En el vídeo de esta semana presentamos una actividad de geometría que pertenece al subproyecto Misceláneas de la RED.
El proyecto Misceláneas agrupa una serie de escenas independientes que tratan aspectos muy variados de currículo de Matemáticas. Estas escenas se pueden utilizar para completar, ampliar o reforzar el trabajo del estudiante en su formación.
Los materiales están agrupados por temas o por niveles. En la clasificación por temas encontramos un apartado de juegos que incluye una serie de escenas realizadas a partir de juegos matemáticos.
En el siguiente vídeo vamos a ver las actividades propuestas en la unidad Tangram clásico, una serie de actividades de geometría que se proponen a partir del conocido juego del Tangram.
Después de una pequeña explicación del juego, se plantean una serie de actividades:
Un juego de construcción de figuras
Construcción de un Tangram sobre una cartulina
Construcción de diferentes figuras geométricas con las piezas del Tangram
Cálculo del área de las piezas construidas
Ejercicio del tipo “completar huecos”
Cuestionario de cálculo medidas de lados y ángulos
Título: Geometría del triángulo I
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Rita Jiménez Igea
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Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
https://proyectodescartes.org/miscelanea/index.htm - Ver Créditos
Este material está publicado bajo una licencia:
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional
Título: Geometría del triángulo II. Cálculo de rectas y puntos notables
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría analítica plana
Nivel/Edad: 1º Bachillerato (16 o más años)
Idioma: Castellano
Autoría: Rita Jiménez Igea
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Entre los diferentes proyectos de la RED Descartes disponemos de múltiples actividades interactivas para el estudio de la geometría. En este vídeo presentamos dos actividades, del proyecto Miscelánea, que tratan diferentes aspectos relacionados con el estudio de los triángulos.
Una vez seleccionadas las actividades vamos a ver cómo se pueden insertar en un curso Moodle mediante el código para abrir en ventana emergente.
Los problemas clásicos de la geometría griega son, por activa o por pasiva, fuente inagotable de inspiración. En esta ocasión el estudio de los lugares geométricos nos llevó a sus orígenes por ende a Hípias, Dinostrato, Arquímedes... e inevitablemente a la cuadratura dinámica del círculo, esto es, a la cuadratura de cualquier polígono regular; o no, con cualquier número de lados. Resultando que, aparentemente, en la base de este proceso está el cuadrado. Motivo por el cual decidimos estudiar este polígono. Ahora bien, al intentar analizar el cuadrado este, en sí mismo, parece desaparecer mostrando como en su interior subyacen infinidad de polígonos: triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, rombos… y una infinidad de otras formas inexistentes, virtuales, cuya proyección a la realidad tangible proporcionan, probablemente, los objetos y formas más útiles, en todos los sentidos, para el ser humano. Puede comprobarse como el trazo de unas pocas líneas en un cuadrado y a continuación al realizar el teselado del plano con el mismo, aparecen, de manera dinámica, formas que son el resultado de la composición de una traslación y/o de un giro; u otros, y como la visión de conjunto, a veces un palíndromo geométrico bidimensional, sugiere formas, sensaciones y conceptos cambiantes. Este procedimiento constructivo es el que los siguientes enlaces y escenas interactivas pretenden analizar aún cuando sea basándonos en los conceptos teóricos básicos y en los efectos visuales elementales que intervienen en el proceso.
La imagen siguiente está vinculada a la miscelánea que recoge un resumen de las ideas visuales expuestas a lo largo de esta entrada.
Para quien considere necesaria una inmersión en los conceptos básicos relacionados con las teselaciones hemos preparado los siguientes contenidos:
La imagen anterior enlaza con una unidad que, en su día, desarrolló el profesor Ángel Aguirre Pérez y que he comenzado a adaptar a DescartesJS debido a que sus objetivos son similares a los que nos proponemos en este artículo y por tanto nos introduce en el tema de la forma clásica y básica.
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos acercamos a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
cubo de colores (origen de la imagen)
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.
Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
A poco que se observen los trabjos de teselación expuestos o enlazados se evidencia que en cada uno de ellos se reproduce un patrón. Existe un amplio grupo de patrones y entre los más elementales están los conocidos como 'tipo mitad del cuadrado' que son los que se obtienen descomponiendo el cuadrado en dos o más partes diferenciadas, en nuestro caso, por el color, de manera que ambas formas tengan igual área. A continuación se exponen varios ejemplos de estos patrones que aclaran el concepto.
Debido a la extensión de la entrada las escenas que desarrollan la cuadratura del pentágono regular, tanto con DescartesJS como con GeoGebra, y otras relacionadas con el tema serán expuestas próximamente.
En esta ocasión, en la sección de vídeo, hemos elegido la tercera parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos (cuadraturas) estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos. Cuadraturas."; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografía:
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
Título: El azar y la probabilidad
Sección: Unidades didácticas
Bloque: Estadística y probabilidad
Unidad: Probabilidad elemental
Nivel/Edad: 3º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Ángela Núñez Castaín
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Puedes encontrar todos los materiales de las Unidades Didácticas en
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Título: Rectas notables de un triángulo. Actividades
Sección: Unidades didácticas
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría plana
Nivel/Edad: 3º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: Ángela Núñez Castaín y Josep Maria Navarro Canut
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Adentrarse en el estudio de los lugares geométricos, las cuadraturas, las teselaciones y las particiones de un polígono en otros más pequeños con la intención de teselar, en general el espacio plano, y en particular otros polígonos de diferente forma es estar, literalmente, predispuesto a perderse dentro de la espiral del tiempo en un ir y venir por las manifestaciones más sobresalientes de las diferentes culturas y épocas. Esta es la razón por la que en esta entrada vamos a continuar la aproximación al conocimiento genérico de los ll.gg. analizando algunos aspectos de las Cuadraturas, asuntos estos tan íntimamente ligados que, a veces, es difícil discernir cuál es la causa y cuál el efecto.
Recordamos que el estudio de las cuadraturas, los ll.gg. y la descomposición de un polígono en otros más pequeños que lo recubren completamente con objeto de, con ellos, recubrir otro polígono diferente, están ligados, también, al estudio de las teselaciones.
Aprovechamos la oportunidad para señalar el aspecto popular, lúdico, espiritual, económico, agrario y funcional que la Geometría clásica, la Cosmología, la Astronomía y en general el conocimiento ha tenido en las poblaciones cultas.
Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en el problema clásico de la cuadratura del círculo y que nos vamos a aproximar a él haciendo, primero, la cuadratura de algunos polígonos regulares y no regulares. No debe olvidarse la idea de círculo como límite, cuando el número de lados tiende a infinito, de los polígonos regulares.
Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos, además de los que se muestran en la bibliografía, los que se enlazan a continuación.
Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado, con DescartesJS, las escenas que se exponen a continuación. Queremos notar que en dichos trabajos se hace uso de gran parte de los conceptos elementales de Geometría del Currículo para ESO y Bachillerato.
Todos los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema, una buena cantidad de opciones de ampliación y mejora.
Enlazamos a continuación otros ejemplos relacionados con el cuadrado y su partición en dos partes iguales o en dos/tres partes de forma que el área de una de las partes es siempre igual a la mitad de la superficie del cuadrado.
Escena 1
Partición dinámica del cuadrado en dos/tres partes.
Escena 2
Partición dinámica del cuadrado en dos partes iguales
Las escenas anteriores muestran la intima relación del cuadrado con el triángulo, el rectángulo y los trapecios para conformar teselas de indudable belleza.
Notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.
Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Cuadratura del Hexágono, por el método estándar o clásico y la descomposición de un triángulo equilátero de infinitas formas diferentes en cuatro polígonos para teselar rectángulos e incluso el cuadrado .
La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación de la Cuadratura del Hexágono por el método estándar.
Cuadratura del Hexágono. Método clásico.
Descomposición de un triángulo equilátero.
La siguiente utilidad es copia de la ya analizada anteriormente.
También, en esta introducción elemental al estudio de las cuadraturas, puede ser de interés el estudio de este otro trabajo sobre la cuadratura de un triángulo cualquiera.
Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.
Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido la segunda parte de la colección que muestra la deducción, paso a paso, de la cuadratura del círculo usando el número de oro.
Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.
Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
Bibliografia:
Ildefonso Fernández Trujillo. 2017
Título: Triángulo: Cuadratura y teselación
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Transformaciones geométricas
Nivel/Edad: 2º ESO (13 años)
Idioma: Castellano
Autoría: Ildefonso Fernández Trujillo
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Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
https://proyectodescartes.org/miscelanea/index.htm - Ver Créditos
Este material está publicado bajo una licencia:
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional
Este artículo tiene como objetivo el difundir un recurso interactivo desarrollado por Javier de la Escosura Caballero en el año 2002, utilizando Descartes, y que obtuvo tres premios:
Descartes acaba de alcanzar en este mes de junio de 2016 su mayoría de edad, dieciocho años. Al ir creciendo, progresivamente, ha ido confirmando y asentando su potencial como herramienta de autor multipropósito mediante la que el profesorado y los desarrolladores de recursos educativos pueden plasmar su experiencia de aula, y su creatividad, obteniendo materiales que catalizan el aprendizaje de un alumnado que, gracias a Internet, se ubica en cualquier punto o lugar de nuestro pequeña “Gaia”o “Pachamama”.
Y como ejemplo de ese potencial cartesiano, más bien de esta realidad, hemos adaptado a DescartesJS la unidad “Geometría dinámica del triángulo”.
Una unidad didáctica que en la permanente voracidad informática y sólo por haberse desarrollado hace catorce años, quizás, alguien podría equivocadamente verse tentado a catalogarla como una antigualla —en esa línea, ¿cómo catalogaría a “Los Elementos de Euclides”?—, pero que mantiene inalterable su objetivo educativo promoviendo un encuadre meramente euclidiano, ubicado en la Geometría sintética. Con la adaptación a DescartesJS se logra que el aprendizaje se pueda alcanzar usando cualquier tipo de dispositivo, es decir, tanto ordenadores como tabletas o smartphones con cualquier sistema operativo. Se mantiene el diseño, los objetivos y contenidos del recurso original, pero se actualiza el soporte que pasa a ser compatible HTML5.
Las “nuevas” tecnologías —¡¿hasta cuándo seguiremos denominándolas nuevas?!— han permitido dinamizar la Geometría y ese es planteamiento que aborda Javier de la Escosura según lo describe en la introducción a esta unidad, donde aboga por potenciar la capacidad visual y constructiva del alumnado, dando igual importancia tanto al concepto como a su plasmación física. Y para ello, conjuga tanto el entorno virtual que le aporta Descartes (en el que se observa y aprende) como la manipulación de los objetos en papel al plantear proyectos de trabajo (aportando plantillas imprimibles que facilitan su realización) en los que el plegado del papel, la construcción de puzles y la utilización de regla y compás es algo intrínseco al aprendizaje.
Los contenidos, que como indica el título se centran en la geometría del triángulo, se desarrollan en cinco bloques:
En esencia un completo aprendizaje del triángulo que se verá complementado con otro recurso, denominado “Cuadrilateralia”, que fue también premiado y que presentaremos en un próximo artículo en este blog. Y más adelante lo ampliaremos con “Poligonalia”.