Martes, 06 Marzo 2018 23:59

Particiones del cubo en pirámides (parte II)

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La descomposición de un cubo en pirámides de base triangular surge de manera natural, y fácil, una vez que se han analizado las particiones de un cubo en pirámides de base cuadrada. Basta considerar una de las dos diagonales de dicha base cuadrada para que la pirámide quede partida en dos triangulares. Así pues, toda pirámide cuadrada puede subdividirse de dos formas diferentes en pirámides triangulares, sendas pirámides para sendas diagonales. No obstante, veremos que este procedimiento no conduce a la partición de cardinal mínimo, siendo necesario abordar un planteamiento constructivo independiente para lograrla. Este nuevo esquema nos conducirá a particiones que catalogaremos como no prismáticas o primásticas. Estas últimas serán objeto de un análisis específico en un tercer artículo relativo a este tema.

Particiones de un cubo en pirámides de base triangular 

1. Partición mediante descomposición de pirámides de base cuadrada

Si consideramos las diferentes particiones del cubo en pirámides cuadradas obtenidas en el artículo anterior entonces, automáticamente, son conocidas sendas particiones en pirámides triangulares sin más que considerar cada una de las dos diagonales del cuadrado que constituye la base en cada pirámide. Además, las dos subpirámides obtenidas serán equivalentes (con igual volumen), pues la base inicial cuadrada ha quedado dividida en dos partes iguales y la altura es común a ambas y, por tanto, el volumen de cada una de esas pirámides triangulares es la mitad del volumen inicial. En este contexto tendríamos las siguientes situaciones: 

  • Considerando la partición mínima del cubo en tres pirámides cuadradas obtendríamos una subpartición en seis pirámides triangulares equivalentes. Dado que cada una de esas pirámides cuadradas pueden dividirse de dos formas diferentes, según cual sea la diagonal del cuadrado que se considere, tendríamos a su vez varias posibilidades:
    • Si la diagonal que se considera conduce a dividir la pirámides cuadradas por su plano de simetría, entonces las seis pirámides son congruentes ya que hay tres coincidentes entre sí mediante traslación y giro (lo que de manera simplificada se suele indicar como iguales) y las otras tres son simétricas de las primeras ―denotaremos a una de las pirámides como tipo X1 y a su simétrica como X2―. la partición sería {X1, X2, X1, X2, X1, X2}  Este caso es el que usualmente puede encontrarse en las fuentes literarias clásicas y en la Web. Veremos que es una situación particular del estudio global, que abordaremos en otro articulo, correspondiente a lo que denominaremos particiones prismáticas porque agrupando esas pirámides de tres en tres el cubo queda descompuesto en dos prismas triangulares.
      Descomposición prismática del cubo en seis pirámides triangulares congruentes

      Escena 1. Partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares congruentes
      (Haz clic en la imagen para acceder al recurso interactivo)


      Este proceso de división podría repetirse considerando la mediana de las nuevas bases y así obtendríamos una partición con doce pirámides equivalentes y dos familias de 6 pirámides congruentes entres sí; y con una nueva fracción por la mediana serían 24 pirámides equivalentes y 4 familias congruentes y, en general 3·2n pirámides equivalentes y 2n-1 familias de pirámides congruentes entre sí. Un entretenimiento teórico bonito, pero que físicamente su traslación a un contexto manipulativo rápidamente no es viable.

    • Si se considera la diagonal perpendicular al plano de simetría, cada pirámide cuadrada queda divida en dos pirámides equivalentes. La partición cuenta con dos tipos de pirámides que denotaremos como tipo Y (la que cuenta con un triedro trirrectángulo) y la otra que nombraremos tipo Z. La partición es {Y, Z, Y, Z, Y, Z}. Esta partición, a diferencia del caso anterior no es prismática.

      Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

      Escena  2. Partición no prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

    • Si se combinan las dos posibilidades anteriores se obtienen siempre seis pirámides equivalentes y habría dos posibilidades: {X1, X2, X1, X2, Y, Z} o {X1, Y, Z, X2, Y, Z}, siendo ambas también particiones prismáticas.
  • Análogamente, en el caso de hacer tambien sólo una subdivisión por cada pirámide cuadrada, la partición en cuatro pirámides cuadradas se convertiría en ocho triangulares, la de cinco en diez y la de seis en doce.

En la siguiente escena se aborda de manera general la partición del cubo en pirámides triangulares a partir de las particiones del mismo en pirámides cuadradas: 

Partición no prismática de un cubo en seis pirámides triangulares equivalentes

Escena  3. Partición del cubo en pirámides triangulares por división de pirámides cuadradas. Caso general.

Todas las situaciones anteriores son, o pueden considerarse, interesantes y conducentes a puzles de cierta dificultad tanto en los casos en los que se busca la máxima congruencia o regularidad, como en la posición contraria. Pero ninguna de ellas conduce a la partición con cardinal mínimo, pues el planteamiento realizado viene condicionado por la partición previa en pirámides de base cuadrada. La partición mínima, como veremos en la próxima sección, se corresponde con cinco pirámides y salvo isometrías hay una única posibilidad para su construcción. Por ello, nuestro centro de interés se focalizará en la antes citada descomposición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes, que sin ser el caso único de cardinal mínimo sí que genera una variedad de situaciones que nos proponemos cuantificar y detallar.

2. Partición mediante construcción específica

En esta sección partiendo de un cubo de vértices {A, B, C, D, E, F, G, H}, nos planteamos realizar una partición del mismo en pirámides triangulares buscando, por un lado, que la descomposición tenga cardinal mínimo y, por otro, buscando alternativas en las que sin ser de cardinal minimo se encuentren congruencias o equivalencias.

Dado que las pirámides triangulares son poliedros convexos con cuatro caras triangulares (es decir tetraedros) y cuatro vértices, en la planificación de esta partición han de tenerse en consideración las siguientes observaciones:

  • Las caras del cubo han de dividirse en triángulos y, por tanto, se parte de un mínimo de 12 triángulos (2 por cada cara del cubo) y 18 segmentos (las doce aristas del cubo, más seis diagonales necesarias para partir cada una de las seis caras del cubo), que junto a los ocho vértices constituyen los elementos primarios a partir de los cuales se han de construir las pirámides de la partición.
    Elementos primarios para la partición

    Escena 4. Una posible elección de los elementos primarios para realizar la partición 

  • El menor número de pirámides se obtiene cuando se consideran exclusivamente los elementos primarios citados. La introducción de cualquier vértice o segmento adicional generará un mayor número de combinaciones posibles, un mayor número de pirámides.
  • Dos pirámides de la partición pueden compartir como máximo tres vértices, una cara. O lo que es equivalente han de tener tres caras diferentes.
  • Una pirámide triangular de la partición queda determinada sin más que elegir dos segmentos con distinta dirección no coplanarios.
    Dos segmentos con diferente dirección no coplanarios

    Escena 5. Pirámide triangular determinada por dos segmentos con distinta dirección no coplanarios 

  • Cuando todas las diagonales correspondientes a las caras opuestas tienen distinta dirección las particiones en pirámides triangulares tienen más de seis pirámides, salvo:
    • Una partición con cinco elementos, que es la de cardenal mínimo, formada por cuatro pirámides trirrectángulas y un tetraedro regular.
      Partición de un cubo en cinco pirámides triangulares

      Escena 6. División del cubo en cinco prismas triangulares

    • Una partición con seis elementos, que es la partición no prismática indicada antes en la escena 2 y compuesta por las pirámides  {Y, Z, Y, Z, Y, Z}.
  • Cuando al menos un par de las diagonales correspondientes a caras opuestas tienen la misma dirección, entonces ese par junto a las dos aristas que son perpendiculares a ellas, forman un rectángulo y la partición en pirámides triangulares es posible sólo si se introduce al menos un segmento que bien subdivida ese rectángulo en dos triángulos o bien que lo corte. Al introducirse en la partición un nuevo elemento primario no puede obtenerse la partición de cardinal mínimo. 
    Segmentos coplanarios

    Escena 7. Diagonales coplanarias 


    Ese segmento adicional puede ser:
    • Una diagonal del cubo. Aquí la obtención de una partición obliga a incluir nuevos elementos primarios, puntos y segmentos, y  consecuentemente se incrementa el número de pirámides obtenidas.
    • La diagonal de ese rectángulo. En este caso el cubo queda dividido en dos prismas triangulares rectos con bases que son triángulos rectángulos isósceles. En esta situación diremos que la partición del cubo es prismática y veremos que conduce a un mínimo de seis pirámides triangulares; y en el caso de ser exactamente seis se cumple que siempre son equivalentes, es decir, que tienen igual volumen.
      Descomposición cubo en dos prismas triangulares

      Escena 8. División del cubo en dos prismas triangulares 

Así pues, nuestro análisis nos conduce a plantearnos la partición del cubo a través de la descomposición de un prisma triangular en pirámides triangulares. Éste puede ser un buen tema para detallar en un próximo artículo, y ello es mi propósito, confiando en que habrá colegas interesados en seguir comprobando como algo que parece tan simple, la descomposición de un cubo, no lo es tanto y aporta mucho juego, interés, conocimiento y belleza matemática. Por aquí ¡os espero pronto! 

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