Viernes, 26 Mayo 2017 00:00

Misceláneas: Lugares geométricos. Las Cónicas.

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Lugares geométricos: Las Cónicas.

Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento genérico de las curvas Cónicas no degenaradas, esto es: de la circunferencia, la Elipse, la Parábola y la Hipérbola consideradas como lugares geométricos. Curvas estas resultantes del trabajo de observación y posterior interpretación geométrica de la relación entre el ser humano y la naturaleza, por parte de los sabios griegos clásicos. En esta ocasión estudiaron la incidencia, en el cono de la visión ocular, de las ondas visibles, con objeto de establecer los principios teóricos del conocimiento de las formas y los colores.

Es de interés recordar que estas curvas están entre las primeras que fueron estudiadas y descritas.

Consideramos, por tanto, que el estudio se centra en los ll.gg. generados por puntos que se mueven en el plano de forma que la razón (excentricidad) entre sus distancias a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) se mantiene constante.

Dentro del amplio grupo de trabajos relacionados con el tema destacamos los que se enlazan a continuación.

  • Estudio de las CÓNICAS. Trabajo realizado por M. Teresa Pérez y Oscar Arratia. Universidad de Valladolid.

    curvas cónicas no degeneradas
    cónicas propias (no degeneradas)

  • CÓNICAS. De Francisco Orti, profesor del IES Las Fuentezuelas.

    curvas cónicas no degeneradas
    amplio estudio de las secciones cónicas

  • CÓNICAS, del profesor Antonio Caro Merchante. Tanto la unidad didáctica como la miscelánea que sobre este tema creó en su día el profesor Caro Merchante están en fase de adaptación al nuevo editor DescartesJS; no obstante avanzamos algunos resultados, aún provisionales, por el interés didáctico y posibilidad de uso del material en clase para consolidar conceptos y sobre todo como ayuda a la realización de ejercicios sobre cónicas: ecuaciones, tangencias, clasificación,.....

    curvas cónicas
    amplio estudio de las secciones cónicas y las tangencias

Tomando como base, fundamentalmente, la documentación anterior hemos elaborado o adaptado, con DescartesJS, las misceláneas que se exponen a continuación. Queremos notar la intención didáctica de dichos trabajos en los que se condensan una buena cantidad de los conceptos elementales de Geometría del Curriculum.

  • Los trabajos dejan, para quien tenga interés en el tema o desee trabajar la precisión en clase, el ajuste fino de algunas variables controladas con pulsadores.
  • Las siguientes posibles mejoras de la utilidad:
    • convertir los pulsadores en animaciones.
    • mostrar la ecuación de la elipse en algunas de sus formas
    • ampliar la generación del l.g. al caso en el que el eje mayor de la elipse sea el vertical
    • .................
  • Estudio de la ELIPSE I. La elipse como l.g. generado por los puntos, P y P', de intersección de dos circunferencias una con centro en el foco F y otra en el F' ambas con radios dependientes del pulsador k de forma que cuando un radio aumenta el otro disminuye.

    Tanto en esta como en la siguiente miscelánea el pulsador k controla la generación del l.g.

    elipse tipo I
    elipse l.g. I

  • Estudio de la ELIPSE II. En esta ocasión se considera la elipse como el l.g. generado por un punto de un segmento, distinto de los extremos, cuando dicho segmento desliza sin separarse por dos rectas perpendiculares tal como se muestra a continuación.

    curvas cónicas no degeneradas
    elipse l.g. II

  • A continuación exponemos la adaptación a DescartesJS de la miscelánea realizada por el profesor Antonio Caro Merchante como ilustración de la contundencia didáctica del uso interactivo de una utilidad simple, que muestra de forma palpable un único concepto, como la enlazada a continuación.


    propiedad de los puntos de la elipse

    Las miceláneas siguientes, que abordan algunas situaciones de tangencia, son también consecuencia directa del trabajo del profesor Caro Merchante.

  • Estudio de la ecuación de la tangente a una circunferencia por uno de sus puntos.

    tangencias
    tangente en un punto

  • Estudio de las ecuaciones de las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

    tangencias
    tangentes desde un punto exterior

Como en anteriores ocasiones notamos que las utilidades mostradas son fácilmente adaptables y admiten las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

Las siguientes imágenes enlazan con pequeñas herramientas realizadas con el programa GeoGebra en las que se recrean los procesos de generación de la Elipse, primero como el l.g. creado por los dos puntos intersección de las circunferencias con centro en los focos y radios variables y en segundo lugar el l.g. generado por un punto de un segmento cuando dicho segmento se desliza por dos rectas perpendiculares.

La Elipse. Método I.


hoja de trabajo de la Elipse (I)

La siguiente imagen es el vínculo a la utilidad que muestra la generación del l.g. por el segundo método.

La elipse. Método II.


la elipse (método II)

Proponemos el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido uno que muestra la deducción, paso a paso, de la ecuación del lugar geométrico que define a una curva cónica.

Las Cónicas como lugares geométricos

Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales" sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.

En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos, su aplicación en las cuadraturas y analizando el subproyecto Misceláneas.

Animamos a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.

Bibliografia:


Ildefonso Fernández Trujillo. 2017

 

 

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