En el artículo "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" llegamos a la conclusión de que si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, según la orientación dada por Pascal a su triángulo, entonces, por simetría, tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton. Eso es lo que se refleja en la siguiente imagen.

Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton.
Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal

En este artículo vamos a centrarnos en analizar cuándo un coeficiente binomial es divisible por un determinado número primo, un problema sobre el que podemos encontrar bastantes resultados con fundamento aritmético y algebraico. Aquí, nos centraremos en aquellos resultados que nos permitan determinar y visualizar gráficamente esas congruencias, es decir, poder obtener el gráfico de la imagen anterior, u otros análogos, sin necesidad de calcular el coeficiente binomial y determinar su congruencia u obtener ésta mediante una recurrencia.

La primera representación gráfica de estas congruencias puede situarse en un brevísimo artículo de Kung (1976). Esa gráfica se muestra en la siguiente imagen, la situada a la izquierda, y en la de la derecha se refleja la gráfica análoga, pero mostrándola según la orientación original de Pascal y coloreando en naranja los números combinatorios pares (en ella cada número se determina observando el correspondiente índice superior en color azul y en rojo el inferior):

Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal. Kung, S. H. L. (1976). Parity triangles of Pascal’s triangle. Fibonacci Quart. 14: 54;	Triángulos de paridad en el Triángulo de Pascal en su orientación original

Kung adicionalmente afirma, sin incluir la demostración, que para i entero no negativo:

• Si n = 2ⁱ  y 1 ≤ k ≤ n-1, entonces  es par. 
• Si n = 2ⁱ-1 y 0 ≤ k ≤ n, entonces  es impar.

Y ello se observa en las imagenes anteriores ya que para n = 0, 3, 7, 15, 31, todos los símbolos en esas filas o diagonales, respectivamente, son asteriscos (números impares). Y para  n = 2, 4, 8, 16, 32, son todos cruces (números pares), salvo el primero y el último.

Ese es un breve artículo, pero que marca unas pautas que son extrapolables a la obtención de patrones en las congruencias con cero módulo otros números primos. De hecho, ese resultado es un caso particular de los dos que fueron enunciados en 1947 por N. J. Fine en su artículo "Binomial coefficients modulo prime", si bien el primero de ellos (según Joris et al. en un artículo de 1985) ya lo formuló Ram en 1909 (B. RAM, Common factors of n!/m!(n-m)!, (m= 1, 2 ,..., n- l), J. Indian Marh. Club (Madras) 1 (1909), 39-43):

1. La condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes binomiales  con 0 < k < n, sea divisible por un primo p es que n sea una potencia de p.
2. La condición necesaria y suficiente para que ningún coeficiente binomial de índice superior n, con n = n₀ + n₁ p + n₂ p² + ⋅⋅⋅ + n_m p^m, siendo 0 ≤ n_r < p y n_r > 0,  sea divisible por p es que n_r = p - 1 para r < m. 

Veamos cómo se reflejan estos resultados de una manera gráfica en las dos imágenes siguientes:

• En la imagen izquierda, se refleja gráficamente el primer resultado cuando p = 3, mostrándose todas las líneas en las que todos los números combinatorios son divisibles por 3, salvo el primero y el último. Esas líneas se corresponden con   con 0 < k < n y  n = 3⁰, 3¹, 3², 3³,... Gráficamente vienen a ser las "hipotenusas" de los triángulos rectángulos que particionan al triángulo de Pascal y que lo muestran a diferentes escala y posteriormente utilizaremos esta analogía y terminología coloquial para ubicar y describir otros resultados.
• En la de la derecha se reflejan aquellas líneas en las que ningún número combinatorio es divisible por 3. En la parte superior de esa imagen se reflejan las separaciones entre esas filas (por falta de espacio tipográfico no se refleja el caso 3⁰) y a la derecha se muestra la descomposición p-ádica del índice n correspondiente a los números combinatorios de cada una de esas líneas (expanda la imagen pulsando sobre ella para verlo). Por ejemplo, para 53 = 2 3⁰ +  2 3¹ + 2 3² + 1 3³ y eso nos muestra el camino de "saltos" de amplitud potencias de tres que se han de dar para, partiendo de 0, llegar a 53 (dos de amplitud 3⁰, dos de 3¹, dos de 3² y uno de 3³). Es decir, logramos mostrar visualmente, geométricamente, lo que queda escondido en un abstracto resultado algebraico, el cual puede ser chocante a cualquiera que accede a él por primera vez. Emulando a nuestro alumnado a la pregunta: ¿a quién se le ocurre que la descomposición p-adica da respuesta a este problema? le mostramos que el resultado algebraico, posiblemente, fue consecuencia de su visualización y la "pureza" matemática procedió a esconderlo. 

Números combinatorios divisibles por 3 para todo k, 0 < k < n  Líneas con todos los números combinatorios divisibles por 3 salvo los extremos	Números combinatorios no divisibles por 3 para ningún k, 0 ≤ k ≤ n Líneas con ningún número divisible por 3

En la miscelánea del final de este artículo podemos reproducir las situaciones descritas para cualquier primo hasta el 31 y en este enlace se tiene un muestrario rápido de las mismas. 

Y justamente, en base a la observación de esos patrones geométricos, podemos visualizar y deducir la propiedad que nos permite detectar todas las hipotenusas de todos los triángulos rectángulos isósceles que muestran esas congruencias. Podemos ver cómo hay triángulos de diferente tamaño, siendo p^a-1 el tamaño de las hipotenusas respectivas, y cada uno de ellos tienen una distribución periódica en horizontal y vertical con un periodo p^a. Por ejemplo, en la siguiente imagen se reflejan en color naranja los números combinatorios congruentes con cero módulo 5 y se observan tres tipos de triángulos según su tamaño: los de hipotenusa 4 = 5¹-1, los de 24 = 5²-1 y parcialmente (en la esquina inferior derecha) el de 124 = 5³-1. La hipotenusa del primero se ha reflejado en color verde y el triángulo se repite periódicamente en horizontal y vertical con un periodo 5, según se ve en dicha imagen. La del segundo está reflejada en color violeta y se repite también periódicamente con periodo 5², y así sería de manera análoga y sucesiva. 

 Periodicidad en las hipotenusas de los triángulos congruentes

Lo anterior, ahora le invito a que mire con ojos algebraicos, queda englobado en el resultado que enuncio a continuación:

p es divisor de todos los números combinatorios  con m, a, k ∈ ℕ,  0 < k <  mp^a y k no divisible por p^a     (1)

Este resultado personal puede relacionarse o considerarse como una reinterpretación —que se centra, enfoca y destaca el aspecto de periodicidad— del aportado por Ram (1909) —del que puede verse la demostración realizada por Albree (1972)— que afirma:

Para cualquier entero positivo n , p^r = mcd {  con 0 < k < n, y mcd (k, p)=1 } donde p es primo, r es un entero positivo y p^r divide a n. 

Y ¿por qué les remarco que es de gran interés determinar esas hipotenusas? La respuesta también puede visualizarse en la imagen anterior y lo detallamos a continuación ya que conocida una hipotenusa de números congruentes con 0 módulo p,  con r < k < s, por la propiedad de los números combinatorios que relaciona los de índice superior n+1 con los de índice n,

se deduce que los números combinatorios que componen el triángulo rectángulo T(n; r, s)

          (2)

—ver imagen siguiente— son también congruentes con 0 módulo p. La justificación es simple, dado que la suma de dos números divisibles por p es un número divisible por  p.

Transmisión de la congruencia en las hipotenusas a los triángulos rectángulos

Joris et al. (1985) abordan un estudio más profundo al que necesitamos aquí de las propiedades de estos triángulos y a él dirigimos a quienes estén interesados en incrementar su conocimiento en este tema. 

Combinando (1) y (2), concluyo que los números combinatorios congruentes con 0 módulo p siguen un patrón de triángulos "rectángulos" T(p^a; 1, p^a-1) cuyas hipotenusas están constituidas por los números combinatorios  con a, k ∈ ℕ,  0 < k <  p^a. 

Patrón de triángulos T(p^a; 1, p^a-1) con p=3  y a = 1,2, y 3

distribuyéndose de forma periódica según el esquema:

T(m p^a; 1+k p^a, (1+k)p^a-1)  con 0 ≤ k < m y  a, m ∈ ℕ  

Eso es lo que se observa en el siguiente mosaico de imágenes donde se refleja:

• • imagen superior izquierda: números combinatorios congruente con 0 módulo 3 en color naranja.
  • imagen superior derecha: triángulos congruentes con T(3¹; 1, 3¹-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3.
  • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(3²; 1, 3²-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3². 
  • imagen inferior derecha: triángulos congruentes con T(3³; 1, 3³-1) en color verde claro y las hipotenusas en verde oscuro, y desplazamiento periódico en horizontal y vertical con periodo 3³. 

Esquema de periodicidad de los triángulos T(p^a; 1, p^a-1) con p=3  y a = 1, 2, y 3

Así pues la reproducción de todas las congruencias con 0 es una mera reiteración gráfica, periodicidad, de esos triángulos básicos citados.

Pero dado un número combinatorio  ¿podemos saber si es o no congruente con 0 módulo p sin necesidad de calcularlo, de una manera sencilla, rápida y sin aplicar recursividad, o lo que es equivalente, sin basarse en diagonales, es decir, en números combinatorios con índice superior menor que n? ¡Veamos que sí! y para ello nos vamos a basar en la posición relativa (fila y columna) que ocupa cada número combinatorio en el triángulo de Pascal original. Observemos que el número  ocupa la fila n-k y la columna k, que todos los números combinatorios de índice n cumplen que la suma de la fila y la columna que ocupan es n, y que los números combinatorios del triángulo rectángulo T(n; r, s) cumplen que la suma de la fila y la columna de todos ellos es mayor o igual que n. Con este dato y en base a la periodicidad podemos afirmar lo siguiente:

Dado el número combinatorio , consideremos la descomposición p-ádica de n-k y de k

n-k =  a₀ + a₁ p + a₂ p²+ ⋅ + a_m p^m

 k = b₀ + b₁ p + b₂ p²+ ⋅ + b_m p^m

con m =  max (ent(log_p(n-k)), ent(log_p(k)) ), 0 ≤ a_j, b_j  < p, se verifica que:

 es divisible por p si y solo si a_j + b_j  ≥ p al menos para algún j,  0 ≤ j ≤ m.

Además, para los valores de j en los que  a_j + b_j  ≥ p, entonces  está en un triángulo T(p^j+1; 1, p^j+1-1) de números congruentes con 0 módulo p.

En la siguiente escena se puede reproducir visualmente todos los resultados indicados anteriormente y profundizar en el conocimiento de las interioridades del Triángulo de Pascal. 

Pulsa sobre la imagen para abrir la escena

En la imagen anterior se observa como el número combinatorio 30 sobre 23 es congruente con cero módulo 2 y forma parte de un triángulo rectángulo básico de hipotenusa 1 , otro de hipotenusa 3 y otro de hipotenusa 7 (para éste último es evidente, para los dos anteriores haga traslaciones de los triángulos básicos, según el periodo antes indicado, y verá que ese número combinatorio está incluido en ellos). Todo se obtiene sin más que observar la relación de los coeficientes en la descomposición 2-ádica de la fila y columna que ocupa, ya que en este caso, para las tres primeras potencias de 2 la suma de los coeficientes es mayor o igual que el valor del módulo (en este caso 2).

Llegados a esta meta, estando aún confinados por la pandemia del COVID-19, cabe preguntarse si este artículo, y los dos anteriores publicados en este blog sobre este tema, tendrá o no continuidad... el tiempo lo dirá o quizás la necesidad de cambiar de temática para relajar la mente en otros ámbitos lo interrumpa. Tenga o no alguna nueva adenda, gracias a todos los que habéis dedicado parte de vuestro tiempo en leer lo descrito y los nuevos resultados hallados y expuestos en esta trilogía. 

Con sabor agridulce, porque no está el mundo para muchas celebraciones, como colectivo humano que ponemos mucho tiempo e interés en contribuir a la educación y formación de los habitantes de esta aldea global de manera altruista, tenemos que congratularnos de poder llegar a tantas y tantas personas y así haber podido superar el anterior recórd que teníamos registrado. Han sido más de cuatro millones de páginas servidas en el mes de marzo desde nuestro servidor proyectodescartes.org ¡cuatro millones de mensajes de solidaridad, ánimo y ayuda!

Hace diez meses os anunciamos que en el mes de mayo de 2019 habíamos alcanzado un nuevo récord mensual de páginas servidas desde nuestro servidor proyectodescartes.org, en concreto fueron 2413688 páginas, más de dos millones cuatrocientas mil páginas. El mes pasado, febrero de 2020, estuvimos a punto de superar ese récord, pues llegamos a 2383011, es decir, cincuenta mil páginas menos del récord anterior, pero en un mes de sólo veintinueve días y un mes digamos normal en el sentido de que no había sensación de ningún acontecimiento extraño que justificara ese aumento, aunque había cierto runrún en el entorno. Así, se desarrolló estadísticamente ese mes de febrero en nuestro servidor:

Estadísticas de febrero de 2020 del servidor proyectodescartes.org (ayuda)

Ese positivo comportamiento en el numero de páginas servidas diariamente, por encima de la media, se mantuvo también durante la primera quincena de marzo. 

Estadísticas de la primera quincena de marzo de 2020 del servidor proyectodescartes.org

Pero, la declaración del estado de alarma en España con motivo de la pandemia producida por el COVID-19, que provocó el cierre generalizado de centros escolares el día 13 de marzo —aunque en algunas comunidades comenzó con antelación el 10 de marzo— condujo a la duplicación de las páginas servidas diariamente.   

El domingo 15 publicamos el artículo "Educación a distancia y gratuita con Descartes" y recibió más de diecisiete mil visitas en un día y, junto a su divulgación en las redes sociales, contribuyó a propagar el potencial y la realidad de nuestro proyecto, mostrando cómo, no sólo podemos ayudar en situaciones habituales de docencia presencial sino también en estos tiempos díficiles donde la formación ha de continuarse forzosamente en la distancia.

Estadísticas segunda quincena de marzo 2020 del servidor proyectodescartes.org

Este confinamiento se extendió también a algunos países de latinoamérica. En particular a Colombia donde, por esta desgracia común, nuestros colegas de RED Descartes Colombia también planificaron acciones en sus instituciones educativas y en ellas han divulgado ampliamente los recursos de RED Descartes y su uso integrado en plataformas y/o herramientas. Todo ello ha contribuido significativamente a este incremento de prestaciones en nuestro servidor. 

En este contexto el día 30 alcanzamos el máximo de páginas servidas en este mes, fueron más de doscientas catorce mil páginas (si bien no es un récord diario, ya que éste se alcanzó de manera esporádica en marzo de 2017 con 284332 páginas).

Todo ello ha contribuido a ese incremento sustancial de páginas servidas y también de accesos, de archivos, de visitas, de clientes y de Gb. Y todo muestra que ¡ahora! en los momentos difíciles y ¡siempre!, nuestro trabajo altruista tiene un alcance cuantitativo importante y me atrevo a asegurar, aseguro, que también cualitativamente conseguimos un alcance educativo que es intenso, profundo y de gran calidad.

Con sabor agridulce, porque no está el mundo para muchas celebraciones, como colectivo humano que ponemos mucho tiempo e interés en contribuir a la educación y formación de los habitantes de esta aldea global de manera altruista, tenemos que congratularnos de poder llegar a tantas y tantas personas y así haber podido superar el anterior recórd que teníamos registrado. Han sido más de cuatro millones de páginas, cuatro millones de mensajes de solidaridad, ánimo y ayuda.

Muchas gracias a todos los que os acercáis a este servidor, a los que hacéis una valoración positiva de nuestra labor y a los que regresáis para que podamos aprender todos juntos.

¡Continuamos...! y venceremos al COVID-19.

La siguiente tabla refleja un detalle algo más extenso de lo acontecido estadísticamente en este mes de marzo de 2020 en proyectodescartes.org

Nota bene: Aunque en este artículo nos hemos centrado en el número de páginas servidas, en el resumen estadístico anterior también se pueden observar otros parámetros que dan perspectivas adicionales a lo acontecido en nuestro servidor en este mes, por ejemplo:

• Se han conectado más de quinientos mil clientes (conexiones realizadas desde diferentes direcciones IP).
• El contenido servido ha sido superior a un Tb, aproximadamente unos 1128 Gb, lo que representa haber replicado el contenido completo de nuestro servidor (52 Gb) más de veinte veces en la nube. 

Título: Muestrario de simetrías en las congruencias en el paralelogramo de Newton y el triángulo de Pascal
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

Haz clic en la imagen para abrir el recurso

Descargar recurso

Código para embeber como iframe

Código para abrir en ventana emergente

<iframe style="width: 1024px; height: 950px;" src="https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/PascalversusNewtonMuestrario/index.html"></iframe>

<a href="https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/PascalversusNewtonMuestrario/index.html" target="_blank" onclick="window.open(this.href, this.target, 'width=1024,height=950,top=30,left=100,toolbar=0,menubar=0,scrollbars=1,resizable=1,location=0,status=0'); return false;"><img src="https://proyectodescartes.org/descartescms/images/materiales/miscelanea/PascalversusNewtonMuestrario.png" alt="Rectángulo vs triángulo" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"></a>

Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
https://proyectodescartes.org/miscelanea/index.htm - Ver Créditos

Este material está publicado bajo una licencia:

Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional

Título: El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal (congruencias)
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

Haz clic en la imagen para abrir el recurso

Descargar recurso

Código para embeber como iframe

Código para abrir en ventana emergente

<iframe style="width: 1024px; height: 950px;" src="https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/PascalversusNewtonColor/index.html"></iframe>

<a href="https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/PascalversusNewtonColor/index.html" target="_blank" onclick="window.open(this.href, this.target, 'width=1024,height=950,top=30,left=100,toolbar=0,menubar=0,scrollbars=1,resizable=1,location=0,status=0'); return false;"><img src="https://proyectodescartes.org/descartescms/images/materiales/miscelanea/PascalversusNewtonColor.png" alt="Rectángulo vs triángulo" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"></a>

Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
https://proyectodescartes.org/miscelanea/index.htm - Ver Créditos

Este material está publicado bajo una licencia:

Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional

Título: El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal
Sección: Miscelánea
Bloque: Álgebra
Unidad: Números y operaciones
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (17 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

Haz clic en la imagen para abrir el recurso

Descargar recurso

Código para embeber como iframe

Código para abrir en ventana emergente

<iframe style="width: 1024px; height: 950px;" src="https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/PascalversusNewton/index.html"></iframe>

<a href="https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/PascalversusNewton/index.html" target="_blank" onclick="window.open(this.href, this.target, 'width=1024,height=950,top=30,left=100,toolbar=0,menubar=0,scrollbars=1,resizable=1,location=0,status=0'); return false;"><img src="https://proyectodescartes.org/descartescms/images/materiales/miscelanea/PascalversusNewton.png" alt="Rectángulo vs triángulo" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"></a>

Puedes encontrar todos los materiales de la Miscelánea en
https://proyectodescartes.org/miscelanea/index.htm - Ver Créditos

Este material está publicado bajo una licencia:

Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional