de Pascal reflejado en su libro Traité du triangle arithmétique

Esa presentación difiere de la forma usual que actualmente suele utilizarse que lo muestra como un triángulo isósceles:

El triángulo de Pascal en su presentación como triángulo isósceles

Y también difiere de la usada por Newton como base para su extensión ya que usó un triángulo rectángulo completado con ceros para obtener un rectángulo:

Presentación del triángulo de Pascal para abordar la extensión de Newton

Esta versión escalonada aparece en el libro Arithmetica Integra (1544) de Michael Stifel (1487-1567), en el reverso de la página 44:

Presentación realizada por Stilfel y usada por Newton para su extensión

Esa extensión, que detallamos en el artículo previo citado, podemos resumirla en la siguiente imagen. En ella, reseñemos que cada fila del rectángulo se corresponde con los coeficientes binomiales del desarrollo de la potencia de un binomio. La fila numerada con el entero n se corresponde con los coeficientes del desarrollo de (a+x)ⁿ, por ejemplo, para n = -1 son los coeficientes de (a+x)^-1 y para n = 2 los de  (a+x)².

El paralelogramo de Newton y el desarrollo binomial

Al expresar los coeficientes binomiales de índice superior negativo en base a otros de índice superior positivo:, podemos observar la relación existente entre los coeficientes en el rectángulo de Newton correspondientes a la extensión realizada por él y los ubicados en la zona de partida de Pascal. Seleccionada una columna, salvo un posible cambio de signo, los coeficientes de la extensión de Newton (filas etiquetadas con números negativos) se corresponden con los del triángulo de Pascal, pero con una traslación en la numeración de las filas. Por ejemplo, para la columna 3 los coeficientes de la zona correspondiente a la extensión de Newton son {-1, -4, -10, -20, -35, -56, -84, ...} que se corresponden con las filas numeradas respectivamente como {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, ...}, y los coeficientes en la zona del triángulo de Pascal son  {1, 4, 10, 20, 35, 56, 84 ,...} pero trasladadas en este caso dos posiciones, pues aquí sendas filas se correponden con {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}. Así pues, si quitásemos todos los ceros y ocupáramos esos huecos trasladando los números de cada columna hacia arriba, obtendríamos una tabla simétrica respecto a la línea de separación existente entre la fila 0 y la -1 (salvo el signo de los coeficiente que para columnas impares será negativo y para las pares positivo), de esta manera conocidos los coeficientes del triángulo de Pascal tenemos también los correspondientes al rectángulo de Newton y consecuentemente bastaría sólo obtener el primero.   

Relación entre los coeficientes binomiales de índice superior negativo con los de índice superior positivo

También podemos establecer otra relación: los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la columna 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la columna 1 y, en general, la fila -n con la columna n-1. Destacamos estas filas pues cada una de ellas nos aporta los coeficientes del desarrollo binomial con exponente negativo.  

Y por la simetría del triángulo de Pascal también tendremos que los coeficientes de la fila -1 se corresponden (en valor absoluto) con los de la diagonal 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la diagonal 1 y, en general, la fila -n con la diagonal n-1.

Y omitiendo los ceros y trasladando las columnas hacia arriba para ocupar los huecos, obtenemos la siguiente distribución simétrica (en valor absoluto, insisto). Y en esa imagen hemos omitido la numeración de las filas en la parte inferior ya que esos coeficientes ya no se corresponden con los números combinatorios del triángulo de Pascal por filas, sino que esos coeficientes están ordenados según la estructura original adoptada por Pascal.  

La relación observada en las imagenes anteriores se justifica sin más que detallar la relación existente entre los coeficientes binomiales que ahí están involucrados, y eso es lo que reflejamos a continuación. En el recuadro izquierdo tenemos los coeficientes del rectángulo de Newton, destacando en color naranja la ampliación de los números combinatorios con índice superior positivo o nulo y con índice inferior de mayor valor que el superior, cuyo valor es cero. En el cuadro intermedio se han omitido esos números nulos y se han compactado las columnas para ocupar los huecos. Y en el marco derecho se han expresado los coeficientes binomiales de índice negativo según su equivalencia con los números combinatorios y ahí puede comprobarse la simetría de los coeficientes que ya hemos indicado.

Y con esto ¿a qué hemos llegado? Pues observemos la siguiente imagen que tiene un contenido denso, pero que sirve de resumen.

Coeficientes binomiales y binomio de Newton con exponente natural y entero

En la parte izquierda se reflejan los coeficientes binomiales obtenidos en el cuadro anterior, donde podemos destacar que:

1. Cada fila de la parte superior del rectángulo de Newton —por ejemplo la etiquetada en color azul como -n, ubicada encima de la línea naranja— se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a+x)^-n, tal y como indicamos en el artículo anterior.
2. Cada fila de la parte inferior, que es el triángulo de Pascal en su orientación original, se corresponde con los coeficientes del desarollo del binomio de (a-x)^-n, pues tenemos que:
3. Cada una de las "diagonales" inferiores y superiores, coloreadas en tonos azules, se corresponden respectivamente con los coeficientes binomiales de (a+x)ⁿ y (a-x)ⁿ. 

Así pues, como indicaba al inicio, basta tener el triángulo de Pascal para obtener todos los desarrollos binomiales con exponente natural y entero. En la posición original de Pascal, las filas son los coeficientes del desarrollo de (a-x)^-n y a partir de este desarrollo el de (a+x)^-n basta obtenerlo como (a-(-x))^-n, y las diagonales son los coeficientes del desarrollo de (a+x)ⁿ y el desarrollo de (a-x)ⁿ se obtiene como (a+(-x))ⁿ.

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal

Llegados a este punto, identificados el significado y posición de estos coeficientes binomiales, aquellos que no se acostumbren a esta posición pueden hacer un giro de vértice el del ángulo recto en el triángulo anterior y ángulo -45º y ubicarlo en la posición usual actual. Aquí lo tiene a continuación, ya hemos justificado que es autosuficiente, pero no sólo enseñe cuáles son los coeficientes de las potencias de exponente natural ¡hágalo también con los de exponente entero negativo!

Coeficientes binomiales del desarrollo del binomio de Newton con exponente natural y entero en el Triángulo de Pascal 

Obviamente la presentación y orientación es a gusto del lector, pero en la posición dada por Pascal acontece que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y  como lo observamos en la siguiente imagen.

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton. Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes... Pero la profundización en estas congruencias tendremos que dejarlas para un tercer artículo, al que os emplazo dentro de unos días.

En la miscelánea "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" puede observarse lo antes descrito.

Nota bene: Eli Maor en su libro "e: historia de un número" (1994) describe que Newton en 1665 estuvo recluido durante dos años con motivo de la "gran peste de Londres" y que, durante ese tiempo, formó sus ideas sobre el universo y puso los fundamentos de lo que sería un cambio en el curso de la ciencia. Maor, también nos detalla que fue en esta época cuando procedió a la extensión del triángulo de Pascal y a la expansión de la potencia de un binomio a potencias de exponente entero y racional. Trescientos cincuenta y cinco años después, actualmente, estamos en un periodo de reclusión mundial a causa de la pandemia del "Coronavirus COVID-19" y aquí, en este artículo, recordando su "rectángulo".

El "triángulo de Pascal o de Tartaglia" es ampliamente conocido tanto por las curiosas propiedades que en él pueden encontrarse como por su aplicación en el desarrollo algebraico de la potencia de un binomio. Suele aprenderse ligado a lo que usualmente se enseña con el nombre de "binomio de Newton" y que se identifica con la potencia de un binomio cuyo exponente es un número natural. Pero quien enunció o al menos divulgó este desarrollo particular, relacionándolo con ese triángulo, fue Pascal y de ahí que se denomine a dicho triángulo con su nombre. No obstante, el "triángulo de Pascal" ya era conocido, siglos antes, por matemáticos persas y chinos. Según Maor (1994) la aportación concreta de Newton en el contexto del desarrollo binomial se sitúa en el caso del desarrollo con  exponentes racionales y con exponentes enteros y únicamente llegó a conjeturarla sin llegar a abordar o al menos divulgar su demostración. Actualmente este resultado es un caso particular del denominado "Teorema binomial".

Newton abordó la extensión del triángulo de Pascal efectuando un cálculo hacia atrás, de manera que se mantuviera la misma propiedad recursiva de que un elemento de una fila sea el resultado de la suma de dos de la fila anterior siguiendo la propiedad que se verifica entre los números combinatorios.

Con esta extensión recursiva en sentido inverso, Newton construye nuevas filas, cada una de las cuales tiene infinitos números y cuya escritura conduce a la forma de un "paralelogramo" (o si se desea puede mostrarse, en particular,  como un rectángulo) y cada una de ellas puede asociarse a filas que se corresponderían con números "combinatorios" cuyo índice superior serían números enteros negativos.

A su vez, Newton hace corresponder los números ubicados en cada fila con los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio cuyo exponente ya no sólo sería un número natural, sino que en general puede ser un número entero. Y, consecuentemente, a todos los números del paralelogramo de Newton los denominaremos coeficientes binomiales (pierde sentido asociarlo con el número de combinaciones). El desarrollo del binomio conduce a un número finito de sumandos cuando el exponente es natural e infinitos (una serie) cuando es un entero negativo.

En la miscelánea "Extensión del triángulo de Pascal: El paralelogramo de Newton" se muestran los coeficientes binomiales de dicho paralelogramo. Pulsando el botón "indicaciones" de este recurso se pueden consultar algunos detalles adicionales. 

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

La representación de dicho paralelogramo numérico entraña dos dificultades principales a medida que se incrementa la cantidad de números a visualizar. Por un lado, el espacio que necesita ocupar la escritura de cada coeficiente binomial que progresiva y rápidamente va aumentando, al ser mayor el número de cifras que lo constituyen. Y, por otro, el tiempo de cálculo necesario para ubicar, desplazar y representar en la tabla dichos coeficientes y para poder escalarla (si se desea). Adicionalmente, el cálculo de los coeficientes conduce a números enteros que superan el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 2⁵³-1 (algo superior a 9 mil billones); así pues, en esos casos no se refleja el coeficiente y se colorea la casilla donde iría ubicada con un fondo rojizo.  

En dicha escena se pueden visualizar, mediante colores, pautas geométricas de cómo se distribuyen dichos coeficientes cuando se plantean congruencias numéricas respecto a un divisor y resto seleccionado. No obstante, estas distribuciones pueden observarse mejor si no se muestran los valores de los coeficientes y ello es lo que se aborda en la miscelánea: "Congruencias en el paralelogramo de Newton"

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En este caso (ver las indicaciones incluidas en la miscelánea) la dificultades siguen centrándose en el espacio necesario para representar el paralelogramo cuando el número de filas y columnas considerado es elevado, pero al no reflejarse el número en sí, cada uno de estos coeficientes ocupa el mismo espacio y puede escalarse hasta el extremo de que ocupe un único píxel. Por otro lado, el cálculo de las congruencias puede hacerse de manera recursiva sin necesidad de calcular el coeficiente y consecuentemente no se ve afectado por lo indicado sobre el máximo entero admisible en javascript. Obviamente, las necesidades computacionales son elevadas y, por defecto, en la escena se ha limitado el número de filas y columnas a 400, pero editando la escena puede cambiarse.

Para evitar que cada interesado tenga que dedicar tiempo en la generación de las imágenes de las congruencias, he preparado un muestrario de consulta para las congruencias con los números primos hasta el treinta y uno, representando los coeficientes binomiales de índice superior en el rango desde -999 a 999 y de índice inferior de 0 a 999. Éste está accesible en la miscelánea: "Muestrario de congruencias en el paralelogramo de Newton", pudiéndose ampliar las imágenes ahí incluidas.

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En un próximo artículo en este blog, mostraré que si retomamos el esquema organizativo original que Pascal (Traité du triangle arithmétique, 1665) utilizó al presentar y analizar las propiedades de este triángulo numérico, entonces los patrones de las congruencias que se observan en él son mas fáciles de identificar y pautar, y la extensión de estos a los coeficientes binomiales con índice superior un entero negativo se realiza de manera trivial.

Finalmente, quienes deseen aplicar los coeficientes binomiales y practicar con el desarrollo algebraico de potencias de un binomio pueden usar las siguientes misceláneas:

Ejercicios de desarrollo algebraico usando el "Binomio de Newton"

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Ejercicios del "binomio de Newton" con exponente entero

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Título: Ejercicios del "Binomio de Newton" con exponente entero
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Expresiones algebraicas
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
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Este material está publicado bajo una licencia:

Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional

Título: Muestrario de congruencias en el "paralelogramo de Newton"
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional

Título: Congruencias en el "paralelogramo de Newton"
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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