Matemáticas de secundaria:
Grados 8 - 9
Libro Interactivo

Carlos Alberto Rojas Hincapié

Matemáticas de secundaria:
Grados 8 - 9


INTERACTIVO



Carlos Alberto Rojas Hincapié
Red Educativa Digital Descartes, Colombia











1ª edición – 2022



Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2022

Título de la obra
Matemáticas de secundaria:
Grados 8 - 9

Autor
Carlos Alberto Rojas Hincapié
Primera edición: 2022



Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: KaTeX\KaTeX




Diseño de personajes:
Orlando Antonio Martinez Hoyos


Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-18834-49-3


Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

Tabla de contenido

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Prefacio

Este libro digital interactivo se ha diseñado con fundamento en la filosofía del Proyecto DescartesJS: "Trabajando altruistamente por la comunidad educativa de la aldea global", que sólo busca desarrollar contenidos educativos para el provecho de la comunidad académica, esperando únicamente como retribución el uso y difusión de estos contenidos. El contenido del libro, al igual que los objetos interactivos se han diseñado de tal forma que se puedan leer en ordenadores y dispositivos móviles sin necesidad de instalar ningún programa o plugin. El libro se puede descargar para su uso en local sin dependencia con la red, a excepción de algunos vídeos incluidos en el texto. Todos los objetos interactivos se han diseñado con el Editor DescartesJS.

La herramienta DescartesJS se caracteriza por una innata interactividad, por permitir realizar representaciones de objetos bi y tridimensionales, por gestionar expresiones de texto y de fórmulas, por integrar objetos multimedia como imágenes, audios y vídeos, por tener la posibilidad de reflejar casos concretos y también potenciar la conceptualización de tareas y procedimientos mediante la utilización de semillas aleatorias y controles numéricos, gráficos y de texto, y con ellos poder abordar la evalúación de manera automática, tanto la correctiva como la formativa. Con DescartesJS es posible el diseño y desarrollo de objetos educativos que promueven el aprendizaje significativo, posibilitando esa deseada construcción del conocimiento. 1

El contenido de este libro se basa en un curso de capacitación del editor DescartesJS para docentes que, por la dificultad de concertar un horario presencial, permite una opción autodidacta acompañada de material interactivo para una mayor comprensión de los temas tratados.

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Retomando la introducción a la documentación de DescartesJS de Radillo, Abreu y Espinosa, podríamos coincidir en que este libro está destinado tanto a personas que no han usado DescartesJS como a personas que tienen cierta experiencia y desean mejorarla. En cada apartado del libro se proponen ejercicios y se incluyen ejemplos para que el lector pueda comprender paso a paso la funcionalidad de DescartesJS y su enorme potencial para crear objetos interactivos de aprendizaje.

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Componente Curricular de Matemáticas

El Estado colombiano, decidido a elevar la calidad de la educación, introdujo el enfoque basado en el desarrollo de competencias en los estudiantes, lo cual supone el tránsito desde el aprendizaje que centra la atención en el dominio de contenidos, a una educación basada en competencias que no se agota en el sistema educativo, sino que se desarrolla de manera permanente en interacción con el mundo.

De esta manera, consolidar una política de calidad enmarcada en el desarrollo de competencias implica, entonces, una transformación de fondo de las prácticas pedagógicas, del funcionamiento de la institución educativa y del papel de los actores educativos, teniendo como protagonista al estudiante. Buscando desarrollar este modelo se han realizado esfuerzos por elevar la calidad de la educación en el país; en este sentido, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) ha puesto a disposición de docentes, directivos docentes, padres de familia y público en general herramientas pedagógicas como:

  • Los lineamientos curriculares. (1998).
  • Los Estándares Básicos de Competencias (EBC). (2006).
  • Los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA). (2015).
  • Las matrices de referencia. 2016.
  • Las mallas de aprendizaje. 2017.

Herramientas que constituyen el punto de partida y sustento de todas las estrategias de mejoramiento, además son un importante insumo para el diseño curricular y el cambio en las prácticas pedagógicas [6].

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ESTRATEGIAS DE MEJORAMIENTO

Elementos que contribuyen a mejorar los procesos de evalúación por competencias y las prácticas en el aula de clase por parte de los docentes para alcanzar cada vez mejores resultados y hacer que la educación en Colombia mejore su calidad. Ampliar imagen

Componentes / Pensamientos
Específicos del área de matemáticas.


5 categorías conceptuales que conforman esta asignatura según los Lineamientos y los Estándares Básicos de Competencia diseñados por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales son:

1. Pensamiento numérico y sistemas numéricos.

Se asocia con "la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la numeración; el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación".

2. Pensamiento espacial y sistemas geométricos.

Contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales.

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3. Pensamiento métrico y sistemas de medidas.

Hace referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, su medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones.


4. El pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

Comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico.

5. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.

El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y procesos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial, e indirectamente, en la estadística descriptiva y en la combinatoria.

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Competencias específicas del área de matemáticas.

Son las encargadas de desarrollar la capacidad de formular, resolver y modelar fenómenos de la realidad; comúnicar, razonar, comparar y ejercitar procedimientos para fortalecer la adquisición de conocimientos, habilidades, actitudes y comprensiones del pensamiento matemático, relacionándolos entre si para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido. Las competencias específicas en el área de matemáticas que evalúa la prueba Saber desde los grados 1° a 9° se reagrupan en las siguientes:

1. Comúnicación, representación y modelación.

La capacidad del estudiante para expresar ideas, interpretar, usar diferentes tipos de representación, describir relaciones matemáticas, describir situaciones o problemas usando el lenguaje escrito, concreto, pictórico, gráfico y algebraico, manipular expresiones que contengan símbolos y fórmulas, utilizar variables y describir cadenas de argumentos orales y escritas, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representaciones, interpretar lenguaje formal y simbólico así como traducir de lenguaje natural al simbólico formal y viceversa, que se resume en decodificar de manera entendible aquello expresado matemáticamente en palabras sencillas y manejables.

2. Planteamiento y resolución de problemas.

Es la capacidad para formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas, desarrollar, aplicar diferentes estrategias y justificar la elección de métodos e instrumentos para la solución de problemas, justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado

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en la solución de un problema y lo razonable o no de una respuesta obtenida, verificar e interpretar resultados a la luz del problema original y generalizar soluciones y estrategias para dar solución a nuevas situaciones problema.

3. Razonamiento y argumentación.

Está relacionada con la capacidad para dar cuenta del cómo y del porqué de los caminos que se siguen para llegar a conclusiones, justificar estrategias y procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones problema, formular hipótesis, proponer opiniones e ideas, explorar ejemplos y contraejemplos, probar y estructurar argumentos, generalizar propiedades y relaciones, identificar patrones y expresarlos matemáticamente y plantear preguntas, reconocer distintos tipos de razonamiento y distinguir y evalúar cadenas de argumentos.

Tomado Saber 3° Guía de orientación(2017).

¿Qué son los Derechos Básicos de Aprendizajes (DBA)?

Los DBA, en su conjunto, explicitan los aprendizajes estructurantes para un grado y un área particular. Se entienden los aprendizajes como la conjunción de unos conocimientos, habilidades y actitudes que otorgan un contexto cultural e histórico a quien aprende.

Los DBA se organizan guardando coherencia con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias (EBC). Su importancia radica en que plantean elementos para construir rutas de enseñanza que promueven la consecución de aprendizajes año a año para que, como resultado de un proceso, los estudiantes alcancen los EBC propuestos por cada grupo de grados.

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Capítulo I

Conceptos preliminares




DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.

DESEMPEÑOS / ESTANDAR

Pensamiento numérico.
1.1 M.IV Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. DBA 1, 2.
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 3.
1.3 M.IV Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes. DBA 2.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

1.1 Conceptos preliminares

El sistema de los números Reales (R\mathbb{R}) lo conforman los conjuntos:

1.1.1 El conjunto de los números Naturales (N\mathbb{N})

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

Se denomina el conjunto de los números Naturales o enteros positivos, están definidas las operaciones básicas: adición y multiplicación. El conjunto de los números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios, este conjunto se caracteriza porque tiene un número ilimitado de elementos.

1.1.2 El conjunto de los números Enteros (Z\mathbb{Z})

Z = { .... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción (resta), pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los números Naturales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número Natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero; Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él), se dividen en:

Enteros Negativos: Z-, Enteros Positivos: Z+ y el Cero: {0}
Z=Z{0}Z+\mathbb{Z} = \mathbb{Z^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+}
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1.1.3 El conjunto de los Números Racionales (Q\mathbb{Q})

Un número Racional es un número que puede expresarse de la forma:

ab=NumeradorDenominador,conb̸0\frac{a}{b}=\frac{Numerador}{Denominador}, \quad con \quad b \equiv\not 0

Este conjunto se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban los números Naturales y números Enteros, para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, podemos identificar dos tipos de fracciones:

  • Fracciones propias.

Una fracción propia es una fracción donde el valor del numerador es más pequeño que el valor del denominador.


xploremos.
Ejemplos de fracciones propias representadas en la recta numérica, oprime el botón otro ejemplo para ver más fracciones.

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Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

Se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros.

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

¡Notese!, que una fracción propia siempre es menor que la unidad, se encuentra ubicada en la recta numérica entre 1-1 y 11.

  • Fracciones impropias.

Una fracción impropia es una fracción donde el valor del numerador es más grande que el valor del denominador, veamos algunos ejemplos de fracciones impropias en la recta numérica.

xploremos.
Ejemplos de fracciones impropias representadas en la recta numérica, oprime el botón otro ejemplo para ver más fracciones.

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jercicio 1.1.
Representar en la recta fracciones propias e impropias.

Ingresa el numerador y denominador, oprime la tecla "enter <┘", el botón solución y observa la gráfica de la fracción.


Una fracción impropia, se puede representar como un ¡Número Mixto!, estos, se componen por un número entero y una fracción propia, por ejemplo:

315=(3)(5)+15=165\displaystyle\textrm{\Huge 3}\dfrac{1}{5}=\frac{(3)(5)+1}{5}=\frac{16}{5}

¿Sabes como se convierte un fracción impropia a un número mixto?

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Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.


1.1.4 El conjunto de Números Irracionales (Q\mathbb{Q^*})

Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos. Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción.

No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.


Un número Irracional no se puede expresar como una fracción o el cociente de dos números, algunos ejemplos:

π3,14159265358979323846 \pi\approx 3,14159265358979323846… e2,718281828459045235360 e\approx 2,718281828459045235360…

Las raíces inexactas representan números Irracionales.

21,41421356237309504880...\sqrt{2}\approx 1,41421356237309504880...

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1.2 Los números Reales (R\mathbb{R})

El conjunto de los números Reales (R\mathbb{R}) está conformado por la unión de los números Racionales (Q\mathbb{Q}) y los números Irracionales (Q\mathbb{Q^*}).

R=QQ\color{blue} \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q^*}

Los números Racionales (Q\mathbb{Q}) incluye a los números Naturales (N\mathbb{N}) y los números Enteros (Z\mathbb{Z}) y el cero (0).

Figura 1.1. Los números Reales.

La figura representa la gráfica del conjunto de los números Reales, teniendo en cuenta esto, se puede representar gráficamente el conjunto de los números Reales en una recta numérica, en la que cada punto representa un número.

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Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

Representaciones numéricas de los conjuntos.

N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...}\mathbb{N} = \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...\right\rbrace

Z={...6,5,4,3,2,1}{0}{1,2,3,4,5,6,...}\mathbb{Z} = \left\lbrace ... -6, -5, -4, -3, -2, -1\right\rbrace \cup \left\lbrace 0 \right\rbrace \cup \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6,...\right\rbrace

Q={...3,52,2,32,1,34,12,0,12,34,1,32,2,52,...}\displaystyle \mathbb{Q} = \left\lbrace ...-3, -\frac{5}{2}, -2, -\frac{3}{2}, -1,-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, -\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2},...\right\rbrace

Los números Racionales es un número que se expresa de la forma:

ab,conb̸0\frac{a}{b} , \quad con \quad b \equiv\not 0

En otras palabras, se representa como el cociente de dos números, donde a y b son números enteros. (Recordemos que la divisón por cero no existe), un número Irracional (Q\mathbb{Q^*}) no se puede expresar como una fracción o el cociente de dos números.

Su característica principal es que al expresarlos en forma decimal, su parte decimal no termina ni se repiten, es un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras), son decimales no periódicos.

Ejemplo 1.1. Representación de un número Irracional en la recta.

52,236067976...\sqrt{5}\approx 2,236067976...

Figura 1.2. Recta numérica.
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1.3 ¿Qué son los números decimales?.

Expresando informalmente, como en muchos ámbitos de la educación, los números decimales son aquellos que poseen una parte decimal, en contraposición a los números enteros, que carecen de esta, es decir, un número decimal x\textit{\textbf{x}} se puede representar como:

x=a,dddddd.... x = a,dddddd.... donde a\textit{\textbf{a}} es un número entero o cero y d\textit{\textbf{d}} dígitos decimales, por ejemplo:

  161,6666666666666...\space\space \frac{1}{6} \approx 1,6666666666666...

Dada la definición anterior, observa el siguiente esquema:

Figura 1.3. Esquema de la representación de un número decimal.

Un número decimal que tiene en su parte decimal dígitos que se repiten infinitamente, se conocen como un decimal periódico.

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Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

La parte que se repite se llama periodo, y se puede representar mediante una barra en la parte que se repite, por ejemplo:

161,6666666666666...=1,6ˉ \frac{1}{6} \approx 1,6666666666666... = 1,\bar{6}

Teniendo en cuenta el esquema de la figura 1.3, una fracción se puede representar como un número decimal que puede ser:

  • Exacto, números decimales cuya parte decimal tiene un número finito de cifras. 52=2,5 \frac{5}{2} = 2,5

  • Periódico puro, números decimales en los que la parte decimal se repite periódicamente, inmediatamente después de la coma o separador decimal.

    1033,3333333333333...=3,3ˉ \frac{10}{3} \approx 3,3333333333333... = 3,\bar{3}
  • Periódico mixto, números decimales en cuya parte decimal hay una parte no periódica, y otra periódica.

    7440,1590909090909090...=0,1590ˉ \frac{7}{44} \approx 0,1590909090909090... = 0,15\bar{90}
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Video. Observa y complementa la información dada.


Video. Los números decimales2

Si se tiene un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto, se puede encontrar la fracción que lo representa, esta fracción se conoce como fracción generatriz.

Ejemplo 1.2. Se tiene el siguiente número decimal, encontrar la fracción generatriz: 0,1590909090909090...=0,1590ˉ\quad 0,1590909090909090... = 0,15\bar{90}
  1. El numerador de donde se genera el número decimal, corresponde a la parte entera decimal completa menos la parte decimal que no se repite:

    159015=1575 1590 - 15 = 1575 Por tanto, el numerador de la fracción es 1575.

Tomado del canal de Daniel Carreón: https://www.youtube.com/user/JAKEMATHE1
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Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

  1. Ahora, el denominador tendrá tantos nueves (9) según tantos dígitos tenga la parte periódica y tendrá tantos ceros (0) según tantos dígitos tenga la parte no periódica:

    90ˉ=99,15=00,Denominador=9900 \bar{90} = 99,\qquad 15 = 00,\qquad Denominador = 9900
  2. Entonces la fracción que se obtiene es igual a:

    15759900=3151980=63396=744 \frac{\cancel{1575}}{\cancel{9900}} = \frac{\cancel{315}}{\cancel{1980}} = \frac{\cancel{63}}{\cancel{396}} = \frac{7}{44} 744=0,1590ˉ0,1590909090909090... \frac{7}{44} = 0,15\bar{90} \approx 0,1590909090909090...

Video. Observa y complementa la información dada.


Video. Como hallar la fracción generatriz de un número decimal3
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1.3.1 Notación científica

La representación de un número en notación científica es una forma de escribir números demasiado grandes o demasiado pequeños utilizando potencias de 10.

Figura 1.4. Representación en notación científica.

Entre las partes que componen un número representado en notación científica (figura 1.4) tenemos:

  • Coeficiente, es un número real, parte entera una sola cifra significativa entre 1 y 9, parte decimal una sola cifra.
  • Base, es la base decimal (10).
  • Exponente, es un número entero, indica el número de veces que se desplaza la coma o el punto decimal.

Potencia de 10(+)10 (+). Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda. ( )

Potencia de 10()10 (-). Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha. ( ).

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Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

En el sistema decimal, cualquier número R\mathbb{R} puede expresarse en notación científica, veamos la representación del siguiente número:

Figura 1.5. Representación en notación científica.
Ejemplo 1.3. Representación de un número en notación científica.

  • 9 x 1024 9.000.000.000.000.000.000.000.000\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 9.000.000.000.000.000.000.000.000
  • 3 x 10-8 0,00000003\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 0,00000003
  • 5,2 x 1010 52000000000\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 52000000000

xploremos.
Notación científica.

Escribe un número en notación científica y oprime el botón expresar para ver en forma decimal.

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1.3.2 Operaciones en notación científica.

Para sumar o restar números en notación científica, éstos deben tener el mismo exponente en la potencia de 10.

Una vez todos los números tienen el mismo exponente, tan sólo hay que sumar y restar los números que multiplican a la potencia de base 10, sacando factor común a la potencia de 10.

Ejemplo 1.4. Sumar 5,5 x 1018 con 3 x 1018

= 5,5 x 1018 + 3 x 1018

= 1018 . ( 5,5 + 3 ) \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Factor común.

= 8,8 x 1018 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Suma números decimales.

Para multiplicar o dividir números en notación científica, hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias.

Ejemplo 1.5. Multiplicar ( 3,2 x 1025 ) x ( 3 x 10-18 )

= ( 3,2 x 3 ) x 1025 - 18 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Propiedades de potencias.

= 9,6 x 107 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Multiplicación números decimales.

Se pueden presentar expresiones combinadas entre operaciones.

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Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

1.4 Practiquemos

jercicio 1. Clasificación de los números.

Arrastrar los números a cada recuadro según su conjunto numérico, ubicarlo en el conjunto más pequeño al que pertenezcan.

Indicación. Arrastrar el número al recuadro que corresponda, según el primer conjunto al que pertenece.

¡Recuerda!, todos los conjuntos numéricos pueden ser representados en la recta numérica.

Proyecto Descartes.org.
[4] Tomada de Plantillas con Descartes-JS

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jercicio 2. Identifica el conjunto numérico.

N\mathbb{N} (Naturales), Z\mathbb{Z} (Enteros), Q\mathbb{Q} (Racional), Q\mathbb{Q*} (Irracional) o R\mathbb{R} (Reales).

Oprime el botón correspondiente al conjunto numérico al cual pertenece el número dado y verifica tu respuesta.

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Capitulo I. Conceptos preliminares \qquad

jercicio 3.

Práctica resolviendo los siguientes ejercicios con números reales en operaciones básicas, realiza paso a paso su debido procedimiento.

Actividad complementaria.
 \space Descargar para imprimir

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Evalúamos lo aprendido.
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 5x2 preguntas con límite de tiempo - (20 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo I: Conceptos preliminares.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

\quad Envia tu evalúación
 \space Evalúación: Capítulo I

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
[4] Plantillas con Descartes-JS

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"Las matemáticas son la puerta y la llave a la ciencia".
Roger Bacon

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Capítulo II

Potenciación, Radicación
y Logaritmación






DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.


DESEMPEÑOS / ESTANDAR

Pensamiento numérico.
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 3.
1.4 M.IV Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas. DBA 3.


El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación \qquad

2.1 Potenciación

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian tres partes, la base, el exponente y la potencia.


Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.
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jercicio 2.1.
Practiquemos con los elementos de la potenciación.

  1. Ingresa base y exponente del ejercicio propuesto, oprime la tecla "enter <┘" para verificar, oprime el botón otro ejercicio.

  1. Ingresa base y exponente del ejercicio propuesto, escribe la potencia, oprime la tecla "enter <┘" para verificar, oprime el botón otro ejercicio.

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Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación \qquad

2.2 Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son válidas para todos los conjuntos numéricos.

  • Todo número diferente de cero, elevado a un exponente cero es igual a uno.

    a0=1a^0=1

  • Todo número diferente de cero, elevado a un exponente uno es igual a el mismo. a1=aa^1=a
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xploremos

Verifica lo aprendido en esta sección, oprime las fechas y sigue paso a paso como aplicar la propiedad de potencia de una potencia.

¡Recuerda!, una potencia que tiene de base una potencia, se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

( ae1 )e2 = a (e1 . e2)

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Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación \qquad

jercicio 2.2.
Aplicando propiedades de potenciación.

Indicaciones.

  1. Para iniciar, haz click en el botón ejercicio, soluciona el ejercicio propuesto, ingresa los resultados en el campo indicado, el exponente, la base y pulsa la tecla "enter <┘", verifica tu respuesta oprime el botón solución.
  2. Oprime de nuevo el botón ejercicio y repite el mismo procedimiento, completa tu ejercicio y verifica cuantas buenas obtienes.
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2.3 Radicación

Las expresiones radicales son expresiones que incluyen un radical, el cual es el símbolo de calcular una raíz.

En la nomenclatura de la radicación se tienen las siguientes partes:

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Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación \qquad

2.4 Propiedades de los radicales

Ejemplo 2.1. Potencia de una raíz.

(x23)4=(x23)4=x83=x83(\sqrt[3]{x^2})^4 = (x^\frac{2}{3})^4 = x^\frac{8}{3} = \sqrt[3]{x^8} (x23)4=x83(\sqrt[3]{x^2})^4 = \sqrt[3]{x^8}

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2.5 Operaciones con expresiones radicales

Para operar sumas o restas de expresiones radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando, o sea radicandos semejantes.

Simplificar expresiones radicales.

Para simplificar expresiones radicales con diferente ïndice, buscamos términos exponenciales dentro del radical, aplicamos la descomposición en factores primos y las reglas de los exponentes.

Se debe llevar a un ïndice común (m.c.m.) y se expresa en una sola raíz, simplificando la expresión si es posible, como por ejemplo:

432=423x2232x3=426236=42236=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[3x2]{4^2}}{\sqrt[2x3]{2^3}}=\frac{\sqrt[6]{4^2}}{\sqrt[6]{2^3}}=\sqrt[6]{\frac{4^2}{2^3}}= (2423)16=(2)16=26{\left(\frac{2^4}{2^3}\right)}^{\frac16}={\left( 2 \right)}^{\frac16}=\sqrt[6]{2}
¡Recuerda!, si el radical es de igual ïndice, utilizamos la propiedad del cociente de radicales.

xnyn=xyn\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}

46

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación \qquad

jercicio 2.3.
Operaciones con expresiones radicales.
  1. Oprime el botón ejercicio y soluciona el ejercicio propuesto.
  2. Ingresa el coeficiente numérico, el valor del radical y pulsa la tecla "enter <┘" para verificar tu respuesta oprime el botón solución.
  3. Oprime de nuevo el botón ejercicio y repite el procedimiento, completa tu ejercicio y verifica cuantos buenos obtienes.
Para simplificar una expresión radical, debemos conocer las propiedades de los radicales, ya que en algunas ocasiones, los radicandos se ven diferentes, pero es posible simplificar y obtener el mismo radicando de una manera más simple.
47
jercicio 2.4.
Simplificar expresiones radicales.

Indicaciones
Practica lo aprendido en esta sección, resuelve los 10 ejercicios propuestos.

  1. Para iniciar, oprime el botón ejercicio y resuelve el ejercicio propuesto.
  2. Ingresa el ïndice del radical, el exponente del radical y el exponente del coeficiente, y pulsa la tecla "enter <┘" para verificar tu respuesta oprime el botón solución.
  3. Oprime de nuevo el botón ejercicio y repite el mismo procedimiento, completa tu ejercicio y verifica cuantos buenos obtienes.
48

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación \qquad

2.5.1 Racionalización

La racionalización consiste en eliminar los radicales del denominador.

Una expresión es considerada simplificada solo si no tiene signos de radical en el denominador. Si tenemos un radical en el denominador, tenemos que racionalizar dicho denominador.

Para racionalizar un denominador, se puede presentar:

Ejemplo 2.2. Racionalizar 25\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}

En este caso, se logra multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo radical que tiene el denominador.

25=25.55=25(5)2=255\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{\color{blue}\sqrt{5}}{\color{blue}\sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2}= \frac{2 \sqrt{5}}{5}

Ejemplo 2.3. Racionalizar 3635\displaystyle\frac{3}{6\sqrt[5]{3}}

Para este caso, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo radical que tiene el denominador elevado a la diferencia entre el índice de la raíz y su exponente.

3635=3635.35153515=3635.345345=\frac{3}{6\sqrt[5]{3}}=\frac{3}{6\sqrt[5]{3}}.\frac{\color{blue}\sqrt[5]{3^{5-1}}}{\color{blue}\sqrt[5]{3^{5-1}}}=\frac{3}{6\sqrt[5]{3}}.\frac{\color{blue}\sqrt[5]{3^{4}}}{\color{blue}\sqrt[5]{3^{4}}}= =3345635345=33456355=33456.3=3456=\frac{3\sqrt[5]{3^{4}}}{6\sqrt[5]{3}\sqrt[5]{3^{4}}}=\frac{3\sqrt[5]{3^{4}}}{6\sqrt[5]{3^{5}}}=\frac{\cancel{3}\sqrt[5]{3^{4}}}{6.\cancel{3}}=\frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{6}

49

2.6 Logaritmos

El logaritmo es el exponente de una potencia con cierta base, el logaritmo de un número debe ser positivo, es decir, el número y la base de un logaritmo corresponde a números R\mathbb{R} (números positivos).

El logaritmo de aa en base bb es otra forma de expresar la potenciación con b&gt;0b&gt;0 y aa un número R\mathbb{R} positivo, se denota como:

Si b=10\quad b = 10 \quad entonces log10(a)=log(a)\quad \log_{10} (a) = \log (a),
es conocido como logaritmo decimal, se lee: Logaritmo en base 1010 de aa.


Ejemplo 2.4. Evalúar los logaritmos.
  • log3(81)=4\displaystyle \log_3{(81)} =4 \quad porque 34=3×3×3×3=81\quad \displaystyle 3^4=3\times 3\times 3\times 3=81
  • log(100)=2\displaystyle \log{(100)} =2 \quad porque 102=10×10=100\quad \displaystyle 10^2=10\times 10=100
  • log3(19)=2\displaystyle \log_3{(\frac19)} =-2 \quad porque 32=132=19\quad \displaystyle 3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19
50

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación \qquad

Propiedades de los logaritmos.

Si mm y nn son números positivos y aa es un número R\mathbb{R}, entonces:

  1. logbb=1\log_b{b}= 1
  2. logbbc=c\log_b{b^c}= c.
  3. logb1=0\log_b{1}= 0
  4. logb(mn)=logb(m)+logb(n)\log_b{(m\cdot n)} = \log_b{(m)} + \log_b{(n)}.
  5. logbmn=logb(m)logb(n)\log_b{\frac{m}{n}} = \log_b{(m)} - \log_b{(n)}.
  6. logb(mn)=nlogb(m)\log_b{(m^n)} = n \log_b{(m)}.
  7. logbmn=1mlogb(m)\log_b\sqrt[n]{m} = {\frac{1}{m}}\cdot \log_b(m).


Ejemplo 2.5. Apliquemos propiedades para simplificar la expresión: log5(25)\quad\log_5 (25).

log5(25)=log5(52)=2log5(5)=2(1)=2\log_5 (25)=\log_5(5^2)=2\cdot\log_5(5)=2\cdot(1)=2

Ejemplo 2.6. Apliquemos propiedades para simplificar la siguiente expresión:

log4(2)+log4(32)\log_4{(2)} + log_4{(32)}

Solución.
log4(2)+log4(32)=log4(2.32)=log4(64)\log_4{(2)} + \log_4{(32)} = \log_4{(2.32)} = \log_4 {(64)}

log4(43)=3log4(4)=3(1)=3\log_4{(4^3)} = 3\cdot \log_4{(4)} = 3\cdot(1) = 3

51

2.7 Practiquemos

jercicio 1.
Resuelve y simplifica aplicando las propiedades de potenciación.

Actividad complementaria.
 \space Descargar para imprimir

52

Capitulo II. Potenciación, Radicación y Logaritmación \qquad

jercicio 2.
Resuelve los ejercicios propuesto a continuación.

Indicaciones
Resuelve y simplifica aplicando las propiedades de potenciación.

  1. Selecciona el tipo de ejercicio a solucionar.
  2. Resuelva el ejercicio propuesto y verifica tus respuestas.
  3. Pulsa el botón solución para ver las respuestas.
  4. Si desea realizar otro ejercicio, oprima otro tipo de ejercicio y repite los pasos anteriores.

¡Recuerda!, c=logb(a)\quad \quad \quad c= log_b (a)\quad si y solo si a=bc\quad a= b^c
53

Evalúamos lo aprendido.
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 12 preguntas con límite de tiempo - (12 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo II: Potenciación, radicación y logaritmos.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

\quad Envia tu evalúación
 \space Evalúación: Capítulo II

[4] Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

54

"La vida es buena por sólo dos cosas, descubrir
y enseñar las matemáticas".
Simeon Poisson

55





Capítulo III

Expresiones Algebraicas

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.

DESEMPEÑOS / ESTANDAR
Pensamiento numérico
1.1 M.IV Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. DBA 1, 2.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.2 M.IV Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. DBA 3, 9.
5.3 M.IV Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. DBA 8.

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

3.1 Expresiones algebraicas

Definiciones preliminares

1. Expresión algebraica:

Combinación de números, letras, signos de agrupación, con operaciones indicadas, por ejemplo:

2. Términos en una expresión algebraica:

Se llama término en una expresión algebraica, a cada parte de ella que viene a ser separada por el signo mas (+)( + ) ó el signo menos ()( - ). Los términos están formados por números y letras o expresiones combinadas multiplicadas entre sí (llamados factores).

El término puede tener factor literal y factor numérico o coeficiente numérico o coeficiente del término.

Ejemplo 3.1.
59

3. Términos semejantes:

Aquéllas expresiones que poseen una misma parte, bien sea literal (letras) o radical (raíces), por ejemplo:

Para conocer el valor numérico de una expresión algebraica, se sustituyen las letras (que llamaremos variables) por números reales y se efectúan operaciones que están indicadas.

xploremos.
Ingresa los valores de x,y,zx, y, z y evalúa la expresión propuesta.

60

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

xploremos

Observa las siguientes expresiones algebraicas, pulsa los controles para desplazarse por las diferentes frases y observa la escritura matemáticas de la expresión algebraica.

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

Cuándo un término en apariencia no presenta coeficiente numérico, como en la expresión algebraica "b  4cb \space – \space 4c" en donde bb es el término que en apariencia no presenta coeficiente numérico, se asume la unidad como su coeficiente numérico, donde, el término b=1bb = 1b.

61

xploremos.
Identifica los términos de una expresiones algebraicas.

Indicaciones. Sigue las instrucciones que se muestran en cada pantalla, oprime las flechas para avanzar o retroceder a otra escena.

Proyecto Descartes.org.
[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.

62

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

Para simplificar monomios que se suman o restán, estos deben contener términos semejantes, los coeficientes de cada monomio que tienen la misma parte literal se suman o restán, y se deja igual la parte literal, por ejemplo, simplifiquemos la expresión algebraica

20x2y+12x2y3x2y\quad 20x^2y + 12x^2y - 3x^2y

Término semejante (llamaremos factor común) x2y\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad x^2y.
Operación con los coeficientes 20+123=29\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 20+12-3=29 .

20x2y+12x2y3x2y=29x2y20x^2y + 12x^2y - 3x^2y = 29x^2y

¡Recuerda!, aquéllas expresiones que poseen una misma parte, bien sea literal (letras) o radical (raíces) son términos semejantes.

Ejemplo 3.2.
63
jercicio 3.1.
Simplificar términos semejantes en expresiones algebraicas cuando sea posible.

Actividad complementaria.
 \space Descargar para imprimir

64

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

3.2 Operaciones entre polinomios

¿Que es un polinomios?

Son expresión algebraica con características especiales, así por ejemplo un polinomio en la variable xx, es una expresión de la forma:

P(x) = an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0


El grado de un polinomio P(x)P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable xx.

Elementos de un polinomio:

  • nn es un entero no negativo.
  • an, an-1, an-2, …, a1, a0 son números reales.
  • an, an-1, an-2, …, a1 son coeficientes del polinomio.
  • an es el coeficiente principal.
  • a0 es el término independiente.
Ejemplo 3.3. Elementos de un polinomio:
65
Algunos polinomios reciben nombres especiales de acuerdo con el número de términos que posean, por ejemplo:
Monomio (un termino) 5x2\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 5x^2
Binomio (dos términos) 2b+3\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 2b +3
Trinomio (tres términos) 3y22y+5 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 3y^2-2y+5



3.2.1 Suma y resta de polinomios

Veamos el proceso para sumar dos polinomios, sean P1(x)P_1(x), P2(x)P_2(x):

P1(x)=x3+2x25x+7P_1(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 7 P2(x)=4x35x2+3P_2(x) = 4x^3 – 5x^2 + 3

  1. Se coloca el primer polinomio y a continuación se le suma o adiciona el segundo polinomio.

    P1+P2=(x3+2x25x+7)+(4x35x2+3)P_1 + P_2 = ( x^3 + 2x^2 – 5x + 7 ) + ( 4x^3 – 5x^2 + 3 )

  2. Se eliminan signos de agrupación ( paréntesis, llaves, corchetes )

    P1+P2=x3+2x25x+7+4x35x2+3P_1 + P_2 = x^3 + 2x^2 – 5x + 7 + 4x^3 – 5x^2 + 3

    Si a un signo de agrupación (paréntesis, llaves, corchetes) lo antecede un signo mas (+), al eliminar el signo de agrupación, todos los términos que haya dentro de él quedarán con los mismos signos, pero si al signo de agrupación lo antecede un signo menos (-), o sea en la resta, al eliminar el signo de agrupación todos los términos dentro de éste cambian de signo.

66

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

  1. Realizar las sumas o restas de términos semejantes, los que no son semejantes se dejan igual, luego organizar los términos en orden creciente o decreciente para la variable si es el caso.

    P1+P2=(x3+4x3)+(2x25x2)5x+(7+3)P_1 + P_2 =( x^3 + 4x^3 ) + ( 2x^2 – 5x^2 ) – 5x + ( 7 + 3 )

    Por lo tanto, el resultado de la suma de P1+P2P_1 + P_2 es:

    P1+P2=5x33x25x+10P_1 + P_2 = 5x^3 - 3x^2 – 5x + 10

xploremos.
Dados los polinomios P1(x)P_1(x), P2(x)P_2(x) de grado 3, observa la suma entre ellos, oprime el botón otro ejemplo para ver diferentes polinomios.

Se pueden operar dos o más polinomios al mismo tiempo, se suman o restán los términos semejantes de cada polinomio.
67

xploremos.
Polinomios - suma y resta de expresiones algebraicas.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Sigue las instrucciones que se muestran en cada pantalla, oprime las flechas para avanzar o retroceder a otra escena.

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[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.

68

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

3.2.2 Producto de monomios entre si

  1. Se multiplican los coeficientes numéricos de los términos, aplicando ley de signos:

    Signos iguales
    Signos diferente
    (+)(+)=(+)( + ) \cdot ( + ) = ( + )
    ()()=(+)( - ) \cdot ( - ) = ( + )
    (+)()=()( + ) \cdot ( - ) = ( - )
    ()(+)=()( - ) \cdot ( + ) = ( - )
  2. Se aplica a la parte literal propiedades de potenciación, producto de potencias de bases iguales:

    bmbn=bm+n b^m b^n = b^{m+n}

Ejemplo 3.4. Producto de monomios, simplificar:
69

3.2.3 Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios entre sí, se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por todo el segundo polinomio, ejemplo:

(3x+4)(5x7)=3x(5x7)+4(5x7)(3x + 4) \cdot (5x – 7) = 3x \cdot(5x – 7) + 4 \cdot (5x – 7)

Se aplica propiedad distributiva.

=[(3x)(5x)7(3x)]+[4(5x)(4)(7)]= [ (3x) \cdot (5x) – 7 \cdot (3x) ] + [ 4 \cdot (5x) – (4) \cdot (7) ]

En la parte literal, aplicamos el producto de potencias de igual base:

bmbn=bm+n b^m b^n = b^{m+n}


Suma de términos semejantes.

=15x221x+20x28= 15x^2 – 21x + 20x – 28

por tanto, el producto de los polinomios es:

(3x+4)(5x7)=15x2x28(3x + 4) \cdot(5x – 7) = 15x^2 – x – 28

Se debe tener en cuenta la ley de signos entre los términos a multiplicar, donde los positivos son aquéllos términos que los antecede un signo mas ( + ) ó aquéllos términos que en apariencia no poseen signo que los anteceda; y los negativos son aquéllos términos que los antecede un signo menos ( - ).

70

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

xploremos.
Binomios - multiplicación y división de expresiones algebraicas.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Sigue las instrucciones que se muestran en cada pantalla, oprime las flechas para avanzar o retroceder a otra escena.

Proyecto Descartes.org.
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Modalidad en el sistema Educativo de México.

71

3.3 Productos notables

Productos que tienen su base en la potenciación de polinomios.

1. Cuadrado de la suma de dos términos

Corresponde al cuadrado del primer término, mas el doble producto del primer término por el segundo término, mas el cuadrado del segundo término, veamos como se genera:

(a+b)2=(a+b).(a+b)(a + b)^2 = (a + b) . (a + b) \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Definición de potencia

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


Ejemplo 3.5.

(2m+3)2=(2m)2+2.(2m).(3)+(3)2=4m2+12m+9(2m + 3)^2 = (2m)^2 + 2 . (2m) . (3) + (3)^2 = 4m^2 + 12m + 9

2. Cuadrado de la diferencia de dos términos

Corresponde al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo término, mas el cuadrado del segundo término, veamos como se genera:

(ab)2=(ab).(ab)(a - b)^2 = (a - b) . (a - b) \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Definición de potencia

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2


Ejemplo 3.6.

(y5x)2=(y)22.(y).(5x)+(5x)2=y210xy+25x2(y - 5x)^2 = (y)^2 - 2 . (y) . (5x) + (5x)^2 = y^2 - 10xy + 25x^2

72

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

Si se tienen tres o más términos elevados al cuadrado, se agrupan de tal forma que formen un binomio y se aplica la misma definición:

(a + b + c)2 = [( a + b ) + c]2

(a + b + c)2 = a2 + b2 +c 2+ 2ab + 2ac + 2b


xploremos.
Aplicación de productos notables.

Escribe los valores de los coeficientes, los exponentes, pulsa "enter <┘" y observa el resultado cuando tiene diferentes exponentes dentro de los términos del binomio.

Observa la descomposición al modificar los valores de los coeficientes aa y bb, los exponentes nn y mm para obtener el binomio (axn+bym)2(ax^n + by^m )^2.

73

xploremos.
Productos notables y factorización.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Sigue las instrucciones que se muestran en cada pantalla, oprime las flechas para avanzar o retroceder a otra escena.

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Modalidad en el sistema Educativo de México.

74

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

3. Potencias de binomios


Los binomios se desarrollan de la siguiente forma:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4


Detallando el desarrollo de los binomios se tiene que:

  1. El número de términos del resultado es uno más que el exponente del binomio.
  2. El exponente del primer y último término del binomio, son iguales al exponente del binomio.
  3. El exponente de “aa” disminuye de uno en uno en cada término y en cambio “bb” aumenta de uno en uno para cada término.
  4. Todos los términos del desarrollo de cada binomio son positivos, pero fueran de la forma (ab)2,(ab)3,(ab)4,,(a – b)^2, (a – b)^3, (a – b)^4,…, los signos alternarían : (+),(),(+),(),( + ), ( - ), ( + ), ( - ), …
  5. Al analizar los coeficientes numéricos para cada término del desarrollo de un binomio se observa que son simétricos.

75

Triángulo de Pascal.

Los términos simétricos tienen los mismos coeficientes, la simetría de los términos permite disponer los coeficientes de cada binomio en forma de un triángulo como se muestra a continuación:


Con el triángulo de Pascal, se deduce:

  • Los coeficientes de los términos del extremo son iguales a uno.
  • Sumando dos coeficientes seguidos de una fila, se obtiene un coeficiente de la fila siguiente.
Ejemplo 3.7. Descomposición del binomio (m2n)5(m – 2n)^5

(m)55(m)4(2n)+10(m)3(2n)210(m)2(2n)3+5(m)(2n)4(2n)5(m)^5 – 5(m)^4(2n) + 10(m)^3(2n)^2 – 10(m)^2(2n)^3+ 5(m)(2n)^4 – (2n)^5

(m2n)5=m510m4n+40m3n280m2n3+80mn432n5(m – 2n)^5 = m^5 – 10m^4n + 40m^3n^2 – 80m^2n^3 + 80mn^4 – 32n^5

76

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

3.4 División de polinomios

1. División de monomios


Para dividir dos monomios:

  1. Se dividen los coeficientes, aplicando la ley de los signos.
  2. En la parte literal, se le aplica la propiedad de división de potencias de igual base:

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable (letra) correspondiente del divisor.

En la división de los coeficientes de cada monomios también se aplica la ley o regla de los signos, ya que la división algebraica de monomios consiste en una operación aritmética.

¡Recuerda!, la división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente la división (el cociente) de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
77
jercicio 3.2.
División de monomios, simplificar:

Simplifique la siguiente expresion algebraica que contienen división entre monomios.

Indicaciones.

  1. Resuelve el ejercicio propuesto
  2. Oprime el botón solución para verificar el procedimiento.
  3. De nuevo, oprime el botón otro ejercicio para un ejercicio nuevo y repite los pasos.

78

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

2. División de un polinomio por un monomio


Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la ley de signos y las propiedades de la potencia de bases iguales.

Ejemplo 3.8. División de un polinomio por un monomio.

3. División de un polinomio por otro polinomio


Tengamos en cuenta los siguientes pasos:

  1. Ordenamos los polinomios en orden decreciente.
  2. Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor, para obtener el primer término del cociente.
  3. Multiplicamos este primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor y el resultado lo restamos del dividendo, así obtenemos un dividendo parcial.
  4. Continuamos a partir de este dividendo parcial, conforme lo indicamos en los paso 2 hasta obtener un residuo de menor exponente que el divisor.
  5. Si el resultado es cero la división es exacta.

79

Para hacer la división, se dividen los monomios de mayor grado, luego, se multiplican cambiando de signo, y se suman, este proceso se repite hasta obtener un resto de grado menor que el del divisor.

La división de polinomios debe cumplir dos condiciones:

  1. Dividendo=(divisor)(cociente)+restoDividendo = (divisor)(cociente) + resto
  2. Grado(resto)&lt;Grado(divisor)Grado(resto)&lt;Grado(divisor)

El grado del cociente es la resta del grado del dividendo y del divisor; cuando el resto es cero, el divisor divide exactamente al dividendo. Observemos por medio de la escena la división de polinomios:

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

80

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

División de polinomios con los coeficientes.

Se escriben los coeficientes del dividendo y del divisor, se dividen los primeros coeficientes, se multiplica el resultado por el divisor del último coeficiente y se resta al dividendo.

xploremos.
Observa los tres niveles de la escena:

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

81

3.5 Practiquemos

jercicio 1.

Simplifique la siguiente expresion algebraica que contienen operaciones de sumas, restas, productos, cocientes o potencias.

Indicaciones.

  1. Resuelve el ejercicio propuesto, oprime el botón solución y verificar la respuesta.
  2. De nuevo oprime el botón ejercicio para otro ejercicio.

82

Capitulo III. Expresiones algebraicas \qquad

jercicio 2.

Mide tus conocimientos en la siguiente actividad interactiva.

Ten cuidado al soltar el objeto, es posible que quede debajo de otro, si esto ocurre, aparecerá un cuadrado de color verde.

Proyecto Descartes.org.
[4] Tomada de Plantillas con Descartes-JS

83

Evalúamos lo aprendido.
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 10 preguntas con límite de tiempo - (10 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo III: Expresiones algebraicas.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

\quad Envia tu evalúación
 \space Evalúación: Capítulo III

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
[4] Plantillas con Descartes-JS

84

"Las matemáticas consisten en demostrar
las cosas más obvias de la forma menos obvia".
George Polye

85
Capítulo IV

Factorización




DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

DBA.5. Utiliza teoremas, propiedades y relaciones geométricas (teorema de Tales y el teorema de Pitágoras) para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.

DESEMPEÑOS / ESTANDAR

Pensamiento espacial
2.4 M.IV Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. DBA 5.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.2 M.IV Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. DBA 3, 9.


El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo IV. Factorización \qquad

4.1 Casos de factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de otros polinomios que tengan menor grado que éste. Casos de factorización:

4.1.1 Factor común

Hace referencia al término común de un polinomio, pueden ser factores numéricos o factores literales. Para encontrar el factor común, se realiza lo siguiente:

  1. Encontrar el factor común numérico que corresponde al M.C.DM.C.D de los coeficientes del polinomio común.
    (MCDMCD \to factores comunes elevados a su menor exponente).
  2. El factor común literal está conformado por aquellas letras que están elevadas a su menor exponente.
  3. El factor común para el polinomio corresponde a la multiplicación del factor común numérico con el factor común literal.
Ejemplo 4.1. Factorización por factor común.
89
Ejemplo 4.2.

Encontrar el factor común para el polinomio: 3m36m2n3m^3 – 6m^2n

Factor común numérico: MCD(3,6)=3\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad MCD (3,6) = 3
Factor común literal: m2\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad m^2
por tanto, el factor común del polinomio es : 3m36m2n=3m2\quad 3m^3 – 6m^2n = 3m^2


xploremos.

Veamos por medio de un paso a paso como hallar el factor común de un polinomio, pulsa en botón para cada paso y sigue las instrucciones.

90

Capitulo IV. Factorización \qquad

Una vez encontrado el factor común a los términos del polinomio, se procede a encontrar los términos que quedan al sacar el factor común, dividiendo cada término del polinomio por este factor, quedando en ésta forma factorizado completamente el polinomio.

Ejemplo 4.3.

4.1.2 Diferencia de cuadrados

Se caracteriza por ser una diferencia (resta) entre dos términos que poseen raíz cuadrada exacta.

Ejemplo 4.4. Factorización por diferencia de cuadrados.

Expresar la raíz cuadrada de cada termino.

9a2b29a^2 – b^2

Raíz cuadrada del primer término 3a\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 3a
Raíz cuadrada del segundo término b\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad b

91

Una diferencia de cuadrados se factoriza como la suma de las raíces cuadradas, multiplicada por la diferencia de las mismas, simbólicamente se tiene:

a2 – b2 = ( a + b )( a – b )


Ejemplo 4.5.

Factorizar: 25p24q2\quad 25p^2-4q^2

25p24p2\sqrt{25p^2}\qquad \sqrt{4p^2}\quad
5p2q\quad 5p \qquad \qquad 2q \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Raiz cuadrada de cada termino

Por tanto, 25p24q2=(5p2q)(5p+2q)\quad 25p^2-4q^2=(5p-2q)(5p+2q)

jercicio 4.1.
Factorizar los siguientes polinomios si es posible.

92

Capitulo IV. Factorización \qquad

xploremos.
Productos notables y factorización.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Sigue los pasos para la demostración gráfica.

Proyecto Descartes.org.
[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.

93

4.1.3 Trinomio de la forma x2+bx+cx^2 + bx + c

El trinomio de la forma x2+bx+cx^2 + bx + c, siempre que x2+bx+c=0x^2 + bx + c=0 tenga solución, equivale al producto de dos binomios o factores, estos trinomios se factorizan de la siguiente forma:

x2 + bx + c = ( x + p )( x + q )


Donde el primer término de cada binomio, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio "xx" y los segundos términos de cada binomio son los números pp y qq, donde

La suma p+q=b\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad p + q = b

El producto pq=c\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad p\cdot q = c

Simbólicamente se tiene:

x2+bx+c=(x+p)(x+q)x^2 + bx + c = ( x + p )( x + q )\quad donde, x2=x,b=p+q,c=p.q\sqrt{x^2}=x, \qquad b=p+q, \qquad c=p.q


Ejemplo 4.6. Factorizar x2+8x+15\quad x^2 + 8x + 15

x2+8x+15=(x+3)(x+5)x^2 + 8x + 15 = ( x + 3 )( x + 5 ) \quad entonces, x2=x,8=3+5,15=(3).(5)\sqrt{x^2}=x, \qquad 8=3+5, \qquad 15=(3).(5)

94

Capitulo IV. Factorización \qquad

jercicio 4.2.
Practiquemos factorizando algunos trinomios, si es posible.

Ingresa los coeficientes p,qp, q, pulsa la tecla "enter <┘", cambia los signos de cada factor con el botón + o - y oprime el botón verificar

Se puede presentar el trinomio con la forma: \quadx2n + bxn + c


Ejemplo 4.7. Factorizar x4x26\quad x^4 – x^2 – 6

Se factoriza de igual manera, donde,

{b=(3+2)=1c=(3)(2)=6\begin{cases} b = (-3 + 2) = -1 \\ c = (-3)(2) = -6 \end{cases} x4x26=(x23)(x2+2)\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad x^4 – x^2 – 6 = ( x^2 - 3 )( x^2 + 2 )

95

4.1.4 Trinomio de la forma ax2+bx+cax^2 + bx + c

Estos trinomios se factorizan de la siguiente forma:

Se caracterizan por ser muy parecidas a la forma x2n+bxn+cx^{2n} + bx^n + c, con la diferencia de que la variable x2nx^{2n} ya tiene un coeficiente "aa" diferente de cero y uno.


Ejemplo 4.8. Trinomios de la forma ax2+bx+cax^2 + bx + c:

2x2+7x152x^2 + 7x – 15, 3x2+17x+10,\quad 3x^2 + 17x + 10, 5x217x+6\quad 5x^2 – 17x + 6

Al factorizar trinomios de la forma x2n+bxn+cx^{2n} + bx^n + c se llevan a la forma y2n+byn+cy^{2n} + by^n + c, donde se resuelven como en el caso anterior.

Simbólicamente se tiene que:

ax2n+bxn+cax^{2n} + bx^n + c \quad \to \quad trinomio dado,

a(x2n+bxn+c)a\displaystyle \frac{a(x^{2n} + bx^n + c)}{a} \quad \to \quad multiplicamos y dividimos por aa,

ax2n+(a)bxn+a.ca\displaystyle \frac{ax^{2n} + (a)bx^n + a.c}{a} \quad \to \quad aplicamos propiedad distributiva,

El primer termino de cada binomio será: (axn+p)(axn+q)\quad ( ax^n + p )( ax^n + q )

por tanto, (axn)2+b(axn)+ac=(axn+p)(axn+q)\quad (ax^n)^2 + b(ax^n) + ac = ( ax^n + p )( ax^n + q ),

donde (axn)2=axn,b=p+q,ac=pq\quad \sqrt{(ax^n)^2}=ax^n, \qquad b=p+q, \qquad a\cdot c=p \cdot q

96

Capitulo IV. Factorización \qquad

Ejemplo 4.9. Factorizar 3x2+17x+10\quad 3x^2 + 17x + 10

Multiplicamos y dividimos por 333(x2+17x+10)3 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \frac33 \cdot (x^{2} + 17x + 10)

Aplicamos propiedad distributiva 3x2+17(3x)+303\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \displaystyle \frac{3x^{2} + 17(3x) + 30}{3}

{17=15+230=(15)(2)(3x+15)(3x+2)3=3(x+5)(3x+2)3\begin{cases} 17=15+2 \\ 30=(15)(2) \end{cases} \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \displaystyle \frac{(3x+15)(3x+2)}{3} = \frac{3(x+5)(3x+2)}{3}
  3x2+17x+10=(x+5)(3x+2)\qquad \qquad \qquad \space \space \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 3x^2 + 17x + 10=(x+5)(3x+2)

jercicio 4.3.
Factorizar los trinomios de la forma ax2+bx+cax^2 + bx + c.

Ingresa los coeficientes c1,c2,p,qc_1, c_2, p, q, pulsa la tecla "enter <┘", cambia los signos de cada factor con el botón + o - y oprime el botón verificar

97

xploremos.
Productos notables y factorización.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Utilizar la piezas dadas para formar un rectángulo del área dada.

Proyecto Descartes.org.
[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.

98

Capitulo IV. Factorización \qquad

4.1.5 Suma de cubos

Se trata de suma entre dos términos cuya característica es que pueden expresarse como cantidades que se pueden elevar al cubo, por lo tanto cada término posee raíz cúbica exacta.

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)


Para factorizar una suma de cubos, se tiene en cuenta lo siguiente:

  1. Una suma de cubos es igual al producto de un binomio (dos términos) por un trinomio (tres términos).
  2. El binomio está formado por la suma de las raíces cúbicas.
  3. El trinomio consta de: cuadrado de la primera raíz, producto de las dos raíces y cuadrado de la segunda raíz.
  4. Los signos del trinomio son: (+),(),(+)( + ) , ( – ) , ( + ).

Ejemplo 4.10.

Se tiene que: x3+27=x3+33\quad x^3 + 27 = x^3 + 3^3

Raíz cúbica del primer término x\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad x
Raíz cúbica del segundo término 3\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 3


Ejemplo 4.11. Factorizar y3+64x3\quad y^3 + 64x^3

{y33=y64x33=4x,\begin{cases}\sqrt[3]{y^3}=y \\ \sqrt[3]{64x^3}=4x \end{cases},\quad donde (y+4x)(y24xy+16y2)\quad (y + 4x)(y^2 - 4xy + 16y^2)

99

4.1.6 Diferencia de cubos

Se trata de resta entre dos términos cuya característica es que pueden expresarse como cantidades que se pueden elevar al cubo, por lo tanto cada término posee raíz cúbica exacta.

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)


Para factorizar una diferencia de cubos, se tiene en cuenta lo siguiente:

  1. Una diferencia de cubos es igual al producto de un binomio (dos términos) por un trinomio (tres términos).
  2. El binomio está formado por la diferencia de las raíces cúbicas.
  3. El trinomio consta de: cuadrado de la primera raíz, producto de las dos raíces y cuadrado de la segunda raíz.
  4. Los signos del trinomio son: (+),(+),(+)( + ) , ( + ) , ( + ).

Ejemplo 4.12. Se tiene que: p38k3=p3(2k)3\quad p^3 - 8k^3 = p^3 - (2k)^3

Raíz cúbica del primer término p\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad p
Raíz cúbica del segundo término 2k\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 2k


Ejemplo 4.13. Factorizar y364x3\quad y^3 - 64x^3

{y33=y64x33=4x,\begin{cases}\sqrt[3]{y^3}=y \\ \sqrt[3]{64x^3}=4x \end{cases},\quad donde (y4x)(y2+4xy+16y2)\quad (y - 4x)(y^2 + 4xy + 16y^2)

100

Capitulo IV. Factorización \qquad

Ahora, veamos algunos ejemplos de la factorización de suma y diferencia de cubos.

4.1.7 Factorización por agrupación

Algunos polinomios no se pueden factorizar directamente, mediante la aplicación de los casos vistos hasta ahora, sino que es necesario agrupar adecuadamente los términos antes de factorizar

Ejemplo 4.14. Factorizar el polinomio.
101

4.2 Practiquemos

jercicio 1.
Factorizar los polinomios si se posible.

Actividad complementaria.
 \space Descargar para imprimir

102

Capitulo IV. Factorización \qquad

jercicio 2.

Mide tus conocimientos de lo aprendido en esta sección y resuelve la actividad interactiva siguiente.

Indicaciones
Factorizar diferencia de cuadrados.

Arrastrar las imágenes al recuadro en el orden que se realiza la factorización, ten presente que no queden imágenes montadas.

Proyecto Descartes.org.
[4] Tomada de Plantillas con Descartes-JS

103

Evalúamos lo aprendido
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 10 preguntas con límite de tiempo -
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo IV: Factorización.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

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Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
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104

"Ninguna investigación humana puede ser llamada verdadera
ciencia si no puede ser demostrada matemáticamente".

Leonardo da Vinci

105
Capítulo V

Operaciones Algebraicas




DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.3. Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones..

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 8°.


DESEMPEÑOS / ESTANDAR

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.2 M.IV Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. DBA 3, 9.
5.3 M.IV Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. DBA 8.



El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo V. Operaciones Algebraicas \qquad

5.1 Fracciones racionales

5.1.1 Simplificación de fracciones aritméticas

¡Recuerda!, para simplificar fracciones, escribimos el numerador y el denominador como un producto de factores y cancelamos los factores comunes a ambos.

Una fracción aritmética está simplificada cuando el único factor común al numerador y al denominador es el número "11".


Ejemplo 5.1. Simplificación de una fracción aritmética.

Para simplificar, cancelamos los factores comunes al numerador y al denominador.

Cuándo el denominador de una fracción es cero "00" se dice que la fracción no existe o no está definida.

¡Cuidado! No podemos simplificar términos de una suma, sólo factores multiplicativos.
109

5.1.2 Simplificación de fracciones racionales

Al igual que las fracciones aritméticas, decimos que una fracción algebraica está simplificada, cuando el único factor común al numerador y al denominador es el número "11", es decir, cuando el numerador y el denominador sean primos entre sí.

Para simplificar fracciones algebraicas procedemos de la forma:

  1. Factorizamos el numerador y el denominador.

  2. Suprimimos los factores comunes al numerador y denominador. ¡Cuidado!, no podemos cancelar sumandos).

Ejemplo 5.2.

En ocasiones, se requiere cambiar el orden de los términos de uno o varios factores, como en el ejemplo 2, el orden del factor (x6)(x – 6), por eso se le antecedió con un signo menos antes del parentesis y se cambió el orden de los términos dentro del parentesis, quedando (6x)-(6 - x).
110

Capitulo V. Operaciones Algebraicas \qquad

jercicio 5.1.
Simplificar de fracciones racionales
Indicaciones

  1. Primero selecciona el tipo de expresión a simplificar, luego, soluciona la expresión racional dada, verifica haciendo clic en el botón solución.
  2. Por último, realiza el mismo procedimiento para otro ejercicio.

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

111

5.2 Operaciones entre fracciones racionales

5.2.1 Suma y diferencia de fracciones racionales

Para sumar o restar fracciones racionales hacemos lo siguiente:

  1. Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores.
  2. Dividimos el m.c.m. encontrado entre el denominador de cada fracción y lo multiplicamos por el numerador respectivo.
  3. Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos el resultado, si es posible.

Ejemplo 5.3.

Simplificar x+3+6x5\quad\displaystyle x+3+\frac{6}{x-5}

Expresamos el término (x+3)(x+3) como un fracción, se coloca de denominador un "11", y se opera con la otra fracción:

x+31+6x5=(x+3)(x5)+6x5=\quad\displaystyle \frac{x+3}{1}+\frac{6}{x-5}= \frac{(x+3)(x-5) + 6}{x-5}=

Aplicamos propiedad distributiva y se agrupan los términos semejantes, se verifica si es posible simplificar la expresión final obtenida.

x2+3x5x15+6x5=x22x9x5\quad\displaystyle \frac{x^2+3x-5x-15+6}{x-5}=\frac{x^2-2x-9}{x-5}

112

Capitulo V. Operaciones Algebraicas \qquad

jercicio 5.2.
Simplifiquemos expresiones racionales de suma y diferencia

5.2.2 Producto de fracciones racionales

Para multiplicar fracciones racionales hacemos lo siguiente:

  1. Factorizamos los numeradores y denominadores, si es posible.
  2. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.
  3. Suprimir (cancelar) los factores comunes que aparezcan entre el numerador y el denominador de las fracciones.
¡Recuerda!, la multiplicación de fracciones es:
abcd=acbdNumeradores entre siDenominadores entre si\quad\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \frac{Numeradores \space entre \space si}{Denominadores \space entre \space si}

113
Ejemplo 5.4.
Multipliquemos y simplifiquemos la siguiente fracción racional:

jercicio 5.3.
Simplificar productos de fracciones racionales

Resuelva el ejercicio propuesto, oprima el botón solución, verifique el procedimiento, para un nuevo ejercicio, oprima el botón ejercicio y repita los pasos.

114

Capitulo V. Operaciones Algebraicas \qquad

5.2.3 División de fracciones racionales

Para dividir fracciones racionales hacemos lo siguiente:

  1. En primer lugar, la segunda fracción se cambia por su inverso multiplicativo, conviertiendo la división en una multiplicación.
  2. Se continua con el mismo proceso de la multiplicación, factorizamos todos los numeradores y los denominadores.
  3. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.
  4. Suprimir (cancelar) los factores comunes que aparezcan entre el numerador y el denominador de las fracciones.

Ejemplo 5.5.
Dividamos y simplifiquemos la siguiente fracción racional:

¡Recuerda!, en la división de fracciones, se multiplica en cruz o multiplicamos por el inverso multiplicativo de la 2° fracción:

ab÷cd=ab×dc=adbc\quad\displaystyle \frac{a}{b} \div \color{blue}{\frac{c}{d}}\color{black} = \frac{a}{b} \times \color{blue}{\frac{d}{c}}\color{black}=\frac{a \cdot d}{b \cdot c}
115
jercicio 5.4.
Simplifiquemos divisiones de expresiones racionales.

Resuelva el ejercicio propuesto, oprima el botón solución para verificar el procedimiento, para un nuevo ejercicio, oprima el botón ejercicio y repita los pasos.

¡Recuerda!, usar el mismo proceso para multiplicar y dividir expresiones racionales que el que se utiliza para multiplicar y dividir fracciones numéricas. ¡El proceso es el mismo, aunque las expresiones se vean diferentes!, por ejemplo:
  • 85106=81056=2425523=83\displaystyle \frac{8}{5} \cdot \frac{10}{6} = \frac{8 \cdot 10}{5 \cdot 6}=\frac{\cancel{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 3}= \frac{8}{3}
  • 152÷56=152×65=15625=533225=91=9\displaystyle \frac{15}{2} \div \frac{5}{6} = \frac{15}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{15 \cdot 6}{2 \cdot 5}=\frac{\cancel{5} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{5}}= \frac{9}{1} =9
116

Capitulo V. Operaciones Algebraicas \qquad

5.3 Practiquemos

jercicio 1.

Simplifica las expresiones racionales dadas que contienen sumas, restas, productos o divisiones.

Indicaciones.

  1. Resuelve el ejercicio propuesto
  2. Oprime el botón solución para verificar el procedimiento.
  3. Para un nuevo ejercicio, oprime el botón ejercicio y repita los pasos.
117

jercicio 2.

Simplifica las expresiones racionales dadas que contienen diferentes operaciones básicas como: sumas, restas, productos o divisiones.

1. Simplifica las expresiones racionales con contienen sumas y restas.


118

Capitulo V. Operaciones Algebraicas \qquad

2. Simplificar productos con expresiones racionales:

3. Simplificar divisiones con expresiones racionales.


Actividad complementaria.
 \space Descargar para imprimir

119

Evalúamos lo aprendido.
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 5x2 preguntas con límite de tiempo - (25 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo V: Operaciones Algebraicas.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

\quad Envia tu evalúación
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Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
[4] Plantillas con Descartes-JS

120

"La matemática es la reina de la ciencia,
y la aritmética la reina de la matemática".

Carl Friedrich Gauss

121
Capítulo VI

Ecuaciones

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 9°.

DESEMPEÑOS / ESTANDAR

Pensamiento numérico
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 1, 2.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.1 M.IV Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. DBA8, 9
5.5 M.IV Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. DBA2, 8.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

6.1 Ecuaciones

6.1.1 ¿Que es una ecuación?

Una ecuación consta de dos expresiones algebraicas relacionadas mediante una igualdad que contiene uno o más números desconocidos llamados incógnitas, por ejemplo:

6x23x+2=5x13(1) 6x - \frac{2}{3}x +2 = 5x - \frac{1}{3} \qquad (1)

La expresión a la izquierda del igual se conoce como primer miembro de la ecuación y la del lado derecho como segundo miembro de la ecuación.

Habitualmente a la incógnita la representamos con la letra xx, que denominamos variable, en este caso, es una ecuaciones con una sola incógnita (letra en la ecuación).

Cualquier valor de la variable x\color{blue}x que haga verdadera la igualdad se llama solucioˊn\color{blue}solución de la ecuación: 6(7)23(7)+2=5(7)13\color{blue} 6(-7) - \frac{2}{3}(-7) +2 = 5(-7) - \frac{1}{3} 1063=1063\color{blue}\qquad \qquad - \frac{106}{3} = - \frac{106}{3} por lo tanto, x=7\color{blue}x = -7 es solución de la ecuación (1).

Se puede presentar que en algunas ecuaciones se obtienen varias soluciones y se conocen como conjunto solución o raíces de la ecuación.

125

6.2 Ecuaciones lineales con una incógnita

Solucionar una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hacen verdadera la igualdad, transformando la ecuación a un equivalente de la forma x=a\color{blue}x = a utilizando diferentes propiedades, donde a\color{blue}a es solución o raíz de la ecuación original.

Para encontrar las soluciones de una ecuación, intentamos aislar la incógnita en uno de los miembros usando propiedades de los números reales y sus operaciones de forma que conserven la igualdad, observa el proceso de solución de la ecuación (1).

6x23x+2=5x13 6x - \frac{2}{3}x + 2 = 5x - \frac{1}{3} 18x2x+6=15x1 18x - 2x + 6 = 15x - 1 18x2x15x=61 18x - 2x - 15x = -6 - 1 x=7 x = -7 ¿Identificas cada paso? (Ver explicación).

Las ecuaciones son nombradas según el grado, el cual corresponde al grado del polinomio, por ejemplo:

18x2=6 \qquad 18x - 2 = -6 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Ecuación de primer grado o lineal.

126

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

¡Recuerda!, llamamos solución de la ecuación a los valores de x\color{blue}x que al sustituirlos en la ecuación resultan en una igualdad numérica. Decimos, entonces, que tal valor satisface la ecuación.


Observa la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita:

46x=2x4(x1) 4 - 6x = -2x -4(x-1) 46x=2x4x+4 4 - 6x = -2x -4x + 4 6x+6x=44-6x + 6x = 4 - 4 0=0\qquad 0 = 0

Cualquier valor que tome la incógnita, es solución de la ecuación:

Si x=146(1)=2(1)4((1)1)\quad x = 1 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 4 - 6(1) = -2(1) -4((1)-1)
 2=2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\space -2 = -2

Si x=346(3)=2(3)4((3)1)\quad x = -3 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 4 - 6(-3) = -2(-3) -4((-3)-1)
22=22\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 22 = 22

Por tanto, el conjunto solución son todos los números Reales (R\mathbb{R})

¡Recuerda!, Si quieres comprobar tu solución, sustituye la incógnita en la ecuación y debes obtener una igualdad.
127

De lo anterior, podemos deducir que una ecuación de primer grado con una incógnita, su solución puede ser:

  • Una única solución o raíz.
  • No tener solución.
  • Tener infinitas soluciones, ¿Cuándo se presenta esto?


jercicio 6.1.
Ecuaciones lineales con una incógnita.

  1. Resuelve la ecuación propuesta.
  2. Oprime el botón solución verifica el resultado, para un nuevo ejercicio, oprima el botón ejercicio y repita los pasos.

128

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

6.2.1 Situaciones problema con ecuaciones lineales

¿Estrategia para enfrentar una situación problema?

Si las variables que aparecen en un problema están relacionadas mediante una formula determinada, el problema se reduce a despejar y sustituir valores.

Algunas veces, las relaciones entre las variables del problema no vienen dadas en ninguna formula y es necesario determinar una ecuación que exprese la relación.

Para hacerlo es necesario estar bien familiarizado con el lenguaje cotidiano y expresarlo en forma adecuada por medio de expresiones algebraicas en lenguaje matemático.

Para la resolución de una situación problema, se tienen el siguiente método de análisis:

Método de resolución de problemas de Polya.

Método que fue generalizado por el matemático George Pólya para analizar situaciones problema en cuatro pasos.

Figura 6.1. Método de Polya.
129

Al intentar resolver un problema es útil aplicar los siguientes pasos:

  1. COMPRENDE, leer el problema cuidadosamente.

    Generalmente es necesario leer varias veces el problema hasta estar seguro de entender el significado y poder realizar la situación.

    En esta etapa no es necesario escribir ni formular ecuaciones, pero es conveniente en algunos casos hacer un diagrama que ilustre la situación planteada y ayude a entender el problema.

  2. RESUELVE, expresar la informacion en el lenguaje algebraico.

    En este punto, se deben expresar las condiciones y datos del problema en el lenguaje algebraico, con lo que obtenemos una o varias ecuaciones.

  3. PLANIFICA, resolver la o las ecuaciones.

    Resolvemos las ecuaciones empleando los métodos ya conocidos para resolverlas.

  4. COMPRUEBA, verificar la solucion.

    Es conveniente verificar que la solución obtenida satisface las condiciones del problema dado.




Lista de chequeo.
Método de resolución de problemas

130

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

Pasos y preguntas orientadoras
para la resolución de problemas.


Preguntas orientadoras.
Método de resolución de problemas

131

6.2.2 Problemas que contienen ecuaciones lineales

Es conveniente estar familiarizado con la forma de expresar algebraicamente gran cantidad de expresiones que con frecuencia se presentan en la cotidianidad.

Por ejemplo, símbolos como =,&lt;,&gt;,+=, &lt;, &gt;, + en otros, hacen parte de nuestro lenguaje, analicemos los siguientes frases expresadas en forma algebraica, donde "xx" representa un número indeterminado.

El triple de un número 3x\color{blue}3x
Un número aumentado en 3 x+3\color{blue}x + 3
La tercera parte de un número x3\color{blue}\frac{x}{3}
Tres enteros consecutivos x\color{blue}x, &ThickSpace;&ThickSpace;(x+1)\color{blue}\;\;(x + 1), &ThickSpace;&ThickSpace;(x+2)\color{blue}\;\;(x + 2)
Un número par o un número impar 2x\color{blue}2x, &ThickSpace;&ThickSpace;(2x+1)\color{blue}\;\;(2x +1)
Dos números que su suma es 40 x\color{blue}x, &ThickSpace;&ThickSpace;(40x)\color{blue}\;\;(40 - x)
¡Recuerda!, una variable "xx" es un símbolo que puede representar una cantidad real, por ejemplo:
  • El número de años de Carlos (la edad de Carlos)
  • La distancia entre dos ciudades
  • El número de días empleados para realizar un trabajo
  • El costo en pesos de un lápiz.
  • La longitud del lado de un cuadrado.
  • La altura de una montaña.

132

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

xploremos.
Expresiones escritas en lenguaje matemático, por ejemplo:

  • El doble de un número menos su cuadrado 2xx2{\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}2x - x^2
  • Dos números que multiplicados es 80 x {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}x, &ThickSpace;&ThickSpace;80x\color{blue}\;\;\frac{80}{x}

Indicaciones.
Arrastra la expresión al lugar adecuado para formar la ecuación.

Proyecto Descartes.org.
[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.

133
jercicio 6.2.
Plantea problemas que expresan ecuaciones lineales.

Indicaciones
Solucionar el problema y verificar las respuestas.

Se plantea el problema en lenguaje algebraico y se expresa el significado que le damos a la incógnita, se escribe la ecuación o las ecuaciones que se generan.

Oprime el botón otro problema para ver otros problemas o el botón datos diferentes para cambiar los datos del problema.

Responde a la siguiente pregunta:

134

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

jercicio 6.3.
Resuelve problemas que expresan ecuaciones lineales.

Indicaciones
Soluciona completamente el problema, intenta resolverlos antes de ver su solución, no memorizarlos, serán de gran ayuda para resolver los problemas propuestos al final del capítulo.

Oprime el botón solución y analiza la solución del problema, oprime el botón ejercicio para plantear un nuevo problema.

¡Recuerda!, si quieres comprobar la solución encontrada, sustituye el resultado hallado en la incógnita de la ecuación.
135

6.3 Ecuaciones cuadráticas con una incógnita

La ecuación cuadrática o también conocida como ecuación de segundo grado, donde a,ba, b y cc son números R\mathbb{R} con a̸0a \equiv\not 0, se expresa de la forma:

f(x)=ax2+bx+c\color{blue}f(x) = a x^2 + bx + c

La ecuación cuadrática puede presentar las siguientes soluciones:

  • Una, soluciones reales e iguales.
  • Dos, soluciones reales diferentes.
  • Ninguna solución en los números R\mathbb{R} (soluciones imaginarias).

Para resolver o encontrar las posibles soluciones de una ecuación cuadrática, igualamos a cero la ecuación, es decir, ax2+bx+c=0a x^2 + bx + c = 0 y se aplica una de las tres alternativas siguientes:

  1. Factorización (si es posible).
  2. Completar el cuadrado (si es posible).
  3. Aplicar la fórmula general de la ecuación cuadrática:

    x=b±b24ac2a(1)x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\qquad(1)

    Para verificar si la ecuación tiene solución, se puede utilizar la expresión que se encuentra dentro la raíz cuadrada de la ecuación (1) llamada discriminante,

    d=b24ac(2)d = b^2 - 4ac\qquad(2)

136

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

Se puede presentar uno de lo siguientes casos si se analiza el valor del discriminante, expresión (2), teniendo presente lo siguiente:

  • Si d&gt;0d &gt; 0, tiene dos soluciones reales distintas.
  • Si d=0d = 0, tiene dos soluciones reales iguales.
  • Si d&lt;0d &lt; 0, no tiene solución en los números R\mathbb{R}.

Verifica ingresando los coeficientes a,ba, b y cc de la ecuación dada:

¿Sabes como se encuentra la solución de una ecuación de segundo grado (ecuación cuadrática)?
137

Existen varios métodos para resolver las ecuaciones de segundo grado, mencionados anteriormente.

El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación que se va a resolver.

Veamos algunos casos que se presentan:

1° caso. Ecuación de la forma ax2+c=0\quad \color{blue}a x^2 + c = 0

Para este caso despejamos la variable, en nuestro caso, xx, entonces la solución o raíces serán:

x1=ca,x2= ca,conca&gt;0 x_1 = \sqrt[]{\frac{c}{a}},\quad x_2 = -\space\sqrt[]{\frac{c}{a}},\qquad con\quad\frac{c}{a}&gt; 0

Ejemplo 6.1. Veamos la solución de la siguiente ecuación:

4x+33x5=6x15x12\frac{4x + 3}{3x - 5} = \frac{6x - 1}{5x - 12} (4x+3)(5x12)=(6x1)(3x5)(4x + 3)(5x - 12) = (6x - 1)(3x - 5) 20x248x+15x36=18x230x3x+520x^2 - 48x + 15x - 36 = 18x^2 - 30x - 3x + 5 2x241=02x^2 - 41 = 0 por tanto, las soluciones son dos raíces reales diferentes:

x1=412,x2= 412 x_1 = \sqrt[]{\frac{41}{2}},\quad x_2 = -\space\sqrt[]{\frac{41}{2}}
138

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

2° caso. Ecuación de la forma ax2+bx=0\quad \color{blue}a x^2 + bx = 0

En este caso tenemos la variable xx en los dos términos, por lo tanto, podemos sacar un factor común xx, es decir,

x(ax+b)=0,dondex=0, ax+b=0x (a x + b) = 0,\qquad donde\quad x = 0,\space \quad ax + b = 0 entonces la solución o raíces serán: x1=0,x2=bax_1 = 0,\quad x_2 = \frac{b}{a}

Ejemplo 6.2. Veamos la solución de la siguiente ecuación:

x25x255=5\frac{x^2}{5} - \frac{x -25}{5} = 5 x2(x25)=25x^2 - (x -25) = 25 x2x+2525=0x^2 - x + 25 - 25 = 0 x2x=0x^2 - x = 0 x=0,x1=0 x = 0,\quad x - 1 = 0 x1=0,x2=1 x_1 = 0,\quad x_2 = 1

Por tanto, las soluciones de la ecuación dada, corresponden a dos raíces reales diferentes.

En este tipo de ecuaciones, tienen dos soluciones reales diferentes, se debe tener presente que siempre una de las soluciones es: x=0\quad x = 0
139

3° caso. Ecuación de la forma ax2+bx+c=0\quad \color{blue}a x^2 + bx + c = 0

Para este tipo de ecuaciones se pueden presentar varias situaciones, una de ellas es, si el trinomio es factorizable

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero y factorizamos el trinomio de la forma x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0 o ax2+bx+c=0a x^2 + bx + c = 0.

Ejemplo 6.3. Veamos la solución de la siguiente ecuación:

x2+2x+1=0x^2 + 2x + 1 = 0 (x+1)(x+1)=0(x + 1)(x + 1)= 0 (x+1)2=0(x + 1)^2= 0

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, entonces, las soluciones son dos raíces reales iguales: x+1=0x + 1= 0 x1=x2=1 x_1 = x_2 = -1

En este caso, la ecuación (x+1)2=0(x + 1)^2= 0 corresponde a un trinomio cuadrado perfecto, por tanto se dice que la raíz tiene multiplicidad 2, lo que equivale a tener dos soluciones o raíces iguales.

Si la ecuación de segundo grado no corresponde a un trinomio cuadrado perfecto, se analiza si se puede ser factorizable por otro método.
140

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

Ejemplo 6.4. Veamos la solución de la siguiente ecuación:

x24x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0 x24x=1x^2 - 4x = -1

Vamos a reescribir esta ecuación completando cuadrados, sumando a ambos lados de la igualdad la cantidad (42)2(\frac{4}{2})^2

x24x+(42)2=1+(42)2x^2 - 4x + (\frac{4}{2})^2 = -1 + (\frac{4}{2})^2 x24x+4=1+4x^2 - 4x + 4 = -1 + 4 (x2)2=3(x - 2)^2 = 3

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos:

x2=3x - 2= \sqrt[]{3}

por tanto, las soluciones son dos raíces reales diferentes:

x1=23,x2=2+3 x_1 = 2 - \sqrt[]{3},\quad x_2 = 2 + \sqrt[]{3}


¡Recuerda!, para completar el cuadrado en una expresión de la forma x2+bxx^2 + bx, se suma la expresión (b2)2(\frac{b}{2})^2 a ambos lados de la igualdad, y la expresión se vuelve: x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 = (x + \frac{b}{2})^2
141

Cualquiera que sea la ecuación cuadrática, la fórmula general es de gran utilidad para encontrar las raíces de la ecuación de 2° grado.

Ejemplo 6.5. Veamos la solución de la siguiente ecuación:

3x2+4x15=03x^2 + 4x - 15 = 0

donde  a=3, b=4, c=15, \space a = 3,\space b = 4,\space c = -15,\space si analizamos el discriminante:

d=(4)24(3)(15)d = (4)^2-4(3)(-15) d=196d = 196

Como d&gt;0 d &gt; 0, se tendrán dos soluciones reales diferentes, remplazando entonces, en la ecuación cuadrática, se tiene:

x=4±1962(3)x = {-4 \pm \sqrt{196} \over 2(3)} x1=4+146,x2=4146x_1 = {-4 + 14 \over 6},\quad x_2 = {-4 - 14 \over 6} x1=53,x2=3\qquad\qquad\qquad x_1 = \frac{5}{3},\quad x_2 = -3

Por tanto, se tienen dos raíces reales diferente.

Responde de acuerdo a lo visto en la sección:

142

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

jercicio 6.4. Ecuaciones de 2° grado.
Aplicar los métodos de solución, ver solución gráfica.

Indicaciones
Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática.

  1. Soluciona la ecuación propuesta, oprime el botón factorizando o fórmula general para indicar el método de solución, ingresa los datos, pulsa el botón verificar para ver la solución.
  2. Por último, oprime el botón ejercicio para una nueva ecuación. ¿Puedes indicar, sin resolver, el número de soluciones que tiene?

La gráfica de la ecuación cuadrática corresponde a una parábola, donde, las soluciones o raíces son las intersecciones con el eje xx.

143

6.3.1 Solución gráfica de la ecuación cuadrática

Veamos en la siguiente imagen, las posibles gráficas que se presentan de la ecuación cuadrática según el valor del discriminante (d)(d):

Figura 6.2. Gráfica de la función cuadrática.

En la figúra se ve la solución gráfica que puede presentar una ecuación cuadrática f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, donde el signo del coeficiente aa, me indica si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

Se puede observar que hay soluciones reales diferentes, iguales o no tener soluciones.

Las soluciones o raíces corresponden a las intersecciones o cortes en el eje xx.

144

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

xploremos.
Observa la gráfica de la ecuación cuadrática.

Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección, explora la siguiente escena interactiva.

Indicaciones.
Encuentra y comprueba las soluciones de la ecuación cuadrática dada según su gráfica.

Proyecto Descartes.org.
[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.

145

Observemos la solución gráfica de la ecuación ax2+bx+c=0\quad\color{blue}ax^2 + bx + c = 0.

6.3.2 Otras formas de la ecuación cuadrática

Este tipo de ecuación, es llamada ecuación bicuadrada: ax4+bx2+c=0ax^4 + bx^2 + c = 0 Se resuelve como una ecuación cuadrática haciendo un cambio de variable, cambiando x2x^2 por yy, por ejemplo:

x412x2+9=0x^4 - 12x^2 + 9 = 0 (x2)212(x2)+9=0(x^2)^2 - 12(x^2) + 9 = 0 y212y+9=0y^2 - 12y + 9 = 0
146

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

Otra forma de la ecuación cuadrática se puede presentar como: a(f(x))2+b(f(x))+c=0a (f(x))^2 + b(f(x)) + c = 0 donde f(x)f(x) es una función de x, se dice que es una ecuación cuadrática, por ejemplo:

5(x)2+7(x)9=05(\sqrt{x})^2 + 7(\sqrt{x}) - 9 = 0
5x+7(x)9=05x + 7(\sqrt{x}) - 9 = 0

Como hallar la ecuación cuadrática dadas sus raíces:

La suma de las raíces, es igual al negativo del cociente entre los coeficientes de x2x^2 y xx.
x1+x2=ba=b\qquad\qquad\qquad x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} =-b

El producto de las raíces, es igual al cociente del término constante y el coeficiente de x2x^2.
(x1)(x2)=ca=c\qquad\qquad\qquad (x_1)(x_2 )= \frac{c}{a}= c

La ecuación cuadrática se expresa como:
x2(x1+x2)x+(x1)(x2)=0\quad\color{blue}x^2 -(x_1+x_2)x + (x_1)(x_2) = 0


Ejemplo 6.6. Hallar la ecuación si sus raíces son:
x1=3,x2=2\qquad x_1 = 3,\quad x_2 = -2 .

Suma de las soluciones S=x1+x2=32=1\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad S = x_1 + x_2 = 3 - 2 = 1
Producto de las soluciones P=x1x2=(3)(2)=6\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad P = x_1\cdot x_2 = (3)(- 2) = 6

por lo tanto, la ecuación es: x2x6=0\quad x^2 - x - 6 = 0

147
jercicio 6.5.
Ecuaciones de 2° grado, aplicar los métodos de solución.

Indicaciones
Soluciona ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

  1. Selecciona la cantidad de ejercicios a resolver y el grado de dificultad.
  2. Pulsa el botón ejercicio para generar la ecuación.
  3. Resuelve la ecuación cuadrática, introduce la solución, si la solución no es fracción recuerda colocar un 1 en el denominador y oprime "enter <┘"
  4. Pulsa el botón solución para ver si lo has hecho bien.

148

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

6.3.3 Situación problema con ecuación de 2° grado

Con alguna frecuencia se nos presentan algunos problemas que llevados al lenguaje matemático se plantean las situaciones a través de una ecuación cuadrática o de segundo grado.

Ejemplo 6.7. Hallar dos números donde su suma es 25 y su producto 156.

x:\qquad \quad x: \quad Representa uno de los números.
25x:\quad 25 - x :\quad Representa el otro número.

Según los datos dados en el problema, se tiene que:

x(25x)=156x (25 - x) = 156
25xx2=156x225x+15625x - x^2 = 156 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 25x + 156

Solucionando la ecuación por factorización, se tiene que:

(x12)(x13)=0(x - 12)(x - 13) = 0
x1=12,x2=13x_1 = 12,\quad x_2 = 13

Si x=1225x=2512=13\quad x = 12\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 25 - x = 25 - 12 = 13
Si x=1325x=2513=12\quad x = 13 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 25 - x = 25 - 13 = 12

Por tanto, las dos soluciones satisfacen la situación problema.

Cuándo se resuelve la ecuación, es posible que alguna de sus raíces no satisfagan las condiciones del problema y en consecuencia debe rechazarse, es conveniente, examinar las raíces y determinar aquellas que resuelvan satisfactoriamente las situaciones planteadas.
149

xploremos.
Situaciones que involucran ecuaciones de 2° grado.

Analiza las dos situaciones problema que se plantean a continuación:

¡Recuerda!, las estrategias para enfrentar diferentes situaciones problema (página 129).

Proyecto Descartes.org.
[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.

150

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

jercicio 6.6. Aplicación de física.

Situación problema. Se va a construir un corral con área de forma rectangular, expresada mediante una función cuadrática.

Indicaciones
Soluciona la siguiente situación problema.

  1. Oprime el botón animar, realiza los cálculos para luego verificar las respuestas.
  2. Ingresa los resultados de las preguntas dadas,
    1. ¿Cuál es la medida de los lados?
    2. ¿Cuál es el área máxima?
  3. Oprime "enter <┘" y verifica los resultados.

Escena de Carlos Mario Restrepo Restrepo. CC by-nc-sa

151
jercicio 6.7. Aplicación de física.

Situación problema, piensa y analiza.
¿Cómo se debe lanzar una pelota, para que alcance la máxima distancia horizontal?, ¿Cómo se llama esta trayectoria?. ¿Desde las matemáticas, cómo se puede interpretar este movimiento?

  1. Observa la curva que se describe, cuando se lanzada verticalmente con una determinada velocidad una pelota. Modifica el control de la velocidad y oprime el botón Animar.

  2. Modifica el control de la velocidad y oprime Animar para ver la trayectoria de la pelota. Ingresa los valores de Y max y t vertice, oprime "enter <┘" para verificar los resultados.

Oprime la botón para avanzar o retroceder en las situaciones.

152

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

6.4 Ecuaciones con grado mayor o igual a tres

Para n&gt;2n&gt;2, se tiene la siguiente ecuación:

an xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

Este tipo de ecuación se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

xploremos.
Analiza y explora las siguientes escenas interactivas, observa las gráficas de las ecuaciones que se plantean según la situación.

153
¡Recuerda!, las estrategias para enfrentar diferentes situaciones problema (página 129).

Proyecto Descartes.org.
[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.



También, se puede utilizar la regla de Ruffini, para reducir polinomios de tercer grado o mayor. A continuación veremos algunos teoremas, que nos servirán para factorizar polinomios y la relación con las raíces del polinomio.

154

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

6.4.1 Teorema del Residuo y del Factor.

Teorema del Residuo

Este teorema permite conocer el residuo sin efectuar la división de un polinomio P(x)P(x) entre un binomio de la forma (xa)(x-a):

"Si el polinomio P(x)P(x) se divide entre (xa)(x-a), el residuo es igual a P(a)P(a)."

Teorema del Factor.

"Si el polinomio P(x)P(x) se anula para x=ax = a, entonces el polinomio P(x)P(x) es divisible por (xa)(x - a)."

Esto es, si P(a)=0P(a)= 0 entonces (xa)(x - a) es un factor de P(x)P(x).

Ejemplo 6.8.

Usando el teorema del residuo y el teorema del factor, factorice completamente el polinomio.

P(x)=x4+x37x2x+6P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6

Para empezar, debemos buscar los posibles factores de la forma (xa)(x-a) del polinomio dado. Esto equivale a buscar los números aa tales que P(a)=0P(a)=0.

Los posibles valores para hacer que el polinomio se anule son precisamente los divisores del término independiente, que en este caso es 6.

155

Divisores de 6 = ±1;±2;±3;±6 \pm1; \pm2; \pm 3; \pm 6 .

Evalúamos con cada divisor el polinomio P(x)P(x):

  • P(1)=(1)4+(1)37(1)2(1)+6=0P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 -7(-1)^2 -(-1) + 6 = 0:
    SI es un factor del polinomio (x+1)\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}(x+1)\quad
  • P(1)=(1)4+(1)37(1)2(1)+6=0P(1) = (1)^4 + (1)^3 -7(1)^2 -(1) + 6 = 0
    SI es un factor del polinomio(x1)\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}(x-1)\quad
  • P(2)=(2)4+(2)37(2)2(2)+6=12̸0P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 -7(-2)^2 -(-2) + 6 = 12 \equiv\not 0
    (x+2)(x + 2) No es un factor del polinomio.
  • P(2)=(2)4+(2)37(2)2(2)+6=0P(2) = (2)^4 + (2)^3 -7(2)^2 -(2) + 6 = 0
    SI es un factor del polinomio(x2)\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}(x - 2)\quad
  • P(3)=(3)4+(3)37(3)2(3)+6=48̸0P(3) = (3)^4 + (3)^3 -7(3)^2 -(3) + 6 = 48 \equiv\not 0
    (x3)(x - 3) No es un factor del polinomio.
  • P(3)=(3)4+(3)37(3)2(3)+6=0P(-3) = (-3)^4 + (-3)^3 -7(-3)^2 -(-3) + 6 = 0
    SI es un factor del polinomio(x+3)\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \color{blue}(x + 3)\quad
  • P(6)=(6)4+(6)37(6)2(6)+6=1260̸0P(6) = (6)^4 + (6)^3 -7(6)^2 -(6) + 6 = 1260 \equiv\not 0
    (x6)(x - 6) No es un factor del polinomio.
  • P(6)=(6)4+(6)37(6)2(6)+6=840̸0P(-6) = (-6)^4 + (-6)^3 -7(-6)^2 -(-6) + 6 = 840 \equiv\not 0
    (x+6)(x + 6) No es un factor del polinomio.

Entonces, los divisores aa tales que P(a)=0P(a)=0, son los factores del polinomio, por tanto:

P(x)=x4+x37x2x+6P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 P(x)=(x+1)(x1)(x2)(x+3)P(x) = (x+1)(x-1)(x - 2)(x + 3)
156

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

6.4.2 División Sintética o Método de Ruffini

¿Qué es la regla o método de Ruffini y para que se utiliza?

La regla de Ruffini es un método que permite:

  • Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor.
  • Dividir un polinomio entre un binomio de la forma (xa)(x - a).
  • Factorizar polinomios de tercer grado o mayor.
  • Calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3

Ejemplo 6.9. Factorizar: x46x311x2+24x+28=0\quad x^4 - 6x^3 - 11x^2 + 24x + 28 = 0

Apliquemos los siguiente pasos al polinomio organizado de manera ordenada (las variables de mayor a menor grado).

  1. Colocamos los coeficientes en un fila. En este caso el polinomio es completo, si no fuera así completaría con ceros los espacios de las variables faltantes, 0. 1,6,11,24,28 1,\quad -6, \quad -11, \quad 24, \quad 28
  2. Vemos cuales son los divisores del último término, termino independiente (28):

    Los divisores de 28 son: ±1,±2,±4,±7,±14,±28\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28

    ¿Cuales de estos divisores son válidos aplicando el método?

157

  1. Trazamos una línea vertical por delante del primer coeficiente y en la línea siguiente, a la izquierda de esta línea vertical, un divisor del último término del polinomio. Por debajo de este divisor trazamos una recta horizontal de la anchura ocupada (más o menos) por los coeficientes del polinomio.

  2. Ahora veamos como operar, debajo de la raya horizontal y debajo del primer coeficiente se escribe el mismo coeficiente.

    Ahora multiplicamos el primer divisor (el 1ª la izquierda de la raya vertical) por el primer coeficiente del polinomio (el 1 que lo tienes debajo de la raya horizontal) y el resultado del producto lo colocas debajo del segundo coeficiente (el -6).

    Se Suma -6 + 1 = -5, este resultado lo colocamos debajo de la línea horizontal y a la altura del segundo coeficiente, realizamos los mismos pasos hasta llegar al termino independiente.

    El divisor (1), no es solución porque la última suma es 36 y para que sea raíz o solución debe ser igual CERO.

158

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

Se realiza el mismo proceso con cada divisor, hasta encontrar como resultado en su ultima operación el CERO.

  1. Relicemos el mismo procedimiento con el divisor 2:

    Esta vez comprobamos que obtengo al final un cero, lo que significa que el divisor es una raíz, osea. (x2)(x - 2)

  2. Todos los nuevos coeficientes que he obtenido debajo de la raya horizontal son positivos, tomo otro divisor de 28 que sea negativo, por ejemplo, (-2) y haciendo las mismas operaciones que en los pasos anteriores, se obtiene:

    Lo que significa que el divisor (-2) es una raíz, osea. (x+2)(x + 2)

    Por lo tanto, tenemos: (x2)(x+2)(x26x7)(x - 2)(x + 2)(x^2 -6x - 7)

159

Además, con los últimos coeficientes obtenemos un trinomio, el cual podemos factorizan directamente:

x26x7=(x7)(x+1)x^2 -6x - 7 = (x - 7)( x + 1)

Por lo tanto, la factorización del polinomio es:

x46x311x2+24x+28=(x+1)(x2)(x+2)(x7)x^4 - 6x^3 - 11x^2 + 24x + 28 = ( x + 1)(x - 2)(x + 2)(x - 7)

Se puede comprobar que al sustituir a xx por 2,1,2-2, -1, 2 y 77 obtenemos como resultado el cero en la ecuación.

Observemos la solución gráfica en la siguiente figúra:

Figura 6.3. Gráfica del polinomio x46x311x2+24x+28\quad x^4 - 6x^3 - 11x^2 + 24x + 28 .

Esto quiere decir que los valores 2,1,2-2, -1, 2 y 77 son las raíces del polinomio de cuarto grado ya que cumplen con las condiciones de la ecuación y son los puntos de corte con el eje xx.

160

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

jercicio 6.8.
Encuentra las raíces del polinomio propuesto.

Indicaciones
Aplicamos la Regla de Ruffini o uno de los métodos de solución.

  1. Soluciona la ecuación dada según su grado, pulsa el botón solución para ver y comparar con tus resultados.
  2. Pulsa el botón ejercicio para generar una ecuación. Debes indicar, sin resolverla, el número de soluciones que tiene.

Piensa. ¿Se pueden resolver ecuaciones que contengan logaritmos o expresiones exponenciales?
161

6.5 Ecuaciones con logaritmos y exponenciales.

La expresión exponencial es la inversa de la función logarítmica , y se representa en función de xx de la forma:

x=logXb (a)a=bX×\ce{x = log_b (a)\quad &lt;--&gt; \quad a = b^x}

¿Cómo se resuelve una ecuación logaritmica o exponencial?

Para hallar el valor de xx en una ecuación logaritmica o exponencial, es conveniente seguir los siguientes pasos:

  1. Si tiene expresiones exponenciales, se despeja la expresión a un lado de la ecuación y aplicamos el logaritmo a ambos lados de la ecuación con la base más conveniente (por lo general se elige la misma base que tiene la expresión logaritmica o exponencial), sino, aplicamos las leyes de los logaritmos para simplificar y reorganizamos la ecuación despejando la incógnita.
  2. Por último, se hace cambio de base y con una calculadora se da el valor exacto de la incógnita.

Cuándo se resuelven ecuaciones de tipo algebraicas, normalmente se basan en la idea de que se puede cambiar en ambos lados de la ecuación de la misma manera y obtener una ecuación válida.

Esto también aplica para los logaritmos y exponenciales, no importa cual sea la base bb, si:

x=ylogb(x)=logb(y)x = y \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \log_b(x) = \log_b(y).

x=ybx=byx = y \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad b^x = b^y.

162

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

Ejemplo 6.10. ¿Como hallar el valor de xx? 2x+3=126\displaystyle \quad 2^{x+3} = 126

Tomamos logaritmos en base 22 a ambos lados de la ecuación:

logX2 (2x+3)=logX2 (126)\ce{log_2 {(2^{x+3})} = log_2 {(126)}} (x+3)logX2 (2)=logX2 (126){(\ce{x}+3) \cancel{\ce {log_2 {(2)}}} = \ce{log_2 {(126)}}} x+3=logX2 (126)\ce{x}+3 = \ce{log_2 {(126})} x=logX2 (126)3\ce{x = log_2 {(126)}} - 3

Si deseamos encontrar el valor exacto de la incógnita, se hace un cambio de base y se evalúa en calculadora.

x=log2(126)3x = \log_2{(126)} - 3 x=log(126)log(2)3x = {\log{(126)} \over \log{(2)}} - 3 x=3,9773 x = 3,9773

Para verificar el resultado, se sustituye el valor hallado en la ecuación inicial.

2(3,9773)+3=1262^{(3,9773)+3} = 126

¡Recuerda!, siempre se puede verificar el resultado sustituyendo el valor encontrado de la incógnita en la ecuación inicial, y se debe cumplir la igualdad.



163
Ejemplo 6.11. Como hallar el valor de xx en la ecuación:
log(x+3)5=log(x+2)\log{(x+3)}-5 = \log{(x+2)}

Despejamos los logaritmos a un solo lado de la ecuación aplicando las leyes para simplificar:

log(x+3)log(x+2)=5 \log{(x+3)}- \log{(x+2)}=5 log(x+3x+2)=5 \log{\bigg(\frac{x+3}{x+2}\bigg)}=5

Para eliminar el logaritmo, aplicamos la base en forma exponencial a ambos lados de la ecuación, simplificando asi el logaritmo.

10log(x+3x+2)=105 10^{\log{\big(\frac{x+3}{x+2}\big)}}=10^5 x+3x+2=105 \frac{x+3}{x+2}=10^5 x+3=105(x+2) x+3=10^5 (x+2) x+3=105x+(2)105 x+3=10^5x+(2)10^5 x105x=(2)1053 x-10^5x=(2)10^5-3 x(1105)=2000003 x(1-10^5)=200000-3 x=1999971105 x=\frac{199997}{1-10^5} x1,99999x \approx -1,99999
164

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

xploremos.
Observa la gráfica de una función logaritmica y exponencial:

Piensa y analiza

Analicemos, las gráficas de las expresiones logaritmicas y=logb(x)y=\log_b(x) y exponencial y=bxy = b^x (estas expresiones llamadas funciones).

  1. Se observa que ¿La exponencial es la inversa de la función logarítmica?
  2. ¿Que sucede en ambas ecuaciones si b=1b=1?
  3. ¿Que pasa si x=0x=0?
  4. ¿Puede ser y&lt;0y&lt;0?

165

6.6 Practiquemos

jercicio 1.
Pongamos en práctica lo visto en esta sección

Indicaciones
Soluciona ecuaciones de primer grado con una incógnita.

  1. Digita la cantidad de ejercicio a resolver.
  2. Pulsa el botón ejercicio para generar la ecuación.
  3. Resuelve la ecuación lineal.
  4. Introduce la solución, si la solución no es fracción recuerda colocar un 1 en el denominador.
  5. Pulsa el botón solución para ver si lo has hecho bien.

166

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

jercicio 2. Situaciones problema de 1° grado

Analiza, plantea y resuelve las siguientes situaciones problema.

  1. Dividir 126 en dos partes tales que el doble de la menor, sea 6 unidades más que la mayor.
  2. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 74.
  3. Dividir 138 en dos partes tales que una exceda a la otra en 100.
  4. La suma de un número y 5 veces el mismo es 236. Hallar el número.
  5. Hallar 3 números enteros consecutivos impares, tales que la suma del primero y el segundo sea igual al tercero más 40.
  6. La suma de 3 números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.
  7. La suma de 2 números es 120 y su diferencia 40.
  8. Dentro de 12 años la edad de un hombre es el doble de la edad hace 4 años. Hallar su edad actual.
  9. Oprime el botón problema, y genera una situación problema aleatoria.

Actividad complementaria.
Situaciones problemas para imprimir

167

jercicio 2. Situaciones problema de 2° grado.

Pongamos en práctica lo visto en esta sección, analiza, plantea y resuelve las siguientes situaciones problema.

  1. Hallar dos números pares consecutivos sabiendo que su producto es 208.
  2. La suma de las edades de un padre y su hijo es 6 años y la cuarta parte de su producto excede a la edad del padre en 240 años. ¿Cuáles son las edades respectivas?.
  3. Un desagüe vacía un tanque en 4 horas menos que un segundo desagüe. Si ambos desagües abiertos simultaneamente vacían el tanque en 2232 \frac{2}{3} horas, determinar el tiempo en que cada desagüe por separado vacía el tanque.
  4. Dividir el número 10 en dos partes tales que su producto añadido a la suma de sus cuadrados sea igual a 76.
  5. El perímetro de un rectángulo es 28 mm y su área 48 m2m^2. ¿Cuáles son sus dimensiones?
  6. El lado de un cuadrado es 3 metros menor que el largo de un rectángulo y 4 metros mayor que su ancho. Encontrar las dimensiones si el área del cuadrado es el doble del área del rectángulo.
  7. Un cuadrado tiene 33 m² más que otro y este un metro menos de lado que el primero. Hallar los lados de los cuadrados.

Actividad complementaria.
Situaciones problemas para imprimir

168

Capitulo VI. Ecuaciones \qquad

jercicio 3.
Resuelve las siguientes ecuaciones con logaritmos.

Indicaciones

  1. Primero resuelve la ecuación logaritmica o exponencial propuesta teniendo en cuenta lo aprendido en esta sección y verifica tus respuestas.
  2. Pulsa el botón solución para ver y comparar las respuestas.


¡Recuerda!, revisar la solución, que no existe el logaritmo de un número negativo, por lo que debemos verificar de que la solución en la ecuación inicial obtenemos un número positivo. De lo contrario, se descartar esta solución.
169

Evalúamos lo aprendido.
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 5x2 preguntas con límite de tiempo - (20 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo VI: Ecuaciones.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

\quad Envia tu evalúación
 \space Evalúación: Capítulo VI

Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
[4] Plantillas con Descartes-JS

170

"Ningún empleo puede ser controlado sin aritmética,
ninguna invención mecánica sin geometría".

Benjamin Franklin

171
Capítulo VII

Sistemas de Ecuaciones

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 9°.

DESEMPEÑOS / ESTANDAR
Pensamiento numérico
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 1, 2.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.1 M.IV Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. DBA8, 9
5.5 M.IV Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. DBA2, 8.

El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

7.1 Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones esta formado por dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común, se tomará la ecuación donde a,b,ca, b, c son los coeficientes y las incógnitas xx, yy expresada de la forma:

ax+by=c\color{blue} ax + by = c

Los sistemas de solución de ecuaciones, también conocidos como:

  • Sistema 2 x 2 (2 ecuaciones 2 incógnitas).
  • Sistema 3 x 3 (3 ecuaciones 3 incógnitas).

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

Resolver un sistema de ecuaciones, es encontrar el valor de cada incógnita para que se satisfagan todas las ecuaciones del sistema, estas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas, lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Se presentan algunos métodos de solución como son:
  • Reducción
  • Sustitución
  • Igualación
  • Gráficamente, entre otros.
175

7.2 Métodos de solución.

Como resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por diferentes métodos de solución [5].

El sistema 2 x 2 está formado por dos ecuaciones así: ax+by=c(1)\color{blue} ax + by = c \qquad (1) dx+ey=f(2)\color{blue} dx + ey = f \qquad (2) donde su solución, corresponde a la intersección de dos rectas en un punto (x,y)(x, y).



7.2.1 Método Gráfico.

Cuándo se soluciona un sistema de ecuaciones utilizando el método gráfico, para este caso, un sistema 2 x 2 se tiene que:

  • Cada ecuación representa una recta en el plano.
  • Las variables xx y yy son las incógnitas, que nos darán como solución un punto de intersección o corte (x,y)(x, y) entre las ecuaciones gráficadas.
  • Los valores a,b,d,ea, b, d, e son los coeficientes correspondientes a cada variable en la ecuación y c,fc, f los términos independientes.

176

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

El método gráfico puede presentar las siguientes soluciones: Unica solución, no tener solución o infinitas soluciones.


  • Secantes:
    Solución única
    .

    Si las rectas se intersecan, tendrán un sólo punto en común por lo tanto habrá una única solución en el punto (x,y)(x, y).


  • Paralelas:
    No tiene solución.


    Si las rectas no se interceptan porque son paralelas, entonces el sistema no tiene solución.


  • Coincidentes:
    Infinitas soluciones.


    Si las rectas coinciden, entonces habrán infinitas soluciones.

177

xploremos.

Veamos la solución gráfica de un sistema lineal de ecuaciones 2 x 2, para ver diferentes ejemplos, oprime el botón otro ejemplo.

Si quieres comprobar la solución, sustituye los valores del punto (x,y)(x, y) en cada ecuación, comprueba que los resultados satisfacen el sistema de ecuaciones.

Como es de esperar, en el método gráfico se representan las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución ahora veamos, como resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma analítica.

178

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

7.2.2 Método de Reducción.

El método consiste en multiplicar una ó las dos ecuaciones por un número de modo que obtengamos un sistema en que los coeficientes de xx o de yy sean iguales con signo contrario, para eliminar dicha incógnita al sumar las dos ecuaciones.

No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número diferente de 00, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra.
179

7.2.3 Método de Sustitución.

El método consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y reemplazar este valor en la otra ecuación, de esta forma se llega a una ecuación de primer grado con una incógnita.

¡Recuerda!, si quieres comprobar la solución, sustituye los resultados de x,yx, y y comprueba que satisface cada ecuación.
180

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

7.2.4 Método de Igualación.

El método consiste en una pequeña variación del método de sustitución, para resolver el sistema de ecuaciones hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita.

181

xploremos.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales analítica y gráficamente paso a paso.

Indicaciones.
Resuelve primero y luego verifica la respuesta, oprime las flechas para obtener los coeficientes a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f de cada variable del sistema de ecuaciones.

Proyecto Descartes.org.
[3] Tomada de Telesecundaria.
Modalidad en el sistema Educativo de México.

182

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

jercicio 7.1.

Oprime el botón ejercicio para generar un sistema de ecuaciones lineales, utiliza uno de los métodos para solucionar el sistema.

Verifica la solución por medio del método gráfico, ingresa los coeficientes a,b,e,da, b, e, d y las constantes cc y ff respectivamente.

Oprime el botón solución para verificar la solución gráfica.

183

7.2.5 Método de Determinantes.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existe también un método, llamado método de determinantes.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones 2 x 2:

a1x+b1y=c1(1)\color{blue} a_1x + b_1y = c_1 \qquad (1) a2x+b2y=c2(2)\color{blue} a_2x + b_2y = c_2 \qquad (2)

El número real =a1.b2a2.b1\color{blue} \triangle = a_1 . b_2 - a_2 . b_1, se llama determinante (\triangle) de orden 2 y se esquematiza de la forma:

=a1b1a2b2=a1.b2a2.b1\color{blue} \triangle = \begin{vmatrix} a_1 &amp; b_1 \\ a_2 &amp; b_2 \end{vmatrix} = a_1 . b_2 - a_2 . b_1

Donde la primera columna corresponde a los coeficientes de la incógnita xx y la segunda columna a los coeficientes de la incógnita yy.

Para hallar xx y yy, se pueden expresar como cocientes de determinantes de la siguiente forma:

x=c1.b2c2.b1a1.b2a2.b1=c1b1c2b2a1b1a2b2 x = {c_1.b_2 - c_2.b_1 \over a_1 . b_2 - a_2 . b_1} = {\begin{vmatrix} {\color{red}c_1} &amp; b_1 \\ {\color{red}c_2} &amp; b_2 \end{vmatrix} \over \begin{vmatrix} a_1 &amp; b_1 \\ a_2 &amp; b_2 \end{vmatrix}} y=a1.c2a2.c1a1.b2a2.b1=a1c1a2c2a1b1a2b2 y = {a_1.c_2 - a_2.c_1 \over a_1 . b_2 - a_2 . b_1} = {\begin{vmatrix} a_1 &amp; {\color{red}c_1} \\ a_2 &amp; {\color{red}c_2} \end{vmatrix} \over \begin{vmatrix} a_1 &amp; b_1 \\ a_2 &amp; b_2 \end{vmatrix}}
184

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

Según las expresiones anteriores, se tiene lo siguiente:

  1. El denominador es el determinante formado por los cocientes de xx y yy en el sistema. Los representamos por \triangle.
  2. El numerador de xx se obtiene reemplazando en \triangle los coeficientes de xx por los términos independientes c1c_1 y c2c_2.
  3. El numerador de yy se obtiene reemplazando en \triangle los coeficientes de yy por los términos independientes c1c_1 y c2c_2.
Este método de solución utilizando el determinante es conocido como Regla de Cramer.
185
Para resolver un sistema de ecuaciones 3 x 3, se puede utilizar cualquiera de los métodos ya vistos en esta sección.


Para resolver un sistema de 3 x 3, necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas, el sistema está formado por (3) ecuaciones, (3) incógnitas, así:

a1x+b1y+c1z=d1(1) a_1x + b_1y +c_1z = d_1 \qquad (1) a2x+b2y+c2z=d2(2) a_2x + b_2y +c_2z = d_2 \qquad (2) a3x+b3y+c3z=d3(3) a_3x + b_3y +c_3z = d_3 \qquad (3)
Apliquemos la Regla de Cramer para resolver el sistema, donde la solución es una terna ordenada de la forma (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1):

El determinante (\triangle) de orden 3 se esquematiza de la forma: =a1b1c1a2b2c2a3b3c3=a1.b2c2b3c3b1.a2c2a3c3+c1.a2b2a3b3\color{blue} \triangle = \begin{vmatrix} a_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\ a_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\ a_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \end{vmatrix} = a_1 . \begin{vmatrix} b_2 &amp; c_2 \\ b_3 &amp; c_3 \end{vmatrix} - b_1 . \begin{vmatrix} a_2 &amp; c_2 \\ a_3 &amp; c_3 \end{vmatrix} + c_1.\begin{vmatrix} a_2 &amp; b_2 \\ a_3 &amp; b_3 \end{vmatrix}

La solución del sistema se determina por:

x=d1b1c1d2b2c2d3b3c3y=a1d1c1a2d2c2a3d3c3z=a1b1d1a2b2d2a3b3d3x = {\begin{vmatrix} d_1 &amp; b_1 &amp; c_1 \\ d_2 &amp; b_2 &amp; c_2 \\ d_3 &amp; b_3 &amp; c_3 \end{vmatrix} \over \triangle} \qquad y = {\begin{vmatrix} a_1 &amp; d_1 &amp; c_1 \\ a_2 &amp; d_2 &amp; c_2 \\ a_3 &amp; d_3 &amp; c_3 \end{vmatrix} \over\triangle} \qquad z = {\begin{vmatrix} a_1 &amp; b_1 &amp; d_1 \\ a_2 &amp; b_2 &amp; d_2 \\ a_3 &amp; b_3 &amp; d_3 \end{vmatrix} \over \triangle}

186

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

Se observa que cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante \triangle y el numerador es el determinante que se obtiene cambiando la columna de los coeficientes de la incógnita por los términos independientes, veamos diferentes ejemplos de un sistema 3x3 utilizando Regla de Cramer:

187
jercicio 7.2.
Solución de un sistema por la Regla de Cramer.

1. Oprime el botón sistema y generar un sistema de ecuaciones lineales 2x2, soluciona y verifica tus respuestas.

Ingresa los coeficientes, oprime el botón solución y observa.

188

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

2. Oprime el botón sistema y generar un sistema ecuaciones de 3x3.

189

7.3 Situaciones problema

Es conveniente estar familiarizado con la forma de expresar algebraicamente gran cantidad de expresiones que con frecuencia se presentan en la cotidianidad.

Con alguna frecuencia se nos presentan algunos problemas que llevados al lenguaje matemático se plantean las situaciones a través de un sistema de ecuaciones.

Ejemplo 7.1. Aplicando sistemas de ecuaciones lineales.

Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Cuales son los números?

x:\qquad x: \quad Es un número

y:\qquad y: \quad El otro número

  • La suma de dos números es 25: x+y=25\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad x + y = 25
  • El doble de uno de los números es 14: 2x=14\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 2x = 14

Entonces el sistemas de ecuaciones es:

x+y=25(1)x + y = 25 \qquad (1) \qquad \qquad \quad 2x+0y=14(2)2x + 0y = 14 \qquad (2)

Verifica que la solución es: x=7\quad x = 7, y=18\quad y = 18

¡Recuerda!, las estrategias para enfrentar diferentes situaciones problema (página 129).
190

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

jercicio 7.3.
Problemas que generan ecuaciones lineales.

Situaciones problema, que generan sistemas de ecuaciones lineales de 2x2, intenta resolverlos antes de ver su solución.

Para ver el planteamiento y su respuesta, oprime el botón solución, para un nuevo problema, oprime el botón ejercicio.

¡Recuerda!, si quieres comprobar la solución, sustituye los resultados de x,yx, y y comprueba que satisface cada ecuación.
191

7.4 Practiquemos

jercicio 1. Situaciones problema.

  1. Hallar dos números cuya suma sea 182 y su diferencia sea 54.
  2. La diferencia entre dos números es 6 y la suma del doble del menor con el mayor es 50, determinar los números.
  3. Hallar dos números, suman 150 y el doble de uno de ellos es 62.
  4. La diferencia de dos nůmeros es 60 y 19{1\over 9} de su suma es 10. Hallar los números.
  5. La edad de A excede en 8 años a la de B y el duplo de la edad de B excede en 10 a la edad de A. Hallar ambas edades.
  6. La edad de A excede en 22 años a la edad de B, y si la edad de A menos 12 años es igual al triplo de la edad de B. Hallar las edades.
  7. La suma de las cifras de un número de dos cifras es 15 y si al número se resta 9, las cifras se invierten. Hallar el número.
  8. La suma de las cifras de un número mayor que 10 y menor que 100 es 12. Si las cifras de las decenas se disminuye en 2 y la cifra de las unidades se aumenta en 2, las cifras se invierten. Hallar el número.
  9. Hallar tres números tales que el primero más el segundo sumen 50, el primero más el tercero suman 30; y el segundo más el tercero suman 40.
  10. La medida del ángulo interior mayor de un triángulo es el doble de la medida del ángulo menor y la medida del mediano excede a la del menor en 20°. Hallar los ángulos.

Actividad complementaria.
Situaciones problemas para imprimir

192

Capitulo VII. Sistemas de Ecuaciones \qquad

jercicio 2. Sistemas de ecuaciones lineales
Pongamos en práctica lo visto en esta sección.

Oprime el botón para generar un ejercicio aleatorio, utiliza uno de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones.

193

Evalúamos lo aprendido.
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 10 preguntas con límite de tiempo - (10 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo VII: Sistemas de Ecuaciones.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

\quad Envia tu evalúación
 \space Evalúación: Capítulo VII

[4]. Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

194

"La única forma de aprender matemáticas es hacer matemáticas".

Paul Halmos

195
Capítulo VIII

Inecuaciones

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.1. Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 9°.

DESEMPEÑOS / ESTANDAR

Pensamiento numérico
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 1, 2.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.1 M.IV Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. DBA8, 9
5.5 M.IV Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. DBA2, 8.


El desarrollo de estos Estándares Básicos de Competencia permitirá fortalecer los procesos de formulación, modelación y resolución de problemas.

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

8.1 ¿Que es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, donde su solución posee infinitas soluciones, como es el caso: 4&lt;x+2&lt;7 4 &lt; x + 2 &lt; 7 2&lt;x&lt;5 2 &lt; x &lt; 5

Todos los valores de xx entre 22 y 55 verifican la desigualdad, por tanto el conjunto solución de la desigualdad puede verse intuitivamente como el tramo de la recta real entre 22 y 55 .

8.1.1 Desigualdades

¿Qué es una desigualdad?

Una desigualdad es un enunciado matemático que compara dos expresiones (numéricas o algebraicas) usando algún signo de desigualdad &gt;,&lt;,o&gt;,&lt;,≥ o ≤.

En una desigualdad, una expresión de la desigualdad puede ser más grande o más chica que la otra expresión, se utilizan símbolos especiales en estos enunciados.

199

Dados los números reales a,ba, b que cumplen a&lt;ba &lt; b o a&gt;ba &gt; b, donde el símbolo "&lt;&lt; o &gt;&gt;" indican que no incluye el limite dado y el símbolo "\le o " indican que incluye los limites, se definen así:

xploremos.

Intervalos Acotados.
Es el conjunto de los números comprendidos entre los límites aa y bb:

Intervalo
Desigualdad
xRx \in \mathbb{R}
Gráfico
Abierto (a,b)\quad (a, b)
a&lt;x&lt;ba &lt; x &lt; b
Cerrado [a,b]\quad [a, b]
axba \le x \le b
Abierto izquierda (a,b](a, b]
a&lt;xba &lt; x \le b
Abierto derecha [a,b)[a, b)
ax&lt;ba \le x &lt; b
200

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

xploremos.

Intervalos no Acotados.
Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos en el infinito:

Intervalo
Desigualdad
xRx \in \mathbb{R}
Gráfico
Abierto izquierda (a,+)(a, +\infty)
a&lt;x a &lt; x
Cerrado izquierda [a,+)[a, +\infty)
ax a \le x
Abierto derecha (,b)(-\infty, b)
x&lt;b x &lt; b
Cerrado derecha (,b](-\infty, b]
xb x \le b
Todos los R(,+)\mathbb{R} (-\infty, +\infty)
xRx \in \mathbb{R}
201
jercicio 8.1.
Organizar la desigualdad o el intervalo dado.

  1. Oprime el botón ejercicio para generar un intervalo o desigualdad, arrastra el circulo al recuadro de manera organizada.
  2. Oprime el botón solución para ver si lo has hecho bien, repite los pasos hasta finalizar el el ejercicio completo.

202

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

8.1.2 Propiedades de las desigualdades.

Sean a,b,ca, b, c números R\mathbb{R}, se cumple que:

  • a20a^2 ≥ 0
  • Si a&gt;0a &gt; 0 y b&gt;0ab1a1bb &gt; 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad a ≤ b ⇔ {1 \over a} ≥ {1 \over b}.
  • Si a&gt;01a&gt;0a &gt; 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad {1 \over a} &gt; 0.
  • Si a&lt;01a&lt;0a &lt; 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow }\quad {1 \over a} &lt; 0.
  • Si aba ≤ b y cda+cb+dc ≤ d \quad {\displaystyle \longrightarrow }\quad a + c ≤ b + d.
  • Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta un mismo número obtenemos otra con el mismo sentido.

    aba±cb±c\quad a ≤ b ⇔ a ± c ≤ b ± c

  • Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número positivo obtenemos otra equivalente.

    c&gt;0abcacb\quad c &gt; 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad a ≤ b ⇔ ca ≤ cb.
    c&gt;0abacbc\quad c &gt; 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \displaystyle \quad a ≤ b ⇔ {a \over c} ≤ {b \over c}.

  • Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo la desigualdad cambia de sentido.

    c&lt;0abcacb\quad c &lt; 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow }\quad a ≤ b ⇔ ca ≥ cb.
    c&lt;0abacbc\quad c &lt; 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow }\quad \displaystyle a ≤ b ⇔ {a \over c} ≥ {b \over c}.

    El sentido de una desigualdad se conserva al multiplicar o dividir sus dos miembros por un mismo número positivo, se invierte si dicho número es negativo.

203

8.2 Inecuaciones lineales con una incógnita

Resolver una desigualdad o inecuación es encontrar todos los valores que tiene xx para que la desigualdad se cumpla.

Si a,bRa,b \in \mathbb{R} con a≠0a =\not 0, cualquiera de las siguientes expresiones se llama inecuación lineal de una variable, inecuaciones del tipo:

ax+b&lt;0,x&gt;b,ax&lt;b,axb,axbax + b &lt; 0 ,\quad x &gt; b, \quad ax &lt; b, \quad ax ≥ b, \quad ax ≤ b

xploremos.
Pasos para resolver una inecuación lineal.

Primero se aísla la incógnita en un lado de la desigualdad, dejando en el otro solo números, para ello debe tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades, luego se procede de igual forma que al resolver una ecuación lineal con una incógnita.

Oprime el botón Siguiente paso y observa los ejemplos:

204

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

xploremos.
Ejemplos de inecuaciones lineales.

Indicaciones

  1. Oprime alguno de los botones de ejemplo, observa los ejemplos paso a paso de la solución de una inecuación lineal.
  2. Para practica la solución de una inecuación, oprime el botón ejercicio, realiza el apareamiento, resuelve la inecuación y luego selecciona la respuesta correcta.

La inecuación posee infinitas soluciones que se representan geométricamente por medio de puntos de una semirecta.
205

Veamos los siguientes ejemplos de la solución de una inecuación, encontrando los valores de xx que cumplen la desigualdad y la representación de su solución gráfica:


Ejemplo 8.1.

Resolver la inecuación no acotada 3x10&gt;5\quad 3x - 10 &gt; 5 3x&gt;510 3x &gt; 5 - 10 \quad \quad x&gt;53 x &gt; {-5 \over 3} \quad \quad \quad

Figura 8.1. Gráfica de la solución: x&gt;53(53,+)x &gt; {-5 \over 3} \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad ({-5 \over 3}, +\infty) .


Ejemplo 8.2.

Resolver la inecuación acotada 2&lt;3x72x74\quad \displaystyle 2 &lt; 3x - 7 \le {2x-7 \over 4} 2&lt;3x73x72x74 2 &lt; 3x-7 \land\quad 3x-7\le {2x-7 \over 4} 9&lt;3x12x282x7 9 &lt; 3x \quad\land\quad 12x-28\le 2x-7 3&lt;xx2110 3 &lt; x \quad\land\quad x\le {21 \over 10}

Figura 8.2. Gráfica de la solución.
206

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

xploremos.
Ejemplos de soluciones de inecuaciones lineales.

Observa la representación de un intervalo acotado, la desigualdad y su representación gráfica, oprime el botón otro ejemplo para ver diferentes ejemplos.

Los puntos de color rojo, representan los extremos del intervalo:

\color{red} \circ \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad No se incluye el extremo, intervalo abierto ( )(\space).

\color{red} \bullet \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Si se incluye el extremo, intervalo cerrado [ ][\space].

Se suguiere ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica, si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un circulo relleno; pero, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un circulo sin relleno.
207
jercicio 8.2.
Resuelve las siguientes inecuaciones lineales acotadas,

Resuelve el ejercicio planteado, verifica con el botón solución, para generar un nuevo ejercicio, oprime el botón ejercicio, veamos primero el siguiente ejemplo:

10&lt;2x22 - 10 &lt; 2x - 2 \le -2 210&lt;2x2+2 2 - 10 &lt; 2x \le -2 + 2 8&lt;2x0 -8 &lt; 2x \le 0 82&lt;x02 {-8 \over 2} &lt; x \le {0 \over 2} 4&lt;x0 -4 &lt; x \le 0
Figura 8.3. Gráfica de la solución: 4&lt;x0(4,0]-4 &lt; x \le 0 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad (-4, 0]
208

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

jercicio 8.3.
Resuelve las siguientes inecuaciones lineales no acotadas.

Se plantean 4 inecuaciones lineales a continuación:

  1. Primero, resuelva los ejercicios propuestos.
  2. Luego, para verificar las respuestas, oprima el botón solución, observa la respuesta de cada inecuación, la desigualdad obtenida y la representación del intervalo.

¡Recuerda!, este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos en el infinito:
209

8.3 Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Primero que debemos hacer, recordemos las propiedades de las ecuaciones de 2° grado, teniendo en cuenta sus diferentes soluciones analizando el discriminante d=b24acd = b^2 -4ac que indica que tipo de solución tiene la ecuación (página 129):

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

Esta información será de utilidad, ya que nos permitirá realizar un proceso muy simple para conocer la solución de inecuaciones de 2° grado.

Con la información anterior obtenida, el proceso de solución de la inecuación consiste en:

  • Encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática, se resuelve igualando a cero la ecuación.
  • Ubicarlas las soluciones en la recta numérica e identificar los intervalos que se generan. Con los valores obtenidos, en la recta colocamos círculos vacíos para identificar que en la inecuación no se permite la igualdad con cero (&lt;o&gt;&lt; o &gt;) o circulos rellenos que identifican que se permite el cero en la inecuación (o≤ o ≥). Estos puntos son los extremos de los intervalos que se generan.
  • Identificar el signo del polinomio en cada una de los intervalos generados. Sustituimos un valor de cada intervalo en la inecuación para obtener el signo que determina cada intervalo.
  • Buscar la solución de la inecuación según los signos obtenidos y según la desigualdad dada.

210

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

Ejemplo 8.3. Encontrar la solución de la inecuación cuadrática:

x2x42&lt;0x^2 - x -42 &lt; 0 (x7)(x+6)=0(x - 7)(x + 6) = 0 x7=0x+6=0x - 7 = 0 \quad\land\quad x + 6 = 0 x=7x=6x = 7 \quad\land\quad x = -6

Ubicamos los valores encontrados y identificamos los intervalos generados, sustituimos un valor de cada intervalo en el factor para obtener el signo que se determina.

Observemos el signo del factor x7x - 7:

Si x&lt;7,x &lt; 7, sustituimos xx por 117=6()1 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 1-7 = -6 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad (-).

Si x&gt;7,x &gt; 7, sustituimos xx por 997=2(+)9 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad9-7 = 2 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad (+).

Observemos el signo del factor x+6x + 6:

Si x&lt;6,x &lt; -6, sustituimos xx por 8  8+6=2 ()-8 \space {\displaystyle \longrightarrow } \space -8+6 = -2 \space {\displaystyle \longrightarrow } \quad (-).

Si x&gt;6,x &gt; -6, sustituimos xx por 22+6=8(+)2 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad 2+6 = 8\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad (+).

¿Que sucede en el caso que la ecuación no tenga solución real?

211

Por tanto la solución de la inecuación x2x42&lt;0x^2 - x -42 &lt; 0, son los valores donde los intervalos son negativos:

Figura 8.4. Solución gráfica de la desigualdad.

por tanto, la solución es: 6&lt;x&lt;7=(6,7)\quad -6 &lt; x &lt; 7 = (-6, 7)

Si la inecuación fuera x2x420x^2 - x -42 \le 0, significa que ahora se admiten valores que al evalúar el polinomio el resultado sea cero: (6)2(6)420(-6)^2 - (-6) -42 \le 0 (7)2(7)420(7)^2 - (7) -42 \le 0 Por tal motivo, se incluye 6-6 y 77 en la solución: [6,7]\quad [-6, 7].

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo.

¡Recuerda!.
Si la desigualdad tiene este signo &lt;oˊ&gt;&lt; ó &gt;, los valores en la recta son un circulo vacio y se ubica en paréntesis en la solución.

Si la desigualdad tiene este signo o≥ o ≤, los valores en la recta son un circulo relleno y se ubica en corchetes en la solución.

212

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

xploremos.
Ejemplos de la solución de una inecuación cuadrática.

Comprueba la solución, toma un valor de cada intervalo, remplaza en el polinomio inicial y verifica el signo del resultado obtenido.

Seleccione el signo de la desigualdad para cambiar la inecuación, oprime el botón ejemplo para ver diferentes ejemplos.

Responde a la siguiente pregunta:

213

8.4 Inecuaciones racionales con una incógnita

Cuándo tenemos inecuaciones con expresiones racionales se realizan los siguientes pasos:

  1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
  2. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas, ¿sabes porque?
  3. Tomamos un punto de cada intervalo, evalúamos en la inecuación inicial y observamos el signo en cada intervalo.
  4. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

xploremos.
Observa ejemplos de inecuaciones con expresiones racionales:

214

Capitulo VIII. Inecuaciones \qquad

8.5 Practiquemos

jercicio.
Resuelve las siguientes inecuaciones cuadráticas y racionales.

Indicaciones
Analiza la inecuación propuesta.

  1. Resuelve el ejercicio propuesto y verifica tus respuestas, oprime el botón ver solución.
  2. Para una nueva inecuación, oprime el botón ejercicio y repite los pasos anteriores.


Comprueba la solución de forma gráfica, toma un valor de cada intervalo y remplázalo en el polinomio inicial y comprueba el signo con el resultado obtenido y realiza la gráfica.
215

Evalúamos lo aprendido.
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 10 preguntas con límite de tiempo - (10 minutos)
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Capítulo VIII: Inecuaciones.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

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216

"Las matemáticas son la ciencia de lo que está claro por sí mismo".

Carl Gustav Jacob Jacobi

217
Capítulo IX

Números Complejos

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE (DBA)

DBA.2. Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

DBA.5. Utiliza teoremas, propiedades y relaciones geométricas (teorema de Tales y el teorema de Pitágoras) para proponer y justificar estrategias de medición y cálculo de longitudes.

DBA.8. Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

DBA.9. Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

[7] Derechos Básicos de Aprendizaje - Grado 9°.

DESEMPEÑOS / ESTANDAR

Pensamiento numérico
1.2 M.IV Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. DBA 2.
Pensamiento espacial
2.4 M.IV Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. DBA 5.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
5.1 M.IV Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. DBA8, 9
5.5 M.IV Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. DBA2, 8.

Capitulo IX. Números Complejos \qquad

9.1 Introducción

Si se llega a la siguiente situación al resolver una ecuación, donde:

x2=1x^2 = -1 x=1x = \sqrt{-1} Este tipo de ecuación o similar, no tiene solución en el conjunto de los números reales (R\mathbb{R}).

En esta sección se analizará el estudio de números no reales que provienen de una raíz par de un número negativo, para esto, veamos la siguiente definición:

9.1.1 Número Imaginario (I\mathbb{I})

Un número Imaginario (I\mathbb{I}) puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria ii, es decir, la expresión bibi, donde i=1i = \sqrt{-1} llamada unidad imaginaria. Este número Imaginario ii se le conoce también como constante imaginaria, ejemplos:

4=4.1=2i\quad \sqrt{-4} =\sqrt{4}.\sqrt{-1} = 2i 25=5i,49=23i,5=5i-\sqrt{-25}=-5i, \qquad \sqrt{-{4 \over 9}}={2 \over 3}i, \qquad \sqrt{-5}=\sqrt{5}i

Este tipo de números se conocen como números imaginarios puros y se representan también como una pareja ordenada de la forma (0,b)(0, b), donde la primera componente es nula.

3i=(0,3) 3i = (0, 3)
221

Análisis de las potencias de ii

i=1i = \sqrt{-1}
i2=(1)2=1i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1
i3=(1)3=(1)2.(1)=1=ii^3 = (\sqrt{-1})^3 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1}) = -\sqrt{-1} = -i
i4=(1)4=(1)2.(1)2=1i^4 = (\sqrt{-1})^4 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^2 = 1

i5=(1)5=(1)2.(1)3=(1)(1)=1=ii^5 = (\sqrt{-1})^5 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^3 = (-1)(-\sqrt{-1}) = \sqrt{-1} = i
i6=(1)6=(1)2.(1)4=(1)(1)=1i^6 = (\sqrt{-1})^6 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^4 = (-1)(1) = -1
i7=(1)7=(1)2.(1)5=(1)(1)=1=ii^7 = (\sqrt{-1})^7 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^5 = (-1)(\sqrt{-1}) = -\sqrt{-1} = -i
i8=(1)8=(1)2.(1)6=(1)(1)=1i^8 = (\sqrt{-1})^8 = (\sqrt{-1})^2.(\sqrt{-1})^6 = (-1)(-1) = 1

Observa que cada cuatro potencias vuelve y repite el resultado, por tanto, podemos decir que:

i=i5=i9=i13......=ii = i^5 = i^9 = i^{13}...... = i \quad \quad{\displaystyle \longrightarrow } \quad Múltiplos de 4 más 1
i2=i6=i10=i14...=1i^2 = i^6 = i^{10} = i^{14}... = -1 \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Múltiplos de 4 más 2
i3=i7=i11=i15...=ii^3 = i^7 = i^{11} = i^{15}... = -i \quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad Múltiplos de 4 más 3
i4=i8=i12=i16...=1i^4 = i^8 = i^{12} = i^{16}... = 1 \quad \quad{\displaystyle \longrightarrow } \quad Múltiplos de 4

Si nn es par (1)n=1(-1)^n = 1
Si nn es impar (1)n=1(-1)^n = -1


Ejemplo 9.1. Para potencias de exponentes muy grandes:

i47=(i2)23.i=(1)23.i=(1).i=i=1i^{47}= (i^2)^{23}.i = (-1)^{23}.i = (-1).i = -i = -\sqrt{-1}

i80=(i2)40=(1)40=(1)i^{80}= (i^2)^{40} = (-1)^{40} = (1)

222

Capitulo IX. Números Complejos \qquad

9.2 Número Complejo (C\mathbb{C})

Los números complejos (C\mathbb{C}), están formados por una parte real "aa" y una parte imaginaria "bibi", donde a,ba, b son números R\mathbb{R} que representan una pareja ordenada (a,b)(a, b) y se expresan en forma binómica:

z=(a,b)=a+biz =(a, b)= a + bi

Figura 9.1. Representación en el plano del número complejo z=(a,b)=a+biz = (a,b) = a+bi.

En el caso en que b=0b=0, se tendrá un número de la forma a+0ia+0i, el cual corresponde a un número R\mathbb{R}, por lo que se puede concluir que todos los números R\mathbb{R} son también números Complejos, donde la parte imaginaria sería cero, observa la escritura de algunos números complejos:

Número Complejo (C\mathbb{C})
Parte Real (aa)
Parte Imaginaria (bibi)
3+2i3 + 2i
33
22
55
55
00
(3,5)(3, 5)
33
55
6i-6i
00
6-6
(0,3)(0,-3)
00
3-3
223

Los números complejo se pueden ubicar en el plano, que es llamado Plano de Argand, donde el eje real es el eje xx y el eje imaginario es el eje yy, es decir, se toma la parte real del complejo y se dibuja en el eje xx, la parte imaginaria en el eje yy luego, se trazan paralelas a los ejes que pasen por cada uno de los puntos dibujados y la intersección de dichas paralelas es la representación del número C\mathbb{C}.

Generalmente un número complejo se representa por medio de un vector, veamos en el plano la representación de un número Complejo (a,b)(a, b) y su forma binómica z=a+biz = a + bi:

xploremos.
Mueve el control o ingresa los valores para cada componente, observa el vector que se genera del complejo z=(a,b)=a+biz=(a, b)=a + bi.

224

Capitulo IX. Números Complejos \qquad

9.3 Operaciones con números Complejos

9.3.1 Suma o diferencia de números Complejos

Para sumar o restar números complejos se suman o se restán las partes reales y las partes imaginarias, si se tienen dos números complejos en forma binómica, entonces la suma o resta será:

z1=a+bi,z2=c+diz_1 = a+bi, \quad z_2 = c+di z1±z2=(a±c)+(b±d)iz_1 \pm z_2 = (a \pm c)+ (b \pm d)i

jercicio 9.1.
Sumas o diferencias entre números complejos.

Ingresa los valores para cada componente del número complejo, observa la suma de los números.

Si los números complejos están en forma de pareja ordenada, su suma o diferencia se expresa similar a la forma binómica.

225

Si los números están como pareja ordenada, la primera componente es la suma o resta de las partes reales (a1±a2)(a_1 \pm a_2) y la segunda componente es la suma o resta de las partes imaginarias (b1±b2)i(b_1 \pm b_2)i. z1±z2=(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)z_1 \pm z_2 =(a, b) \pm (c, d) = (a \pm c, b \pm d) (3,5)+(2,3)=(3+2,5+(3))=(5,2)=5+2i (3, 5) + (2, -3) = (3+2, 5+(-3)) = (5, 2) = 5 + 2i

Responde a la siguiente pregunta:

Representación de operaciones en el plano

Para sumar dos vectores gráficamente de manera sencilla, es utilizado el método del paralelogramo.

Consiste en colocar los dos vectores iniciales con su magnitud, dirección y sentido en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto.

Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo, los otros lados se construyen trazando líneas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud.

El vector suma resultante se representa mediante un vector dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.

226

Capitulo IX. Números Complejos \qquad

xploremos.
Método del paralelogramo para sumar números complejos.

Figura 9.2. Representación gráfica del método del paralelogramo.


Ingresa los valores para cada componente del número complejo, observa su gráfica.

227

9.3.2 Multiplicación de números Complejos

Para realizar la multiplicación de números complejos, se opera como una multiplicación entre binomios, se aplica la propiedad distributiva. Si se tienen dos números complejos, entonces la multiplicación será:

z1=a+biz_1 = a+bi z2=c+diz_2 = c+di z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+(ad)i+(bc)i+(bd)i2z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + (ad)i + (bc)i + (bd)i^2 z1z2=(acbd)+(ad+bc)iz_1 \cdot z_2 = (ac - bd)+ (ad + bc)i
Si z=a+biz = a + bi, entonces el inverso multiplicativo de un número C\mathbb{C} esta dado por la expresión: z1=aa2+b2+ba2+b2i=(aa2+b2,ba2+b2)z^{-1} = {a \over a^2+b^2} + {-b \over a^2+b^2}i = ({a \over a^2+b^2}, {-b \over a^2+b^2})

Ejemplo 9.2. Inverso multiplicativo de z=3+5i\quad z = -3 +5i

Componente real: a=aa2+b2=3(3)2+52=334\displaystyle\quad a = {a \over a^2+b^2} = {-3 \over (-3)^2 + 5^2} = {-3 \over 34}

Componente imaginario: bi=ba2+b2=5(3)2+52=534\displaystyle\quad bi = {-b \over a^2+b^2} = {-5 \over (-3)^2 + 5^2} = {-5 \over 34}

Por lo tanto, el inverso multiplicativo es: z1=334534i\displaystyle\quad z^{-1} = -{3 \over 34} - {5 \over 34}i

228

Capitulo IX. Números Complejos \qquad

jercicio 9.2.
Multiplicación entre números complejos.

Ingresa los valores para cada componente del número complejo, observa las respuestas.

El sistema de los números complejos tiene la propiedad de la existencia del inverso multiplicativo o recíproco para todo número distinto de cero. La propiedad del inverso multiplicativo se refiere a que para cada número zz, distinto de cero, existe un número, llamado el inverso, denotado por z1z^{−1}, que cumple:

zz1=1z\cdot z^{-1} = 1
229

9.3.3 La conjugada de un número Complejo

El complejo conjugado, o simplemente la conjugada, de un número complejo z=a+biz = a + bi , es otro complejo, y esta dado porla expresión:

zˉ=abi=(a,b)\bar{z} = a - bi = (a, -b)

Ejemplo 9.3. La conjugada de z=3+5i\quad z = -3 +5i

La conjugada es: zˉ=35i=(3,5)\quad \bar{z} = -3 - 5i = (-3, -5)

xploremos.
Observa un número complejo y su conjugada:

Ingresa los valores para cada componente del número complejo, observa la conjugada.

230

Capitulo IX. Números Complejos \qquad

Cuándo se multiplica un número complejo zz por su conjugada zˉ\bar{z}, se esta aplicando una diferencia de cuadrados, por tanto:

(c+di).(cdi)=c2(di)2(c + di).(c - di)=c^2-(di)^2 donde i2=(1),\quad i^2=(-1), \quad entonces, se tiene que:

c2d2(i)2=c2d2(1)=(c2+d2)Rc^2-d^2(i)^2=c^2-d^2(-1)=(c^2+d^2) \in \mathbb{R}

Ejemplo 9.4.
Multiplicación del número z=5+2i\quad z=5 + 2i\quad por su conjugada zˉ\bar{z}.

Conjugada de z=5+2izˉ=5+2i\quad z=5 + 2i\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \bar{z}=5 + 2i

zzˉ=(5+2i)(52i)=52+22=14z\cdot\bar{z}=(5 + 2i)(5 - 2i)=5^2+2^2=14

9.3.4 División de números Complejos

Para dividir por un número complejo, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor, veamos el siguiente proceso en la división de dos números: z1=a+biz_1 = a+bi z2=c+diz_2 = c+di

Conjugada del divisor z2ˉ=cdi\quad {\displaystyle \longrightarrow } \quad \bar{z_2} = c-di

z1z2=(a+bi)(c+di).(cdi)(cdi){z_1 \over z_2} = {(a + bi) \over (c + di)}.{(c - di) \over (c - di)}
231

Ejemplo 9.5. Sean   z1=36i,z2=2+i, \space\space z_1 = 3-6i, \quad z_2 = 2+i, \space encontrar   z=z1z2\space\space\displaystyle z={z_1 \over z_2}

z=z1z2=(36i)(2+i).(2i)(2i)z={z_1 \over z_2} = {(3-6i) \over (2+i)}.{(2-i) \over (2-i)} z=z1z2=63i12i+6i24i2=(66)+(312)i4+1z={z_1 \over z_2} = {6-3i-12i+6i^2 \over 4-i^2} = {(6-6)+(-3-12)i \over 4+1} z=145iz = -{14 \over 5}i

Para este ejemplo, se tiene que la parte real es cero, por tanto, el número complejo se representa como: z=(0,145)=0145iz =(0, -{14 \over 5})=0 -{14 \over 5}i

Responde a la siguiente pregunta:

¡Recuerda!, que al multiplicar un número complejo por su conjugada, se obtiene un número real, la parte imaginaria es cero.

z.zˉ=(c+di).(cdi)=c2+d2z.\bar{z}=(c + di).(c - di)=c^2+d^2
232

Capitulo IX. Números Complejos \qquad

9.4 Practiquemos

jercicio.
Operaciones entre números complejos-

Resuelve los 6 ejercicios propuestos con número complejos y verifica tus respuestas, oprime el botón solución.

233

Evalúamos lo aprendido.
Prepárate para la evalúación y mide tus conocimientos de lo aprendido en este capítulo, responde las preguntas a continuación:

Evalúación - 12 preguntas con límite de tiempo - (12 minutos)
Clic en el link, responde y envía los resultados por e-mail.

Capítulo IX: Números Complejos.
Evalúa lo aprendido en el capítulo y envía a tu profesor(a).

\quad Envia tu evalúación
 \space Evalúación: Capítulo IX

[4]. Tomada de la Red Educativa Digital Descartes.
Plantillas con Descartes-JS

234

"La naturaleza está escrita en lenguaje matemático".

Galileo Galilei

235

Bibliografía

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[10]Rodríguez S, Benjamín y otros (1996). Matemáticas con Tecnología Aplicada. Bogotá: Ediciones Prentice Hall. 220 pag. [11]Barnett, A. (1989). Álgebra y Geometría. Bogotá: 2° Ed. Ediciones MC Graw-Hill. 384 pag. [12]Uribe, J. (1989). Elementos de Matemáticas. Medellín: 2° Ed. Ediciones Bedout. 401 pag.
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