Cálculo Diferencial
Libro interactivo
Módulo I

CÁLCULO DIFERENCIAL
Modulo I

INTERACTIVO



Carlos Alberto Rojas Hincapié
Red Educativa Digital Descartes, Colombia











1ª edición – 2022

Medellín
Colombia

Título de la obra:
CÁLCULO DIFERENCIAL
Módulo I


Autores:
CARLOS ALBERTO ROJAS HINCAPIÉ
1ª edición – 2022



Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: KaTeX\KaTeX


Red Educativa Digital Descartes
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN Obra completa: 978-84-18834-30-1
ISBN Módulo I: 978-84-18834-31-8

LICENCIA

Creative Commons Attribution License 4.0.
Sonido de fondo en videos. Música por e-soundtrax.

Prefacio

Estudiar Cálculo implica directamente estudiar funciones. El cálculo diferencial nos proporciona métodos para el estudio y análisis de funciones, las cuales constituyen una herramienta eficaz para resolver y comprender desde el punto de vista gráfico y analítico los fenómenos de la naturaleza, de los procesos físicos, el desarrollo de los avatares de la economía, los continuos avances en la ingeniería y la biología, entre otros, donde se nos exige el conocimiento de la modelación matemática. En está unidad se estudiará, no solo la definición de función real, sino también algunas clases de funciones con el análisis de su respectivo dominio, como tema de gran interés en el estudio de funciones, además se proponen situaciones problema que van dirigidos a la modelación de funciones.

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Capítulo I

Funciones

1.1 Concepto de función

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

Puede decirse que una función ff es una relación entre un conjunto dado xx (el dominio) y otro conjunto de elementos yy(el codominio) de forma que, a cada elemento xx del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x)f(x) Se denota por:

f:x  yf : x \longrightarrow \; y

Las funciones se pueden representar por medio de diagrama sagital, gráfica en el plano o por fórmula matemática.

Cuando las funciones están escritas como fórmulas, a xx se le llama variable independiente, a yy variable dependiente porque este valor depende del valor que se elija para la xx.

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La forma en que yy varía está determinada por la regla con la que se ha definido la función. Observa la siguiente imagen, no representan funciones, ¿porque?

Figura 1.1. Diagrama sagital que no representan funciones.

La escritura de las expresiones matemáticas nos permite identificar si hablamos o no de una función.

1.1.1 Notación y evaluación de una función

Es cuando se usa la expresión ff como nombre de la función. Este tipo de expresiones tiene la ventaja de permitir identificar la variable dependiente f(x)f(x) como informando al mismo tiempo que la variable independiente es xx

Ecuación explícita: es cuando en la ecuación que actúa como regla de correspondencia, se tiene despejada la variable dependiente yy en términos de la variable independiente xx.

Por ejemplo – la función y=3x2+5x4\begin{aligned} y &= 3x^2 + 5x - 4 \end{aligned} es una ecuación explicita, dado que, es la regla de correspondencia y permite calcular directamente para cualquier valor x del dominio, su imagen correspondiente y en la imagen.

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Ecuación implícita: se caracteriza porque en la expresión que actúa como regla de correspondencia, la variable dependiente yy no se encuentra despejada.

Por ejemplo – y2+3x2+5xy4=0\begin{aligned} y^2 + 3x^2 + 5xy - 4 &= 0 \end{aligned} , no tiene una forma sencilla de despejar la yy, por lo que deja de ser una expresión funcional.

Veamos una expresión en forma implícita que puede llevarse a forma explícita, en otras palabras, que es posible despejar la variable yy:

  • Forma implícita: 2x4y+xy3=0\qquad - 2x - 4y + xy - 3 = 0

  • Forma explícita y=f(x)\qquad y = f(x) \quad donde, y=2x+3x4\quad y = { {2x+3} \over x-4}

Criterio de la recta vertical

Si conocemos una gráfica, podemos determinar si ella corresponde a una función o no usando el criterio de la recta vertical.

Si al trazar alguna recta vertical corta la gráfica de una ecuación más de una vez, entonces la gráfica no es la gráfica de una función.

Figura 1.2. Trazado de una recta vertical
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Ejercicio.
Determinar si la gráfica que se muestra es una función o no, oprime para verificar en los botones SI o NO 1

GeoGebra. Utiliza el software para graficar y verificar.
Clic aquí. Grafique otras ecuaciones y la recta vertical x=ax=a y verifique si la ecuación es o no una función.

Para utilizar el software de GeoGebra, escriba la expresión a graficar en la barra de entrada, por ejemplo y=x2+4\quad y=x^2 + 4 se escribe:

Escena de Alberto Bravo Garcia. Tomada de: Cálculo Diferencial, iCartesiLibri.
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Evaluación de una función

Para evaluar una función, se toma el valor dado de la variable independiente x y se sustituye ese valor por x en la expresión.

Por ejemplo, si la función a evaluar es: y=2x2+4x4\begin{aligned} y = { {2x^2+4} \over x-4} \end{aligned}

Cuando la variable independiente es x = 2 la expresión queda asi:

f(2)=2(2)2+4(2)=122=6\begin{aligned} f(2) &= { {2(2)^2+4} \over (2)} = { {12} \over -2} = -6 \end{aligned}

Ejercicio.2
Evaluar una función, oprime los números del lado izquierdo y observa su resultado.

Escena de Alberto Bravo Garcia. Tomada de: Cálculo Diferencial, iCartesiLibri.
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1.1.2 Intersecciones con los ejes

La intersección con los ejes hace referencia a las coordenadas (x,0)(x,0) y (0,y)(0,y) es decir, son los puntos en que la gráfica corta (hace intersección con) el eje xx o con el eje yy.

Por ejemplo, la gráfica de la función (ver imagen) y=x24y=x^2 - 4

Vemos que los corte con el eje xx son dos, (2,0)(2,0) y (2,0)(-2,0) y tiene un corte con el eje yy (0,4)(0,-4)

  • Para encontrar el corte con el eje y, se hace x=0x =0 y se encuentra yy, obteniendo la coordenada (0,y)(0,y)
  • Para encontrar el corte con el eje x, se hace y=0y =0 y se encuentra xx, obteniendo la coordenada (x,0)(x,0)

Es posible que la gráfica no tenga intersección con los ejes (no corta los ejes), o que presente varias de ellas.

Cuando no es posible utilizar el método analítico para determinar las intersecciones con los ejes, se recurre al método gráfico, buscando los puntos donde la gráfica toca los ejes, observa la gráfica.

A las intersecciones con el eje xx, se le denominan ceros de la función.

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Para hallar los ceros de la función, casi siempre se recurre a métodos de factorización, como se muestra en el ejercicio siguiente.

Ejercicio.
Ceros de la de la función (intersecciones en el eje xx).

Encontrar los ceros de la función (si los hay), señala el método de solución, resuelve la expresión y oprime el botón Verificar.

En el caso de factorización, haz clic sobre el coeficiente o signo para cambiar su valor.

Después de ver el análisis de la función en el ejercicio anterior, ¿Cuál será la intersección con el eje y, como puedo encontrarla?

GeoGebra. Utiliza el software para graficar y verificar.
Clic aquí. Grafique las ecuaciones y observe las intersecciones para cada función.

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1.2 Clases de funciones

Las funciones se clasificación en:

Funciones algebraicas, se obtienen, a partir de operaciones algebraicas y las funciones trascendentes, son las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y las inversas.

Exploración. Observa algunos tipos de funciones, haz clic sobre el botón otra función y observa.

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1.2.1 Función Polinómica

Si ff es una función polinómica de grado nn tiene la forma: f(x)=anxn+an1xn1+...+a2x2+a1x+a0\begin{aligned} f(x) &= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 \end{aligned} donde nn es un entero no negativo.

Características principales de las funciones polinomiales.

  • Grado: es el mayor exponente de la función polinomial (xn\begin{aligned} x^n \end{aligned}).

  • Coeficiente principal: es el coeficiente de la variable con mayor grado en el polinomio (an\begin{aligned} a_n \end{aligned}).

  • Término constante: es el término del polinomio que no tiene variable (a0\begin{aligned} a_0 \end{aligned}).

Identifica en la siguiente gráfica los términos del polinomio.

Figura 1.3. Ejemplo de función polinómica f(x)=14x3+x2+1\begin{aligned} f(x) = \frac{1}{4}x^3 + x^2 +1 \end{aligned}.
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Las funciones polinomiales se denominan como lineales si el grado es uno, cuadráticas si el grado es dos, cúbica si el grado es tres, y así sucesivamente. Observemos algunas de ellas.

La Función Constante. f(x)=bf(x) = b

Una función ff es constante si la variable dependiente toma el mismo valor bb para cualquier valor de xx.

Exploración. Observa la siguiente escena interactiva de la función constante, cambia los valores de bb.

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La Función Lineal. f(x)=mx+bf(x) = mx + b

La función lineal es una función de primer grado, donde mm se conoce como la pendiente (grado de inclinación de la línea recta) y bb es el intercepto con el eje yy (el punto de corte (0,b))(0, b)).

Una de las formas de hallar la pendiente mm de una recta es tomar dos puntos sobre dicha recta, entonces sean los puntos P1(x1,y1)\begin{aligned} P_1 (x_1, y_1) \end{aligned} y P2(x2,y2)\begin{aligned} P_2 (x_2, y_2) \end{aligned} donde la pendiente está dada por la expresión: m=y2y1x2x1 m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} Ejercicio.3
Desplaza el punto rojo o azul, observa el resultado de la pendiente según los puntos.

Observa en la gráfica y piensa, que sucede cuando la pendiente es m>0m > 0 o m<0m < 0 o m=0m = 0 (cero)

Escena de Zinnya del Villar modificada por el autor
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Si se tienen dos puntos que pertenecen a una recta se puede hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos aplicando el método conocido como punto- pendiente

Donde, con la pendiente y uno de los puntos se aplica la expresión: yy1=m(xx1) y - y_1 = m (x - x_1)

Ejercicio.4
Hallar la ecuación de la recta dados dos puntos:

Escena de Zinnya del Villar.
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La ecuación lineal puede también tener la siguiente forma: Ax+By+C=0 Ax + By + C = 0 que se conoce como forma general de la ecuación de una recta, donde despejando yy obtendríamos una expresión equivalente a y=ABx+CB y = \frac{-A}{B}x + \frac{-C}{B} donde la pendiente es m=AB m = \frac{-A}{B} y el intercepto con el eje yy es b=CBb = \frac{-C}{B}

Se puede presentar en la ecuación de la forma general que:

  • Si A=0A = 0, la recta será una recta horizontal con m=0m=0, generando una función constante.
  • Si B=0B = 0, la recta será una recta vertical y la pendiente no está definida.

Ejercicio.
Función lineal en forma general. Escribe el valor de la pendiente y para verificar pulsa la tecla "enter <┘"

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Rectas paralelas y perpendiculares

Figura 1.4. Rectas paralelas
Dos rectas en el plano son paralelas si sus pendientes son iguales. m1=m2 m_1 = m_2 .
Figura 1.5. Rectas perpendiculares
Dos rectas en el plano son perpendiculares si sus pendientes m1 m_1 y m2 m_2 son tales que cumplen que: m1.m2=(1) m_1 . m_2 = (-1) .

En la gráfica anterior se tiene que la pendiente de la recta uno es m1=3 m_1 = 3 . y la pendiente de la recta dos es m2=13 m_2= \frac{-1}{3} . por tanto m1.m2=13.3=33=(1) m_1 . m_2 = \frac{-1}{3} . 3 = \frac{-3}{3} = (-1) , con lo cual se verifica que la rectas son perpendiculares.

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Simulación lineal.
Situación problema.

Una práctica en un laboratorio de Física Mecánica consistió en colocar un carrito sobre una pista recta, este se pone en marcha con velocidad constante y se mide la posición s(t)s(t) del carrito con respecto al inicio de la pista en centímetros (cmcm) con un tiempo tt en segundos (segseg).

Completa la tabla con varios puntos (t,s(t))(t, s(t)), por ejemplo, el tiempo se muestra t=5seg 2deˊcimas=2,5t= 5seg \space 2 décimas = 2,5 y distancia 13 cmcm, entonces el punto será (t,s(t))=(2.5,13)(t, s(t))=(2.5, 13)

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La Función Cuadrática. f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c

La función cuadrática es una función de segundo grado y representa la gráfica de una parábola.

Figura 1.6. Gráfica de la Función cuadrática con vértice en (h,k)(h, k).

Un caso particular de la función cuadrática cuando se tiene que el valor de:
a=1a = 1, b=c=0b = c = 0 se obtiene la expresión f(x)=x2f(x) = x^2, es una parábola con vertice en el origen (0,0)(0, 0)

La función cuadrática también se puede expresar como: f(x)=a(xh)2+kf(x) = a(x - h)^2 +k Se conoce como la forma estándar de la función cuadrática donde (h,k)(h, k) representa el vértice de la parábola.

¿Porque la función cuadrática con vértice (h,k)(h, k) solo tiene concavidad hacia arriba o hacia abajo?

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Elementos de la función cuadrática. Modifique los valores de a, b y c, observe algunos datos de la función cuadrática y su gráfica.

Valor máximo o mínimo de la función cuadrática.

  • Si a&gt;0a &gt; 0, entonces existe un valor mínimo en el vértice (h,k)(h, k), la parábola tiene abertura hacia arriba.
  • Si a&lt;0a &lt; 0, entonces existe un valor máximo en el vértice (h,k)(h, k), la parábola tiene abertura hacia abajo.
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Simulación cuadrática.
Situación problema.5

En una práctica de laboratorio, se va a calcular la altura máxima que alcanza una pelota lanzada verticalmente a una velocidad determinada y el tiempo que demora en alcanzar esa altura, ¿cómo se debe lanzar una pelota, para que alcance la máxima distancia horizontal?, Observa la trayectoria curva que describe la pelota.

Ingresa la velocidad y oprime el botón ver animación, observa la trayectoria que describe la pelota. Toma los datos de la gráfica para calcular altura máxima Y(t)Y(t) que alcanza y el tiempo tt que demora en alcanzar dicha altura.

Autor: Carlos Mario Restrepo Restrepo.
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1.2.2 Función Racional

La función racional es el cociente de dos funciones, f(x)f(x) y g(x)g(x), pueden ser polinomiales, radicales, entre otras y tiene la forma: y=f(x)g(x) y = \frac{f(x)}{g(x)}

GeoGebra. Escena interactiva, modifica los controles y observa el cambio de la función f(x)f(x).

Ejemplos de funciones racionales:

y=5x+3x23y = \frac{5x+3}{x^2 - 3}, f(x)=x2+95x23x+8f(x) = \frac{x^2+9}{5x^2 - 3x+8}, y=2x36x23y = \frac{-2}{x^3 - 6x^2-3}

En el análisis de funciones racionales se debe tener presente que el polinomio del denominador debe ser diferente de cero, g(x)̸0g(x) \equiv\not 0.
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1.2.3 Función Radical

Si f es una función radical está tiene la forma: f(x)=g(x)n f(x) = \sqrt[n]{g(x)}

donde g(x)g(x) es una función polinomial, racional, entre otras.

n se conoce como el índice de la función radical, donde n2n \ge 2 e indica para que valores reales existe, el cual se analizara en una sección más adelante.

Figura 1.7. Gráfica de la Función radical, y=x42y = \sqrt[2]{x-4}

Ejemplos de funciones radicales:

y=x323y = \sqrt[3]{x^3-2}, y=2x345y = \sqrt[5]{2x^3-4}, y=2x36x233y = \sqrt[3]{\frac{-2}{x^3 - 6x^2-3}},

Se puede presentar combinación de funciones racionales con funciones radicales, por ejemplo f(x)=x2x25\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{\sqrt[]{x^2-5}}
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1.2.4 Función por tramos

La función definida por tramos o por partes, está formada por varias funciones g(x)g(x), h(x)h(x)... en un determinado intervalo para la variable independiente xx, son de cualquier tipo. La función se expresa como: f(x)={g(x)si xah(x)si xbf(x) = \begin{cases} g(x) &amp;\text{si } x \le a \\ h(x) &amp;\text{si } x \ge b \end{cases}

GeoGebra. Escena interactiva, modifica el control y observa el cambio de la función f(x)f(x).

La imagen de un valor de xx se calcula según en que intervalo se encuentra, por ejemplo, x=2x=2 está en el intervalo (0,3)(0,3), entonces su imagen es f(2)=(2)22(2)+1=1f(2) = (2)^2 -2(2)+1 = 1.

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1.3 Dominio y rango de funciones

Dominio.
Es el conjunto XX de todos los números reales para los cuales la función ff existe o está definida.

Algunos autores nos dan la siguiente definición:

“El domino de una función ff es el mayor subconjunto del conjunto de números reales para los que f(x)f(x) es un número real”. D. Zill.

“El conjunto de todos los valores admisibles de xx se denomina dominio de la función”. L. Leithold.
Figura 1.8. yy es la imagen de xx donde y=f(x)y=f(x).
Rango.
También llamado recorrido o imagen, es el conjunto de todos los valores que cumplen y=f(x)y=f(x), o sea el valor de la función f en el número x. Son las imágenes de los elementos que pertenecen al dominio.
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1.3.1 ¿Cómo hallar el dominio de una función?

Para hallar el dominio de una función debe analizarse la forma en la cual está presentada la función.

Si la función está dada de manera gráfica, para hallar el dominio es necesario determinar, desde la gráfica, cuales valores de x tienen asignada una imagen en y, esto se puede lograr trazando una línea paralela al eje y, si está línea corta una vez la gráfica de la función el valor de x tiene asignada una imagen y por tanto pertenece al dominio de la función.

GeoGebra. Para ver la animación6 oprime el botón . Observa el dominio y rango de la función f(x)f(x).

Escena de Elkin Alberto Castrillón con licencia CC by-nc-sa
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4x = 104, pertenece al domino dado que tiene un valor de y=0y=0.

x=3x = -3, no pertenece al domino, no tiene un valor de yy asignado.

x=3,5x = 3,5, no pertenece al domino, no tiene un valor de yy asignado.

Si se sigue este procedimiento con todos los valores de xx se podrá determinar que el dominio de la función ff está compuesto por todos los valores de xx tales que x(,4](3,)x \in (-\infty, -4] \cup (-3, \infty).

Para simbolizar en una gráfica que un elemento tiene imagen (existe en la función) se usa un círculo relleno y que un elemento no tiene imagen (no existe en la función) se usa un círculo vacío.

Consideremos los siguientes casos de funciones para hallar el dominio y rango.

Si ff es una función polinómica, polinomio de grado nn de la forma: f(x)=anxn+an1xn1+...+a2x2+a1x+a0\begin{aligned} f(x) &amp;= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 \end{aligned} entonces el dominio serán todos lo números reales dado que la regla mediante la cual se define la función puede asignarle una imagen a cualquier número real, RR.

Por ejemplo - si tenemos la función f(x)=3x4+5x22x5 f(x) = 3x^4 + 5x^2 - 2x -5 y asignamos a xxvalores reales, siempre vamos a tener una imagen real.

f(0)=3(0)4+5(0)22(0)5=5 f(0) = 3(0)^4 + 5(0)^2 - 2(0)-5 = -5

f(2)=3(2)4+5(2)22(2)5=59 f(-2) = 3(-2)^4 + 5(-2)^2 - 2(-2)-5 = 59

f(13)=3(13)4+5(13)22(13)5=12527 f(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^4 + 5(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3})-5 = -\frac{125}{27}

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Exploración. Gráficas de funciones polinómicas. 7
Mueve el punto verde y verifica que todos los puntos están en el dominio de la función

Si ff es una función racional de la forma: y=f(x)g(x) y = \frac{f(x)}{g(x)} donde f(x)f(x) y g(x)g(x) son funciones polinomiales, entonces el dominio estará dado por todos aquellos valores de xx (números reales) tales que el denominador de la fracción sea diferente de cero, por tanto
g(x)̸0g(x) \equiv\not 0.

Escena de Juan Guillermo Rivera adaptada por el autor.
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Ejemplo. Sea la función y=3x22x2 y = \frac{3x - 2}{2x -2} entonces el valor de x=1x = 1 no pertenece al dominio de la función, dado que y=3(1)22(1)2=10 y = \frac{3(1) - 2}{2(1) -2} = \frac{1}{0} y la división por cero no está definida (no se le puede asignar una imagen al valor de uno); ahora como no hay otro valor real que haga que el denominador sea cero, se puede concluir que el dominio de la función f(x)f(x) son todos los números reales diferentes de 1. Simbólicamente se podría escribir así: domf={xRx̸1}=R{1}dom f = \{ x\in R | x \equiv\not 1 \} = R - \{ 1 \}

Se lee: “el dominio de ff son los xx que pertenecen a los reales tales que xx sea diferente de uno”

Ejemplo. Como hallar el dominio de una función racional cuyo denominador se descompone en factores.

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Exploración. Como hallar el dominio de una función racional.8
Haz clic en el botón Continuar, observar el paso a paso para encontrar el dominio de una función racional.

Si ff es una función radical de la forma: f(x)=xn f(x) = \sqrt[n]{x}

Si la función se define mediante una expresión algebraica que contiene radicales pares (raíz par), entonces el dominio estará dado por todos los valores de xx (números reales) tales que el argumento de la raíz (radicando) sea mayor igual que cero, esto por el hecho de que no es posible determinar un número real que elevado a potencia par de negativo. Simbólicamente se podría escribir así: domf={xRx0}dom f = \{ x\in R | x \ge 0 \}

Escena de Valentina Muñoz Porras. Tomada de: Cálculo Diferencial, iCartesiLibri.
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Ejemplo 1. Dominio de la función f(x)=3x62 f(x) = \sqrt[2]{3x - 6}

Se debe garantizar que el argumento de la raíz siempre sea mayor igual que cero y despejando a xx se tiene que:

3x60 3x - 6 \ge 0
3x 63x \ge \ 6
x63=2x \ge \frac{6}{3}=2
x2x \ge 2

Por lo tanto, encontramos que el dominio es el conjunto de todos los números reales tales que xx sea mayor que 2. Simbólicamente se puede escribir: domf={xRx2}dom f = \{ x\in R | x \ge 2 \}

Se puede presentar una combinación de restricciones cuando se combinan funciones

Ejemplo 2. Encontremos el dominio de una función combinada f(x)=x+12x4 f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2x - 4}

Como se ve la función está definida mediante una regla algebraica compuesta por una fracción y una raíz cuadrada, en este caso se combinan dos restricciones, por lo cual, se analizará por separado.

  • Sea la función g(x)=12x4g(x) = \frac{1}{2x - 4} donde el dominio de g(x)g(x) son todos los xx tales que x̸2 x \equiv\not 2

  • Sea la función h(x)=x+1h(x)= \sqrt{x + 1} donde el dominio de h(x)h(x) son todos los xx tales que x1x \ge -1
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Por lo tanto, el dominio de f(x)f(x) será la intersección del dominio de las funciones g(x)g(x) y h(x)h(x) , esto es, [(,2)(2,+)][1,+) [(-\infty, 2)\cup (2, +\infty)] \cap [-1, +\infty) domf(x)=[1,2)(2,+) dom f(x) = [-1, 2)\cup (2, +\infty)

El dominio de f(x)f(x) son todos los valores de xx tales que xx este entre 1-1 y 22 unido a 22 y ++\infty, se debe excluir el dos dado que sólo pertenece al dominio de h(x)h(x) y no al de g(x)g(x),

Observemos de manera gráfica el esquema de la forma de hallar el dominio de f(x)f(x)

Figura 1.9. Gráfica del dominio de la función f(x)=x+12x4 f(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2x - 4}.
Recordar que para calcular la intersección de dos conjunto es necesario determinar que elemento son comunes a ambos conjuntos, en este caso el número 22 pertenece al dominio de h(x)h(x) pero no al de g(x)g(x) por tanto no es un elemento común, el número 1-1 pertenece tanto a g(x)g(x) como a h(x)h(x) por tanto pertenece a la intersección, esto es, al dominio de f(x)f(x).

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Ejemplo 3. Encontremos el dominio de la función f(x)=1x29 f(x) = \frac{1}{\sqrt {x^2 - 9}}

Por tener una fracción combinada con una raíz par es necesario garantizar que su denominador sea diferente de cero,

x29&gt;0 x^2 -9 &gt; 0
(x3)(x+3)&gt;0 (x - 3)(x + 3) &gt; 0

Para que el producto de dos cantidades sea positivo, es necesario que ambas cantidades sean al mismo tiempo positivo, o ambas negativas.

  • Para que se cumpla que el factor (x3)&gt;0 (x - 3) &gt; 0 se deben tener todos los valores de xx tales que: x&gt;3 x &gt; 3
  • Para que se cumpla que el factor (x3)&gt;0 (x - 3) &gt; 0 se deben tener todos los valores de xx tales que: x&lt;3x &lt; -3

Por lo tanto el dominio es: domf(x)=(,3)(3,+)\qquad dom f(x) = (-\infty, -3)\cup (3, +\infty)

En la siguiente gráfica se ve de manera esquemática la forma de hallar el dominio de f(x)f(x)

Figura 1.10. Gráfica del dominio de la función f(x)=1x29 f(x) = \frac{1}{\sqrt {x^2 - 9}}.
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Ejemplo. Como hallar el dominio de una función radical con indice par cuyo radicando es una función racional.

Si f(x)f(x) es una función raíz de índice impar (n= 3, 5, 7,...), f(x)=xn f(x) = \sqrt[n]{x}, el dominio son todos los números reales donde la cantidad subradical esté definida.

Si f(x)f(x) es una función por partes o tramos (ver), es decir, definida por varias funciónes, el dominio es la unión de los intervalos donde fue definida cada función. La función por partes puede tener tantas partes como se requieran, por ejemplo f(x)={2x+3si 0xx2+1si x&gt;3f(x) = \begin{cases} {2x+3} &amp;\text{si } 0 \ge x \\ {x^2+1} &amp;\text{si } x &gt; 3 \end{cases}

domf(x)=(,0](3,+)dom f(x) = (-\infty, 0]\cup (3, +\infty)
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1.3.2 ¿Cómo hallar el rango de una función?

Para determinar el rango de una función f(x)f(x) se deben hallar todos los valores de yy que son imágenes de un valor de xx.

Un procedimiento para hacer esto en una gráfica, consiste en trazar líneas paralelas al eje xx y si esa línea corta la gráfica de la función entonces ese valor de yy pertenece al rango de dicha función.

Exploración. Rango de una función.9
Observa la escena interactiva, selecciona la función y arrastra el punto verde y verifica el rango de las funciones polinómicas.

Escena de Juan Guillermo Rivera adaptada por el autor.
42

Para determinar el rango de una función f(x)f(x) de forma analítica, se recurre a despeja la variable independiente xx en función de la variable dependiente yy (si es posible), y se realiza el mismo procedimiento que se utiliza para hallar el dominio de una función.

GeoGebra. Para ver la animación10 oprime el botón . Observa el dominio y rango de la función f(x)f(x).

Por lo general el rango de una función se halla utilizando la gráfica de la función, ya que en ocasiones despejar la variable independiente, x=f(y)x=f(y), no es posible.

Escena de Elkin Alberto Castrillón con licencia CC by-nc-sa
43

Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
Haz click sobre la respuesta correcta.

Encontrar el dominio y rango de la siguiente gráfica y responder:

1.4 Aritmética de funciones

Las funciones se pueden operar entre sí, de tal manera que:

  • (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x) = f(x) + g(x) .

  • (fg)(x)=f(x)g(x)(f-g)(x) = f(x) - g(x) .

  • (fg)(x)=f(x)g(x)(f*g)(x) = f(x) * g(x) .

  • (f÷g)(x)=f(x)÷g(x)(f\div g)(x) = f(x) \div g(x).

    Para hallar el dominio de las funciones anteriores, se halla la intersección de los dominios de las funciones ff y gg.

  • 44

    Ejemplo.
    Sean las funciones f(x)=3x23x1f(x) = 3x^2- 3x -1 y g(x)=5x3g(x)= 5x -3

    • Sumar

    (f+g)(x)=f(x)+g(x)=3x23x1+5x3(f+g)(x) = f(x) + g(x) = 3x^2- 3x -1 + 5x -3
    (f+g)(x)=3x2+2x1(f+g)(x) = 3x^2 +2x -1.

    El dominio son todos los reales, dado que son polinomios todas las funciones.

    • Restar

    (fg)(x)=f(x)g(x)=3x23x1(5x3)(f-g)(x) = f(x) - g(x) = 3x^2- 3x -1 -(5x -3)
    (fg)(x)=3x28x+2(f-g)(x) = 3x^2 -8x +2.

    El dominio son todos los reales, dado que son polinomios todas las funciones.

    • Multiplicar

    (fg)(x)=f(x)g(x)=(3x23x1)(5x3)(f*g)(x) = f(x) * g(x) = (3x^2-3x -1)*(5x -3)
    (fg)(x)=15x324x2+4x+3(f*g)(x) = 15x^3-24x^2 +4x +3.

    El dominio son todos los reales, dado que son polinomios todas las funciones.

    • Dividir

    (f÷g)(x)=f(x)g(x)=3x23x15x3(f\div g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3x^2-3x -1}{5x -3}

    El dominio de la función son todos los reales excepto cuando g(x)=0g(x)=0, por tanto cuando x=35 x = \frac{3}{5},

    45

    Para hallar el dominio de está función, se halla la intersección de los dominios de las funciones ff y gg, siempre que g(x)̸0g(x)\equiv\not 0 (esto significa que hay que excluir el valor de xx que haga que el denominador sea cero)

    domf={xRx̸35}dom f = \{ x\in R | x \equiv\not \frac{3}{5} \}

    1.4.1 Función compuesta

    Una función compuesta se denota como (fg)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x) = f(g(x))

    El símbolo (fg)(f\circ g) se lee "ff compuesta gg".

    Figura 1.11. En general, el dominio de la composición es el conjunto de números xx en el dominio de gg tales que g(x)g(x) está en el dominio de ff.

    Ejemplo - Sean las funciones f(x)=x21f(x) = x^2 -1 y g(x)=x+1x4g(x) = \frac{x+1}{x-4}

    Con las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x) , se tiene que, la expresión de la función compuesta (fg)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x)) será:

    46

    Encontremos (fg)(f\circ g) y su respectivo dominio:

    (fg)(x)=f(g(x))=(x+1x4)2+1(f\circ g)(x) = f(g(x)) = (\frac{x+1}{x-4})^2 +1

    Por tanto, el dominio de la función (fg)(f\circ g) es: dom(fg)={xRx̸4} dom_(f\circ g) = \{ x\in R | x \equiv\not 4\}

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    ¡Recuerda!
    Dadas dos funciones, podemos combinarlas de tal manera que las salidas de una función se conviertan en las entradas de otra. Está acción define una función compuesta.

    ¿Identificas el procedimiento?
    No, entonces para ver el procedimiento haz click en: Ver explicación

    47

    1.5 Transformaciones de funciones

    Para la gráfica de una función y=f(x)y = f(x), podemos obtener nuevas funciones a partir de diferentes transformaciones como son: desplazamientos, reflexiones, estiramientos y compresiones.

    Suponga que y=f(x)y = f(x) es una función, cc una constante positiva, entonces las transformaciones de la gráfica de la función pueden ser:

    Desplazamientos

    • Desplazamiento vertical

    y=f(x)+cy = f(x) + c : hacia arriba c unidades.

    y=f(x)cy = f(x) - c : hacia abajo c unidades.

    Figura 1.12. Desplazamientos verticales de la función f(x)f(x).

    Por ejemplo, sea la función y=x2y =x^2, entonces y=x2+3y =x^2 + 3 sufre un desplazamiento vertical hacia arriba 3 unidades.

    48

    • Desplazamiento horizontal

    y=f(x+c)y = f(x + c) : hacia la izquierda c unidades.

    y=f(xc)y = f(x - c) : hacia la derecha c unidades.

    Figura 1.13. Desplazamientos horizontales de la función f(x)f(x).

    Exploración. Observa los desplazamientos que puede sufrir la función, mueve los controles vertical o horizontal.

    49

    Reflexiones

    y=f(x)y = -f(x) : la función f(x)f(x) se refleja en el eje xx.

    y=f(x)y = f(-x) : la función f(x)f(x) se refleja en el eje yy.

    Figura 1.14. Reflexiones de la función f(x)f(x).

    Exploración. En la siguiente escena interactiva, selecciona la función y observa e identifica el tipo de reflexión.

    50

    Estiramientos y compresiones

    • Estiramiento y compresión vertical

    y=c.f(x)y = c.f(x) : la función f(x)f(x) estirada vertical si (c&gt;1)(c&gt;1) .

    y=c.f(x)y = c.f(x) : la función f(x)f(x) comprimida vertical si (0&gt;c&gt;1)(0&gt;c&gt;1).

    • Estiramiento y compresión horizontal

    y=f(c.x)y = f(c.x) : la función f(x)f(x) estirada horizontal si (0&gt;c&gt;1)(0&gt;c&gt;1) .

    y=f(c.x)y = f(c.x) : la función f(x)f(x) comprimida horizontal si (c&gt;1)(c&gt;1).

    Figura 1.15. Estiramiento y compresión vertical de una función f(x)f(x).

    Se debe tener presente que si c&gt;1c&gt;1 el factor cc es una constante positiva y si 0&gt;c&gt;10&gt;c&gt;1 el factor es una fracción constante positiva 1c\frac{1}{c}.

    Descarga: Transformaciones de una función. Resumen gráficas de funciones iniciales y las transformaciones.

    51

    Simetría de la gráfica de una función

    La gráfica de una función f(x)f(x) con dominio XX es simétrica con respecto a:

    • Eje y, si se cumple que f(x)=f(x)f(x) = f(-x) para todo xx en XX. En este caso, se dice que la función ff es par.

    • Origen, si se cumple que f(x)=f(x)f(x) = -f(-x) para todo xx en XX. En este caso, se dice que la función ff es impar.

    Por ejemplo, sea la función f(x)=x2x2f(x)= \frac{x}{2-x^2}, analicemos si la función es par o impar remplazando la variable xx por la variable x-x

    f(x)=(x)2(x)2=x2x2=x2x2=f(x)f(-x) = \frac{(-x)}{2-(-x)^2}= \frac{-x}{2-x^2}=-\frac{x}{2-x^2} = -f(x) por tanta es una función impar ya que f(x)=f(x)f(x) = -f(-x). Entonces es simétrica al origen. Observemos la siguiente gráfica:

    Figura 1.16. La función f(x)=x2x2f(x)= \frac{x}{2-x^2} es simétrica al origen.
    52

    Función creciente y decreciente

    Algunas funciones crecen y/o decrecen a medida que avanzan a lo largo del eje x. Estas variaciones ocurren en los valores que toma la función; es decir, en el cambio de las ordenadas.

    En términos formales, una función f(x)f(x) en un intervalo es:

    Creciente

    Si x1&lt;x2x_1 &lt; x_2 implica que f(x1)&lt;f(x2)f(x_1) &lt; f(x_2) para cualquier x1x_1, x2x_2 en el intervalo.

    Decreciente

    Si x1&lt;x2x_1 &lt; x_2 implica que f(x1)&gt;f(x2)f(x_1) &gt; f(x_2) para cualquier x1x_1, x2x_2 en el intervalo.

    Observa la función cuando es creciente, constante y decreciente:

    53

    Gráfica de función f(x)f(x) cuando es creciente o decreciente.

    Figura 1.17. Gráfica creciente y decreciente.

    Práctica lo aprendido.
    Mide lo que has aprendido, comprueba tus conocimientos respondiendo las siguientes preguntas.

    54

    1.6 Funciones trascendentes

    Las funciones trascendentes, son aquellas que no son funciones algebraicas, como son : las funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales.

    1.6.1 Funciones trigonométricas

    Exploración. Gráfica de las funciones trascendentes, selecciona una función y observa su gráfica.

    Observemos las siguientes gráficas de la función Sen(x)Sen(x) y Cos(x)Cos(x) donde se tienen algunas propiedades, como son: periodo, dominio, rango, simetría.

    55

  • y=Sen(x)y=Sen(x)
  • Función periódica, de periodo 2π2 \pi, es decir sen(x)=sen(x+2π)sen(x)=sen(x + 2\pi)
    Dominio: (,+)(-\infty, +\infty) \quad Rango: [1,1][-1, 1 ]
    Función impar: simétrica con respecto al origen.

    Figura 1.18. La función f(x)=Sen(x)f(x) = Sen(x).

  • y=Cos(x)y=Cos(x)
  • Función periódica, de periodo 2π2 \pi, es decir sen(x)=sen(x+2π)sen(x)=sen(x + 2\pi)
    Dominio: (,+)(-\infty, +\infty) \quad Rango: [1,1][-1, 1 ]
    Función impar: simétrica con respecto al eje yy.

    Figura 1.19. La función f(x)=Cos(x)f(x) = Cos(x).
    56

    Transformaciones de funciones trigonométricas

    Sean A&gt;0A&gt;0, B&gt;0B&gt;0, C y D constantes reales y=D+A.Sen(Bx+C) y = D + A.Sen( Bx + C) y=D+A.Cos(Bx+C) y = D + A.Cos( Bx + C)

    Donde

    D: Desplazamiento vertical
    A: Estiramiento, compresión, reflexión vertical
    B: Estiramiento, compresión horizontal al cambiar el periodo
    C: Desplazamiento horizontal

    Algunas observaciones:

    El número A|A|, se denomina amplitud. Para las funciones y=Sen(x)y= Sen(x) y y=Cos(x)y=Cos(x) , la amplitud es A=1|A|=1 .

    El periodo para las funciones básicas y=Sen(x)y= Sen(x) y y=Cos(x)y=Cos(x) y está dado por 2πB,B&gt;0\frac{2\pi}{B}, B &gt; 0. .

    La porción de la gráfica para las funciones básicas y sobre el intervalo [0,2πB][0, \frac{2\pi}{B}] , se denomina un ciclo.

    Ejemplo.

    Analiza la siguiente función, a partir de la gráfica de y=Cos(x)\quad y=Cos(x),
    Construya la gráfica de y=12Cos(x)=0.5Cos(x)\quad y=-\frac{1}{2}Cos(x)= - 0.5Cos(x)

    Solución. La gráfica de y=12Cos(x)y=-\frac{1}{2}Cos(x), es la gráfica de y=Cos(x)y=Cos(x) comprimida verticalmente por un factor de 2.

    57

    El signo menos, indica que la gráfica de se refleja luego con respecto al eje xx. Dado que A=12A=-\frac{1}{2}, se tiene que la amplitud es A|A|.

    Figura 1.20. Gráfica de la función y=12Cos(x)y=-\frac{1}{2}Cos(x).

    Ejercicio. Con ayuda del interactivo, gráfica la función
    y=Sen(x)y=Sen(x) y construya la gráfica de y=1+2Sen(x)y=1+2Sen(x)
    Observa las transformaciones de una función trigonométrica.

    58

    1.6.2 Función Inversa

    Una función inversa, que se denota f1(x) f^{-1}(x), es una función que parte del rango y llega al dominio. Para hallar la función inversa se procede de la siguiente manera:

    Paso 1. Probar que la función es uno a uno. (Si la función no es uno a uno en todo su dominio se puede restringir el intervalo para que sea).

    Paso 2. Despejar la variable xx en términos de la variable yy.

    Paso 3. Sustituir la variable yy por la variable xx y viceversa.

    Se cumple con la función ff y la función inversa de ff que:

    Dominiof1=RangofDominio \quad f^{-1} = Rango \quad f Rangof=Dominiof1Rango \quad f= Dominio \quad f^{-1}

    Ejemplo. Se tiene la siguiente función f(x)=2x53+5x\displaystyle f(x) = \frac{2x - 5}{3 + 5x}, encontrar la función inversa de ff

    y=2x53+5xy = \frac{2x - 5}{3 + 5x} y.(3+5x)=2x5y.(3 + 5x) = 2x - 5 3y+5xy=2x53y + 5xy = 2x - 5 5xy2x=53y 5xy - 2x = - 5 - 3y x.(5y2)=53y x.(5y - 2) = - 5 - 3y
    59

    Por lo tanto la función inversa de ff es x=53y5y2dondef1=53x5x2x = \frac{- 5 - 3y}{5y - 2} \qquad donde \qquad f^{-1} = \frac{- 5 - 3x}{5x - 2}

    ¡Comprueba!

    Se tiene que si el punto (a,b)(a, b) pertenece a la función ff entonces el punto (b,a)(b, a) pertenece a la función inversa de ff . Esto implica que la gráfica de la función ff y la gráfica de su inversa f1f^{-1} se reflejan con respecto a la gráfica de la función y=xy=x, por lo tanto, son simétricas.

    Exploración. Comprobemos que la función ff y su inversa son simétricas respecto a la recta y=xy=x.

    60

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    61

    1.6.3 Función Exponencial

    Sea b&gt;0b&gt;0 y b̸1b \equiv\not 1, entonces una función exponencial y=f(x)y=f(x) es una función de la forma: f(x)=bx f(x)= b ^x

    El número bb se llama base y la variable xx es el exponente.

    Se presentan dos tipos de graficas dependiendo de la base bb:

    Si b&gt;1b&gt;1, por ejemplo, sea la función f(x)=2xf(x) = 2^x su gráfica será:

    Figura 1.21. Gráfica de la función exponencial y=2xy = 2^x con b&gt;1b&gt;1.

    • La base es positiva entonces todos los valores de f(x)f(x) son positivos para todo número real.
    • Los valores de f(x)f(x) tienden a 00 cuando xx decrece, es decir, tiene una asíntota horizontal en y=0y=0. No corta el eje xx.
    • Se intercepta en el eje yy en el punto (0,1).
    • Función es creciente en el intervalo (,+)(-\infty, +\infty).

    62

    Sea 0&lt;b&lt;10 &lt; b &lt; 1 considere la función f(x)=(13)xf(x)= (\frac{1}{3})^x representada por la gráfica.

    Figura 1.22. Gráfica de la función exponencial f(x)=(13)xf(x)= (\frac{1}{3})^x.

    De la gráfica se tiene que:

    • La base es una fracción entre cero y uno.
    • Los valores de f(x)f(x) tienden a 00 cuando xx crece, es decir, tiene una asíntota horizontal en y=0y=0. No corta el eje xx.
    • Se intercepta en el eje yy en el punto (0,1).
    • Función es decreciente en el intervalo (,+)(-\infty, +\infty).
    Exponentes: Debido a que el dominio de una función exponencial es el conjunto de números reales, el exponente xx puede ser un número racional o irracional.

    Por ejemplo - Considere una base xx y un exponente, el cual es un número racional 15 \frac{1}{5}, luego la función exponencial sería: y=x15=x5 \quad y=x^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{x}

    63

    Recordemos las propiedades de la potenciación con la siguiente escena interactiva:

    Propiedades de las funciones exponenciales
    • Dominio: conjunto de números reales, dom(f)=(,+) dom(f)=(-\infty, +\infty) .
    • Rango: reales positivos, ran(f)=(0,+) ran(f)=(0, +\infty).
    • Intersección: la gráfica no tiene intersección en eje xx , se intercepta en el eje yy en el punto (0,1).
    • La función ff es creciente en (,+)(-\infty, +\infty) para b&gt;1 b &gt; 1 y decreciente en (,+)(-\infty, +\infty) para 0&lt;b&lt;10 &lt; b &lt; 1 .
    • El eje xx, es una asíntota horizontal para la gráfica de ff.
    • La función es uno a uno.

    64

    Situación problema. Observa la siguiente escena interactiva, con la solución de situaciones problema de funciones transcendentes.

    Solución problema 1.
    Como evaluamos la función, supongamos que t = 2, f(2)=3001+150e100t=3001+150e100(2) f(2)=\frac {300}{1+ 150e^{-100t}} = \frac {300}{1+ 150e^{-100(2)}} =3001+150e200=300= \frac {300}{1+ 150e^{-200}} = 300 f(2)=300f(2) = 300
    65

    1.6.4 Función Logarítmica

    La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

    El logaritmo de xx en base bb, se denota por:

    y=logb(x)y= log_b (x)\quad si y solo si x=by\quad x= b^y

    Con b&gt;0b&gt;0 y b̸1b \equiv\not 1 y xx un número real.

    Figura 1.23. Gráfica de la función logarítmica y=logb(x)y= log_b (x).

    Algunas precisiones:

    • Si b=10b = 10, se tiene que:
      log10(x)=log(x)log_{10} (x) = log (x) y se lee: logaritmo en base 10 de xx.
    • Si b=eb = e, se tiene que:
      loge(x)=ln(x)log_e (x) = ln(x) y se lee: logaritmo natural de xx.

    66

    Propiedades de los logaritmos.
    Sea mm y nn números positivos, entonces:

    1. logb(m.n)=logb(m)+logb(n)log_b{(m.n)} = log_b{(m)} + log_b{(n)}.
    2. logbmn=logb(m)logb(n)log_b{\frac{m}{n}} = log_b{(m)} - log_b{(n)}.
    3. logb(mn)=nlogb(m)log_b{(m^n)} = nlog_b{(m)}.
    4. logbmn=1m.logb(m)log_b\sqrt[n]{m} = {\frac{1}{m}}. log_b(m).
    5. logbb=1log_b{b}= 1
    6. logbbx=xlog_b{b^x}= x.
    7. logb1=0log_b{1}= 0
    8. logmn=ln(m)ln(n)log_m{n}= \frac{ln(m)}{ln(n)}

    Ejemplo.
    Aplique propiedades para simplificar la siguiente expresión: log4(2)+log4(32)=log_4{(2)} + log_4{(32)}=

    Solución.

    log4(2)+log4(32)=log4(2.32)=log4(64)log_4{(2)} + log_4{(32)} = log_4{(2.32)} = log_4 {(64)} log4(43)=3.log4(4)=3.(1)=3log_4{(4^3)} = 3. log_4{(4)} = 3.(1) = 3
    ¡Recuerda!
    loge(x)=ln(x)\qquad log_e{(x)} = ln(x)
  • eln(x)=xe^{ln(x)} = x para todo x&gt;0x&gt;0.
  • ln(ex)=xln(e^x) = x para todo xx.
  • 67

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    Ejemplo.
    Encontrar utilizando propiedades el valor de xx.

    ln(2)+ln(4x1)=ln(2x+5)ln{(2)} + ln{(4x-1)} = ln{(2x+5)}

    Solución. ln(2)+ln(4x1)=ln(2x+10)ln(2.(4x1))=ln(2x+10)8x2=2x+106x=12ln{(2)} + ln{(4x-1)} = ln{(2x+10)} \\ ln{(2.(4x-1))}= ln{(2x+10)} \\ 8x - 2 = 2x + 10 \\ 6x = 12 x=2x = 2

    68

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.



    Ejemplo. Hallar el dominio de una función logarítmica.
    69

    1.7 Actividades complementarias

    Con el objetivo de complementar lo aprendido en la sección y desarrollar competencias, realiza las siguientes actividades propuestas.

    Refuerza lo aprendido.
    Analiza los siguientes ejercicios resueltos11 y practica.

    70

    Práctica lo aprendido.
    Practica lo apendido en esta sección.12

    71
    Capítulo II

    Límites de una función

    2.1 Definición no formal de límite

    Suponga que LL denota un número finito. El concepto de f(x)f(x) que tiende a LL a medida que xx tiende a un número aa puede definirse informalmente de la siguiente manera:

    "Si f(x)f(x) puede hacerse arbitrariamente próximo al número LL al tomar xx suficientemente cerca de, pero diferente de un número aa, por la izquierda y por la derecha de aa, entonces el límite de f(x)f(x) cuando xx tiende a aa es LL.” D. Zill.

    Notación limxaf(x)=L\lim_{x \to a}{f(x)}= L Se lee: "el Límite de f(x)f(x) cuando xx tiende aa es igual a LL", o de otra manera “ cuando xx se acerca aa es igual a LL”.

    Limites laterales, son límites que tienden por la derecha o izquierda:

    • xa{x \to a^-}
      Se lee: "xx tiende aa por la izquierda" o de otra manera “xx se acerca aa por valores ligeramente menores que aa”.
    • xa+{x \to a^+}
      Se lee: "xx tiende aa por la derecha" o de otra manera “xx se acerca aa por valores ligeramente mayores que aa”.

    Para que el límite exista se debe cumplir que los límites laterales sean iguales.
    limxaf(x)=limxa+f(x)=L\lim_{x \to a^-}{f(x)} = \lim_{x \to a^+}{f(x)} = L
    75

    Existencia del límite

    Consideremos las siguientes funciones en la escena interactiva y analiza el límite de cada función. Mueva el punto y observe el límite.

    “La existencia de un límite de una función ff cuando xx tiende a a“a” (desde un lado o desde ambos lados) no depende de si ff está definida en aa, sino sólo de si está definida para xx cerca del número aa.” D. Zill.

    Consideremos la función y=x29x3y= \frac{x^2-9}{x-3} que no está definida en x=3x=3.

    Figura 2.1. Evaluación de la función f(x)f(x)
    76

    Evaluando los limites laterales, coinciden con los valores en la tabla:

    limx3f(x)=6\lim_{x \to 3^-}{f(x)}= 6 limx3+f(x)=6\lim_{x \to 3^+}{f(x)} = 6


    Ejercicio.13
    Use las gráficas para analizar los límites laterales, ingrese el valor de todos los límites propuestos y pulsa la tecla "enter <┘", verifique sus respuestas. Si hay errores, modifique los resultados y pulsa la tecla "enter <┘".

    Escena de José R. Galo Sánchez y Mª José García Cebrian adaptadas por el autor.
    77

    2.2 Propiedades de los límites

    Supongamos ff y gg funciones y l1l_1 y l2l_2 números reales, entonces las propiedades de los límites son:

    78

    2.3 Cálculo de límites

    2.3.1 Sustitución directa de un límite

    Si ff es un función y aa está definida en el dominio de la función ff, entonces limxaf(x)=f(a)\lim_{x \to a}{f(x)}= f(a)

    Se evalúa la función en el punto xx dado y se simplifican las expresiones resultantes, al valuar la función el símbolo de límite desaparece

    Ejemplo 1 limx0x2+3x2=\lim_{x \to 0}{x^2+3x-2}=

    Evaluando el límite se tiene que (0)2+3(0)2=2(0)^2 + 3(0) - 2 = -2, luego el límite existe cuando x=0x = 0, se acerca a 2-2.

    Ejemplo 2 limx33x2x5=\lim_{x \to -3} \frac{3x-2}{x-5}= =3(3)2(3)5=118= \frac{3(-3)-2}{(-3)-5}=\frac{-11}{-8} por lo tanto limx33x2x5=118\lim_{x \to -3} \frac{3x-2}{x-5}=\frac{11}{8}

    79

    Las funciones con la propiedad de sustitución directa se denominan continuas en x=ax=a.

    No obstante, no todos los límites pueden ser evaluados por sustitución directa, ya que puede suceder que no podemos hallar el límite al sustituir x=ax=a porque f(a)f(a) no está definida en la función.

    Ejemplos 14 Límites de funciones, elige el tipo de función y oprime los botones numéricos para seguir pasos a paso la solución.

    Escena de Carlos Hernandéz Garciadiego.
    80

    2.3.2 Límites con indeterminación 00\frac{0}{0}

    Son límites que al evaluarse presentan la forma 00\frac{0}{0}, por lo cual se busca eliminar esa indeterminación con algún procesos matemático.

    Como primer paso para resolver cualquier límite es sustituir el valor de la variable xx por el número al que tienda y ver si se obtiene un valor por sustitución directa, pero si obtenemos un valor de 00\frac{0}{0}, procedemos así:

  • Factorizando.
  • Descomponemos en factores los polinomios del numerador y del denominador, simplificando los factores comunes.

    Ejemplo.
    Hallar el siguiente límite limx3x29x+3\lim_{x \to -3} \frac{x^2-9}{x+3}

    Primero se evalúa el límite por sustitución directa: limx3x29x+3=32933=00\lim_{x \to -3} \frac{x^2-9}{x+3}= \frac{3^2-9}{-3-3}=\frac{0}{0} factorizando se tiene que:limx3(x3)(x+3)(x+3)=limx3(x3)=(33)=6 \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}}=\lim_{x \to -3} {(x-3)} = (-3-3) = -6

    limx3x29x+3=6\lim_{x \to -3} \frac{x^2-9}{x+3}= -6

    81

  • La conjugada.
  • En ocasiones, los límites con indeterminación tienen raíces y en estos casos se dificulta factorizar los polinomios para eliminar factores del numerador y del denominador.

    Para esta situación, se utiliza multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del binomio donde esté la raíz.

    ab\sqrt{a}-\sqrt{b}, donde su conjugada es: a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}, de está forma obtenemos que: (ab).(a+b)=(a)2(b)2=ab(\sqrt{a}-\sqrt{b}).(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b

    Ejemplo.
    Resolver el siguiente límite: limx4x2x4\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}

    Primero se evalúa el límite por sustitución directa: limx4x2x4=4244=00\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}= \frac{\sqrt{4}-2}{4-4}= \frac{0}{0} La simplificación de una expresión que contiene radicales, se resuelve en este caso multiplicando y dividiendo toda la función por la conjugada del numerador, o sea por (x+2)({\sqrt{x}+2})

    limx4(x2)(x+2)(x4)(x+2)=limx4(x)2(2)2(x4)(x+2)=\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}= \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x})^2-(2)^2}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=

    =limx4(x4)(x4)(x+2)=14+2=12+2=14=\lim_{x \to 4} \frac{\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x-4)}(\sqrt{x}+2)}= \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}

    82

  • Operando matemáticamente.
  • Para este caso, realizamos las operaciones matemáticas que se presenten para llegar a una simplificación de una expresión equivalente.

    Ejemplo.
    Resolver el siguiente límite: limx01+4x12x\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}}

    Primero se evalúa el límite por sustitución directa: limx01+4x12x=1+40120\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}}= \frac{1 + \frac{4}{0}}{1 - \frac{2}{0}}

    Para eliminar la indeterminación en este caso, resolvemos la expresión racional y simplificamos los resultados.

    limx01+4x12x=limx0x+4xx2x=limx0x.(x+4)x.(x2)\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}}= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x+4}{x}}{\frac{x-2}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cancel{x}.(x+4)}{\cancel{x}.(x-2)}

    limx0x+4x2=0+402=42=2\lim_{x \to 0} \frac{x+4}{x-2} = \frac{0+4}{0-2} = \frac{4}{-2} = -2

    limx01+4x12x=2\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}}= -2
    Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites no son válidas y podemos buscar una forma de eliminar esa indeterminación para que el límite exista.
    83

    Se debe tener presente en la solución del límite de una función lo siguiente:

    Límite es único

    Si limxaf(x)lim_{x \to a} f(x) existe, entonces es único.

    Límite que no existe

    Si f(x)̸0f(x)\equiv\not 0 y g(x)=0g(x) = 0 cuando xa{x \to a} entonces limxaf(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} no existe.

    Observa la siguiente escena interactiva15 con ejemplos de la solución de límites de diferentes funciones. Sigue pasos a paso la solución.

    Escena de Carlos Hernandéz Garciadiego.
    84

    Ejemplo. Límites indeterminados.

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    85

    2.3.3 Límites trigonométricos

    Para los límites trigonométricos, resulta útil aplicar los límites:

    Figura 2.2. Límites trigonométricos especiales.

    Ejemplo 1. Evaluar el siguiente límite limx0Sen(x)4x=\lim_{x \to 0} \frac{Sen(x)}{4x} =

    limx0Sen(x)4x=limx014Sen(x)x=14limx0Sen(x)x=14(1)=14\lim_{x \to 0} \frac{Sen(x)}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4} \frac{Sen(x)}{x} = \frac{1}{4} \lim_{x \to 0} \frac{Sen(x)}{x} = \frac{1}{4} (1) = \frac{1}{4} por lo tanto limx0Sen(x)4x=14\lim_{x \to 0} \frac{Sen(x)}{4x} = \frac{1}{4}

    Ejemplo 2. Evaluar el siguiente límite limx0Sen(3x)2x=\lim_{x \to 0} \frac{Sen(3x)}{2x} =

    limx0Sen(3x)2x=limx012Sen(3x)x=12limx033Sen(3x)x=\lim_{x \to 0} \frac{Sen(3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \frac{Sen(3x)}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{3}{3}\frac{Sen(3x)}{x} = 12.(3)limx0Sen(3x)3x=32.(1)=32\frac{1}{2}.(3) \lim_{x \to 0} \frac{Sen(3x)}{3x} = \frac{3}{2}.(1) = \frac{3}{2}

    86

    Ejemplo 3. Evaluar el siguiente límite limx0xxCos(x)3x2=\lim_{x \to 0} \frac{x-x Cos(x)}{3x^2} =

    limx0xxCos(x)3x2=limx0(x).(13).1Cos(x)x2=\lim_{x \to 0} \frac{x-x Cos(x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} (x).(\frac{1}{3}).\frac{1-Cos(x)}{x^2} = (13)limx0x.1Cos(x)x2=(13)limx01Cos(x)x=(13).(0)=0 (\frac{1}{3}) \lim_{x \to 0} \cancel{x}.\frac{1-Cos(x)}{x\cancel{^2}} = (\frac{1}{3}) \lim_{x \to 0} \frac{1-Cos(x)}{x} = (\frac{1}{3}).(0) = 0 por lo tanto limx0xxCos(x)3x2=0\lim_{x \to 0} \frac{x-x Cos(x)}{3x^2} = 0

    Ejercicio.16 Escribe en el recuadro la solución, puedes utilizar 2 decimales o fracción ab\frac{a}{b}. Verifica pulsando la tecla "enter <┘", para continuar debes tener correcto el ejercicio.

    Escena de Carlos Hernandéz Garciadiego adaptada por el autor.
    87

    Ejemplo. Límites trigonométricos.

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    88

    Se pueden presentar otros límites de sustitución directa o que se puedan utilizar identidades o en algunos casos resulta útil utilizar sustituciones para eliminar las indeterminaciones, como:

    Ejemplo 1.
    Sustitución directa. (Utiliza la calculadora para verificar).

    limxπ2Tan(x2)Sen(x2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Tan(\frac{x}{2})}{Sen(\frac{x}{2})} limxπ2Tan(x2)Sen(x2)=limxπ2Tan(π2.2)Sen(π2.2)=2\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Tan(\frac{x}{2})}{Sen(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Tan(\frac{\pi}{2.2})}{Sen(\frac{\pi}{2.2})} = \sqrt{2} Tan(45°)Sen(45°)=2\frac{Tan(45°)}{Sen(45°)} = \sqrt{2}

    Ejemplo 2.
    Utilicemos una identidad trigonométrica. limxπ2Cos(x)Cot(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Cos(x)}{Cot(x)} limxπ2Cos(x)Cot(x)=limxπ2Cos(π2)Cot(π2)=00\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Cos(x)}{Cot(x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Cos(\frac{\pi}{2})}{Cot(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{0} entonces, utilizamos la identidad para sustituir cot(x)cot(x), limxπ2Cos(x)Cot(x)=limxπ2Cos(x)Cos(x)Sen(x)=limxπ2Sen(x)1=Sen(π2)1=11=1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Cos(x)}{Cot(x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac {Cos(x)}{\frac{Cos(x)}{Sen(x)} } = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Sen(x)}{1} = \frac{Sen(\frac{\pi}{2})}{1} = \frac{1}{1} = 1 limxπ2Cos(x)Cot(x)=1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{Cos(x)}{Cot(x)}=1

    89

    En algunos casos resulta útil aplicar sustituciones, para eliminar las indeterminaciones en el cálculo de un límite trigonométrico.

    Ejemplo.
    Limite por sustitución con cambio de variable.

    limxπ2π2xCos(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{Cos(x)} limxπ2π2xCos(x)=π2π2Cos(π2)=00\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{Cos(x)} = \frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}{Cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{0}

    Sea y=π2xy = \frac{\pi}{2}-x, donde si xπ2{x \to \frac{\pi}{2}} entonces se tiene que y0{y \to 0}. por tanto

    limxπ2π2xCos(x)=limy0yCos(π2y)=(identidad)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{Cos(x)} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{Cos(\frac{\pi}{2}-y)}= (identidad) =limy0yCos(π2)cos(y)+sen(π2)sen(y)= \lim_{y \to 0} \frac{y}{\cancel{Cos(\frac{\pi}{2})cos(y)} + \cancel{sen(\frac{\pi}{2})}sen(y)} donde tenemos que Cos(π2)=0Cos(\frac{\pi}{2}) = 0 y Sen(π2)=1Sen(\frac{\pi}{2}) = 1, entonces, =limy0ySen(y)=limy0(sen(y)y)1= = \lim_{y \to 0} \frac{y}{Sen(y)} = \lim_{y \to 0} (\frac{sen(y)}{y})^{-1} = =(limy0(sen(y)y))1=11=1= (\cancel{\lim_{y \to 0} (\frac{sen(y)}{y})})^{-1} = 1^{-1} = 1 por lo tanto limxπ2π2xCos(x)=1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{Cos(x)} = 1
    90

    Ejemplo. Límites con cambio de variable.

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    91

    2.3.4 Límites Infinitos

    El límite de una función no existe siempre que a medida que xa{x \to a}, f(x)f(x) crece o decrece sin límite. Esto es. limxaf(x)=\lim_{x \to a} f(x) = \infty limxaf(x)=\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

    Definiciones de límites infinitos laterales que se presentan:

    Figura 2.3. Ninguno de los límites anteriores existe. 17
    ¡Recuerda!
    "xa{x \to a^-}" significa que consideramos sólo valores de x&lt;ax &lt; a, y "xa+{x \to a^+}" significa que consideramos sólo valores de x&gt;ax &gt;a.
    Tomada de: Cálculo de una variable. Conceptos y contextos. J. Stewart 4Ed.
    92

    2.3.5 Límites al Infinitos

    Indican a qué valor se aproxima la función, cuando x+{x \to +\infty} o x{x \to -\infty}. En este caso, diremos que:

    Figura 2.4. Límite al infinito por la derecha y Límite al infinito por la izquierda. 18

    En ambos casos, el limite existe y es igual a LL

    Analicemos el siguiente límite: limx1x\quad \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}

    Si xx toma valores cada vez más grandes, 1x\frac{1}{x} es más pequeña.

    Por ejemplo: 110=0,1\frac{1}{10}= 0,1, 1100=0,01\frac{1}{100}= 0,01, 110000=0,0001\frac{1}{10000}= 0,0001

    Figura 2.5. xx es grande, 1x\frac{1}{x} es pequeña.
    Tomada de: Cálculo de una variable. Conceptos y contextos. J. Stewart 4Ed.
    93

    Por tanto, al tomar xx lo suficientemente grande, podemos hacer que 1x\frac{1}{x} sea tan cercana a 00 como queramos, por tanto, se tiene que:

    limx1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

    Igual razonamiento cuando xx es grande negativa, 1x\frac{1}{x} es cercana a cero.

    Por tanto, obtenemos la siguiente regla para calcular límites que tienden a ±\pm \infty

    Si nn es un entero positivo, entonces limx1xn=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 limx1xn=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0

    Evaluar límites en el infinito de una función racional.
    Se debe dividir numerador y denominador por la potencia más grande de xx que se encuentre en el numerador o denominador de la función racional,

    ¡Recuerda!

  • "El símbolo "x+{x \to +\infty}" significa que xx crece sin límite, tomando valores positivos.
  • El signo "++ \infty" no es un número, es sólo una manera de indicar que una cantidad crece tanto que no podemos determinar su crecimiento.
  • 94

    Veamos los siguientes ejemplos y análisis:

    Ejemplo1. Evaluar el siguiente límite: limx3x22x+26x2x+3\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-2x+2}{6x^2-x+3}

    Dividimos por la mayor potencia de xx, en este caso x2x^2 limx3x22x+2x26x2x+3x2=limx3x2x22xx2+2x26x2x2xx2+3x2=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2-2x+2}{x^2}}{\frac{6x^2-x+3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{6x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{3}{x^2}} = simplificamos cada termino que sea posible =limx3x2x22xx2+2x26x2x2xx2+3x2=limx312x+2x2611x+3x2== \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}}-\frac{2\cancel{x}}{x\cancel{^2}}+\frac{2}{x^2}}{\frac{6\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}}-\frac{\cancel{x}}{x\cancel{^2}}+\frac{3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{1}-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}{\frac{6}{1}-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}} = por tanto,

    Aplicando las propiedades de los límites y distribuyendo en toda la expresión tenemos que: limx32x+2x261x+3x2=limx3limx2x+limx2x2limx6limx1x+limx3x2\lim_{x \to \infty} \frac{3-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}{6-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}} = \frac{\lim_{x \to \infty} 3- \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}+ \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2}}{\lim_{x \to \infty} 6 - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^2}} Aplicando la regla limx1xn=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0, obtenemos, 30+060+0=36=12\frac{3 - 0 + 0}{6 - 0 + 0} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

    ¿Qué se puede deducir al solucionar limites donde x±x \to \pm\infty de una función racional si en el numerador y el denominador la máxima potencia es la misma?
    95

    Ejercicio.19 Escribe en los recuadros la solución en fracción ab\frac{a}{b}, para verificar pulsa la tecla "enter <┘"

    Ejemplo2. limxx3+x2x\quad \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x}{2 - x}

    Dividimos por la mayor potencia de xx, en este caso x3x^3 limxx3xx32xx3=limxx3x3xx32x3+xx3=limxx3x3xx32x3+xx3=limx11x22x3+1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3-x}{x^3}}{\frac{2-x}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3}-\frac{x}{x^3}}{\frac{2}{x^3}+\frac{x}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\cancel{\frac{x^3}{x^3}}-\frac{\cancel{x}}{x\cancel{^3}}}{\frac{2}{x^3}+\frac{\cancel{x}}{x\cancel{^3}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}}

    Aplicando las propiedades y distribuyendo tenemos que: limx1limx1xlimx2x3+limx1x2=100+0=10=\frac{\lim_{x \to \infty} 1- \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^3} + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0}{0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty por tanto el límite no existe.

    Escena de Juan Guillermo Rivera adaptada por el autor.
    96
    Ejemplo3. limx3+2x22x2\quad \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3 + 2x}{2 - 2x^2}

    Dividimos por la mayor potencia de xx, en este caso x2x^2 limx3+2xx222x2x2=limx3x2+2xx22x22x2x2=limx3x2+2x2x22\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3+2x}{x^2}}{\frac{2-2x^2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2}+\frac{2x}{x^2}}{\frac{2}{x^2}-\frac{2x^2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x}}{\frac{2}{x^2} - 2}

    Aplicando las propiedades de los límites y distribuyendo en toda la expresión tenemos que: limx3x2+limx2xlimx2x2limx2=0+002=02=0\frac{\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} - \lim_{x \to \infty} 2} = \frac{0 + 0}{0 - 2} = \frac{0}{2} = 0 por tanto el límite existe y es igual a cero.

    Ejercicio.20 Observa el límite y selecciona la respuesta correcta para verificar la solución.

    Escena de Juan Guillermo Rivera adaptada por el autor.
    97

    ¿Qué se puede deducir al solucionar limites donde x±x \to \pm\infty de una función racional si la máxima potencia se encuentra en el numerador?

    ¿Qué se puede deducir al solucionar limites donde x±x \to \pm\infty de una función racional si la máxima potencia se encuentra en el denominador?

    ¡Conclusión!
    Para hallar el límite al infinito de una función racional de la forma y=f(x)g(x)y= \frac{f(x)}{g(x)} (cociente entre dos polinomios), se compara el grado de f(x)f(x) y g(x)g(x).

    Sean mm y nn el grado de los polinomios f(x)f(x) y g(x)g(x) respectivamente, entonces:

    1. Si m&lt;nm &lt; n, entonces limxf(x)=0\lim_{x \to \infty}f(x) = 0
    2. Si m&gt;nm &gt; n, entonces limxf(x)=±\lim_{x \to \infty}f(x) = \pm \infty
    3. Si m=nm = n, entonces limxf(x)=ambn\lim_{x \to \infty}f(x) = \frac{a_m}{b_n}
    Ejemplo4. Veamos cuando la función es radical limxxx2\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}}

    Dividimos por la mayor potencia de xx, en este caso sería xx limxxx2=limxxxx2x2=11=1\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}}=\frac{1}{1}=1

    Este valor corresponde a una asíntota y=1y=1, las cuales se estudiarán a continuación.

    98

    Ejemplo. Límites que tienden al infinito.

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    99

    2.4 Estudio de las asíntotas

    Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta, donde xx o yy tienden a infinito, dicha recta se llama asíntota de la función, y se clasifican en: verticales, horizontales y/o oblicuas. No todas las funciones tienen rectas asíntotas.

    1. Asíntota vertical.

    Se dice que x=ax=a es una asíntota vertical si cualquiera de las afirmaciones siguientes se cumple:

    limxaf(x)= \lim_{x \to a^-}f(x) = -\inftylimxa+f(x)= \lim_{x \to a^+}f(x) = -\inftylimxaf(x)= \lim_{x \to a}f(x) = -\infty
    limxaf(x)= \lim_{x \to a^-}f(x) = \inftylimxa+f(x)= \lim_{x \to a^+}f(x) = \inftylimxaf(x)= \lim_{x \to a}f(x) = \infty

    Gráfica de una asíntota vertical en x=ax=a.

    100

    2. Asíntota horizontal.

    Hasta el momento hemos analizado el límite de una función f(x)f(x) cuando "xax \to a" un número real LL. Sin embargo, también es posible analizar el comportamiento de una función f(x)f(x), cuando xx toma valores cada vez más grandes, sean éstos positivos o negativos; es decir cuando x+{x \to +\infty} o cuando x{x \to -\infty}.

    La recta y=by=b es una asíntota horizontal de f(x)f(x), si se cumple que: limx±f(x)=b \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = b

    Gráfica de una asíntota horizontal en y=by=b.

    ¡Recuerda!
    Las indeterminaciones pueden presentarse de la forma :

    0000001\frac{\infty}{\infty} \qquad \infty - \infty \qquad \frac{0}{0} \qquad 0^\infty \qquad 0^0 \qquad \infty ^0 \qquad 1^\infty

    101

    Ejemplo 1 - Asíntotas de funciones racionales.

    Veamos la función y=1+2x2+xy=\frac{1+2x}{2+x}, que asíntotas tiene:

    Asíntota vertical: x=2x=-2, ya que 2+x=0x=22+x =0 \to x=-2 y límite limx21+2x2+x=\lim_{x \to -2}\frac{1+2x}{2+x}=\infty

    Asíntota horizontal: y=2y=2 ya que el límite cuando xx \to \infty es: limx1+2x2+x=2\lim_{x \to \infty}\frac{1+2x}{2+x}=2

    GeoGebra. Observa la escena interactiva, modifica los controles y genera las asintotas de la función f(x)f(x).

    102

    3. Asíntota oblicua.

    Cuando la función f(x)f(x) es el cociente de dos polinomios, y el grado del numerador supera en uno al del denominador, entonces la curva y=f(x)y=f(x) tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es la función lineal y=mx+by=mx+b (m̸0)(m \equiv\not 0), donde: m=limxf(x)xb=limx(f(x)m(x))m=\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} \qquad b= \lim_{x \to \infty}(f(x)- m(x))

    Gráfica de una asíntota oblicua en y=mx+by=mx+b.

    Nota:

  • Pueden encontrarse en una función hasta dos asíntotas oblicuas distintas. Una por la derecha de su gráfica y otra por la izquierda.
  • Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado.
  • 103

    Ejemplo 2 - Asíntotas de una función.

    Veamos la función y=x2x+1y=\frac{x^2}{x +1}, que asíntotas tiene:

  • Asíntota vertical:x=1\qquad x=-1.

    Ya que x+1=0x=1x+1 =0 \to x=-1 y límite de la función cuando x1x \to -1 limx1x2x+1=10=\lim_{x \to -1}\frac{x^2}{x+1}= \frac{1}{0}=\infty

  • Asíntota horizontal:\qquad No tiene.

    Ya que el límite cuando xx \to \infty es: limxx2x+1=limxx2x2xx2+1x2=10=limx11x+1x2=10=\lim_{x \to \infty}\frac{x^2}{x+1}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{0}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{0}=\infty

    Como no tiene asíntota horizontal, podemos analizar la oblicua:

  • Asíntota oblicua:y=x1\qquad y=x-1.

    Encontremos la recta y=mx+by=mx+b, donde m=limxf(x)x=limxx2x+1x=limxx2x2+x=1m=\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x^2}{x+1}}{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{x^2}{x^2+x}=1 b=limx(f(x)m(x))=limx(x2x+1x)=limxxx+1=1b= \lim_{x \to \infty}(f(x)- m(x))=\lim_{x \to \infty}(\frac{x^2}{x+1}- x)=\lim_{x \to \infty}\frac{-x}{x+1}=-1

    Observa la gráfica de la función f(x)f(x) con sus asíntotas.

  • 104
    Figura 2.6. Asíntotas de la función en y=x2x+1y=\frac{x^2}{x+1}.

    En conclusión, Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables xx o yy tienden al infinito. Realiza el análisis de las siguientes funciones, respondiendo a las siguientes preguntas:

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    105

    2.5 Continuidad de una función

    Una función ff es continua en un punto x=ax=a, si cumplen las siguientes condiciones:

    1. f(a)f(a) exista, que este definida.
    2. limxaf(x)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) exista
    3. limxaf(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)= f(a)

    Si alguna de las condiciones no se cumple, entonces se dice que ff es discontinua en el punto x=ax=a.

    Ejemplo. Verificar si f(x)={x2+1si x12xsi x&gt;1f(x) = \begin{cases} x^2+1 &amp;\text{si } x\le -1 \\ 2x &amp;\text{si } x&gt;-1\end{cases} es continua.

    1. f(a)=f(1)=(1)2+1=2f(a)=f(-1)= (-1)^2+1 = 2, entonces f(1)=2 f(-1)=2\space Existe.
    2. Analizamos los limites laterales:

      Por izquierda, limxaf(x)=limx1x2+1=(1)2+1=2\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to -1^-} x^2+1=(-1)^2+1=2

      Por derecha, limxa+f(x)=limx1+2x=2(1)=2\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to -1^+} 2x=2(-1)=-2

      Luego, como los límites laterales son diferentes, el limx1f(x)\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) no existe, por tanto, f(x)f(x) es discontinua en x=1x=-1.

    Podríamos suponer (correctamente) que la existencia de un límite es importante para la continuidad. Una función es continua en un intervalo, si es continua en cada punto de ese intervalo.

    106

    Ejemplos.
    Observa algunos ejemplos que ilustran la no continuidad en una gráfica de una función ff en un punto x=ax=a. Para ver más ejemplos, oprime el botón Otro ejemplo.

    Las discontinuidades se pueden clasificar como de salto, infinitas, removibles, de punto final o mixtas.

    Figura 2.7. La imagen ilustra las discontinuidades.21
    Tomada de: Interactives at Math Warehouse, www.mathwarehouse.com.
    107

    Casos que se pueden presentar en la discontinuidad:

    Discontinuidad removible.

    Caso 1.

    Si se tiene que f(a)f(a) no está definida, pero se cumple que el limxaf(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) existe, se dice que las discontinuidades son removibles o puntuales, para remover está discontinuidad basta con redefinir la función para x=ax=a, por ejemplo:

    Figura 2.8. Discontinuidad removible, no cumple condición 1.

    La función cuya gráfica se presenta no es continua en el punto x=0x=0 debido a que en ese punto la imagen para x=0x=0 no está definida, pero el límite si existe, ya que: limx0f(x)=limx0+f(x)=4\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^+} f(x)=4

    108

    Caso 2.

    Si se tiene que f(a)f(a) está definida y que el limxaf(x)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) existe, pero no se cumple la tercera condición, que limxaf(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)= f(a), se dice que la función tiene discontinuidad removible, por ejemplo:

    Figura 2.9. Discontinuidad removible, no cumple condición 3.

    La función cuya gráfica se presenta no es continua en el punto x=0x=0 debido a que en ese punto la imagen para x=0x=0 está definida, f(0)=2f(0)=2 y el límite existe, ya que: limx0f(x)=limx0+f(x)=4\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^+} f(x)=4

    pero no se cumple que limx0f(x)=f(0)\lim_{x \to 0} f(x)= f(0)

    109

    Discontinuidad no removible.

    Caso 3.

    Si se tiene que no se cumple la condición 2, que: limxaf(x) no existe\lim_{x \to a} f(x) \space no \space existe se dice que la discontinuidad en NO removible, porque la gráfica de la función presenta un salto, por ejemplo:

    Figura 2.10. Discontinuidad no removible, no cumple condición 2.

    La función cuya gráfica se presenta no es continua en el punto x=0x=0 debido a que en ese punto la imagen para x=0x=0 está definida, f(0)=4f(0)=4 pero el límite no existe, ya que: limx0f(x) =limx0+f(x)\lim_{x \to 0^-} f(x) \space \cancel{=} \lim_{x \to 0^+} f(x)

    110

    En la gráfica de la función ff, analiza la continuidad en cada punto.

    Continuidad de una función compuesta.

    Si gg es continua en un punto x=ax=a y ff es continua en g(a)g(a), entonces la función compuesta (fg)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x) = f(g(x)) es continua en x=ax=a.

    Teorema. Límite de una función compuesta.

    Si limxag(x)=L\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)=L y ff es continua en LL, entonces: limxaf(g(x))=f(limxag(x))=f(L)\lim_{x \to a} f(g(x))= f(\lim_{x \to a} g(x))= f(L)

    111

    Ejemplo. Determinar el valor de cc y kk para que la función sea continua si f(x)={xsi x1cx+ksi 4&gt;x&gt;12xsi 4xf(x) = \begin{cases} x &amp;\text{si } x\le 1 \\ cx+k &amp;\text{si } 4 &gt;x&gt;1 \\ -2x &amp;\text{si } 4\le x \end{cases}

    Analizando cuando x=1x=1, se tiene que:

    1. f(a)=f(1)=1f(a)=f(1)=1.

    2. hallamos el limx1f(x)\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) con los Límites laterales:

      Por izquierda, limxaf(x)=limx1x=1\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-}x =1

      Por derecha, limxa+f(x)=limx1+cx+k=c(1)+k=c+k\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to 1^+}cx+k =c(1)+k=c+k

      Como limx1f(x)=limx1+f(x)\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^+}f(x) entonces c+k=1(1)\quad c+k=1 \quad (1)

    Analizando cuando x=4x=4, se tiene que:

    1. f(a)=f(4)=2(4)=8f(a)=f(4)=-2(4)=-8

    2. hallamos el limx4f(x)\displaystyle \lim_{x \to 4} f(x) con los Límites laterales:

      Por izquierda, limxaf(x)=limx4cx+k=c(4)+k=4c+k\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to 4^-}cx+k =c(4)+k=4c+k

      Por derecha, limxa+f(x)=limx4+x=2(4)=8\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to 4^+}x =-2(4)=-8

      Como limx4f(x)=limx4+f(x)\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x)=\lim_{x \to 4^+}f(x) entonces 4c+k=8(2)\quad 4c+k=-8 \quad (2)

    112

    Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido
    (1)c+k=1\qquad (1) \quad c+k=1
    (2)4c+k=8\qquad (2)\quad 4c+k=-8

    Se tiene que: c=3\quad c=-3, K=4\quad K=4. \quad
    Comprobar que la función f(x)f(x) es continua en un intervalo [1,4][1,4].

    Ejercicio.22
    Calcular el valor de kk para que la función sea continua en el punto propuesto x=ax=a. Ingresar el valor para kk y pulsa la tecla "enter <┘", oprime el botón Comprobar para verificar.

    Escena de José R. Galo Sánchez y Mª José García Cebrian adaptadas por el autor.
    113

    Teorema. Continuidad de una suma, un producto y un cociente.

    Si las funciones ff y gg son continuas en un punto x=ax=a, entonces la suma f+gf+g, el producto f.gf.g y el cociente fg\frac{f}{g}; siempre que g(a)=0g(a)\cancel{=} 0 son continuos en x=ax=a

    Capítulo III

    Derivada de una función

    3.1 Concepto de derivada

    La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la función en un punto, es el cambio instantáneo de la función en ese punto.

    Definición.
    La derivada de una función f(x)f(x) respecto de xx está dada por el límite: f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf&#x27;(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} Al cálculo de este límite se denomina derivación, y se dice que f(x)f(x) es derivable en cc si existe f(c)f&#x27;(c), es decir, si el límite existe.

    117
    ¡Notación!
    La derivada de la función y=f(x)y=f(x) se escribe como: y=f(x)=dydxy&#x27;=f&#x27;(x)=\frac{dy}{dx}

    La notación dydx\frac{dy}{dx} puede considerarse como “la razón de cambio de yy respecto a xx.”

    Ejemplo. Usar la definición de la derivada para calcular la derivada de la función y=5x2+3x1y=5x^2+3x-1 en cualquier punto de su dominio. f(x)=5x2+3x1f(x)=5x^2+3x-1 f(x+h)=5(x+h)2+3(x+h)1f(x+h)=5(x+h)^2+3(x+h)-1

    Aplicando la definición de la derivada, se tiene que: limh05(x+h)2+3(x+h)1(5x2+3x1)h\lim_{h \to 0} \frac{5(x+h)^2+3(x+h)-1-(5x^2+3x-1)}{h} limh05x2+10xh+5h2+3x+3h15x23x+1h\lim_{h \to 0} \frac{\cancel{5x^2}+10xh+5h^2+\cancel{3x}+3h -\cancel{1} -\cancel{5x^2} -\cancel{3x}+\cancel{1}}{h} limh010xh+5h2+3hh=limh0h(10x+5h+3)h\lim_{h \to 0} \frac{10xh+5h^2+3h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(10x+5h+3)}{\cancel{h}}

    Evaluando el límite, se tiene que: limh0(10x+5h+3)=10x+3\lim_{h \to 0}(10x+\cancel{5h}+3)= 10x+3

    Por tanto, la derivada de la función ff es: y=10x+3\qquad y&#x27;=10x+3

    118

    Para hallar el valor de la derivada en un punto basta con evaluar la derivada en ese punto.

    Ejemplo. Determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)=5x2+3x1f(x)=5x^2+3x-1 en el punto x=2x=-2

          La derivada de la función f(x)f(x) es: y=10x+3\qquad y&#x27;=10x+3.

    La derivada en un punto x=cx=c, corresponde a la pendiente de la recta tangente en el punto, se denota como: m=f(c)=dydxx=cm=f&#x27;(c)=\frac{dy}{dx} \Big|_{x=c} m=f(2)=dydxx=2=10(2)+3=17m=f&#x27;(-2)=\frac{dy}{dx} \Big|_{x=-2}=10(-2)+3=-17

    Definición de derivada puntual.

    Para hallar la derivada de una función ff en un punto x=cx=c dado, se puede utilizar también la definición que se muestra a continuación: y(c)=limxcf(x)f(c)xcy&#x27;(c)=\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}

    Así, la derivada de una función es la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado o una razón de cambio instantánea.

    Otras formas de definir la derivada son: y=limx0f(x+x)f(x)x=limx0yx=dydxy&#x27; = \lim_{{\triangle}x \to 0} \frac{f(x+{\triangle}x)-f(x)}{{\triangle}x}=\lim_{{\triangle}x \to 0} \frac{{\triangle}y}{{\triangle}x}=\frac{dy}{dx}

    119

    Funciones diferenciables.

    Una función es diferenciable en un número cc en un intervalo (a,b)(a,b) si y solo si f+(c)=f(c)f_+&#x27;(c)=f_-&#x27;(c)

    Esto es, si el valor del límite mediante el cual está definida la derivada es igual a ambos lados del número en el cual se está evaluando.

    Una función no es diferenciable en un número x=ax=a si.

    • La función es discontinua en el número x=ax=a.
    • La gráfica de ff tiene un pico en x=ax=a.
    • La gráfica de ff en x=ax=a tiene una recta tangente vertical.
    "Diferenciabilidad implica continuidad".
    Una función ff diferenciable en x=ax=a es continua en x=ax=a.

    Nota: Continuidad no implica diferenciabilidad.

    Por ejemplo, la función f(x)=xf(x)=|x|, es continua en x=0x=0, pero no es diferenciable en x=0x=0

    Figura 3.1. Gráfica de la función valor absoluto..
    120

    3.1.1 Derivada como pendiente de una recta tangente a una curva en un punto x=c

    GeoGebra. La pendiente de la recta tangente a una función y=f(x)y=f(x) en el punto (c,f(c))(c,f(c)) está dada por mtg=f(c)m_{tg}=f&#x27;(c) como se ilustra en la escena, desplace el punto PP o QQ.

    Ejemplo 1. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva y=x3y=x^3 en el punto P(1,1)P(-1,-1)?

    Encontremos la ecuación de la recta en el punto dado, con la ecuación punto-pendiente, donde remplazando el punto P(1,1)P(-1,-1), se tiene que: y+1=mtg(x+1)y+1=m_{tg}(x+1)

    121

    Esta es la ecuación de la recta tangente a la curva y=x3y=x^3 en el punto P(1,1)P(-1,-1), ahora solo debemos encontrar el valor de la pendiente mtgm_{tg} que está dada por la derivada de la curva evaluada en x=1x=-1, mtg=f(1)m_{tg}=f&#x27;(-1)

    Utilizando la definición de derivada para f(x)f&#x27;(x) se obtiene: f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0(x+h)3x3hf&#x27;(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} f(x)=limh0x3+3x2h+3xh2+h3x3h=limh0h(3x2+3xh+h2)hf&#x27;(x)=\lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h} f(x)=3x2f&#x27;(x)=3x^2

    Por lo tanto, la pendiente cuando x=1x=-1 es: mtg=f(1)=3(1)2=mtg=3m_{tg}=f&#x27;(-1)=3(-1)^2=m_{tg}=3

    Entonces, la ecuación de la recta tangente a la curva y=x3y=x^3 en el punto P(1,1)P(-1,-1) es: y=3x+2\qquad \quad y= 3x+2

    122

    Ejemplo 2. Encuentre los puntos sobre la gráfica de la función

    f(x)=43+4x1f(x)=-\frac{4}{3}+4x-1 donde la recta tangente es horizontal.

    Encontramos la derivada de la función f(x)f(x), luego igualamos la derivada a cero, o sea, f(x)=0f&#x27;(x)=0, entonces

    f(x)=4x2+4=0f&#x27;(x)=-4x^2+4 =0 por tanto, 4x2+4=0-4x^2+4 =0, donde x=±1x= \pm 1

    por tanto, se obtienen los puntos: p1(1,0)\qquad p_1(1,0) y p2(1,0)p_2(-1,0)

    Exploración. Utiliza la graficadora de GeoGebra para verificar las gráficas de las funciones y=f(x)y=f(x) y las rectas tangentes en un punto P(x,y)P(x,y).

    123
    ¡Recuerda! \quad Tangentes horizontales.

    Si y=f(x)y=f(x) es continua en un número aa y f(a)=0f&#x27;(a)=0 entonces la recta tangente en (a,f(a))(a, f(a)) es horizontal.

    Velocidades

    Si una función escribe el cambio de posición en el tiempo de un móvil entonces la derivada se podrá interpretar como la velocidad del móvil esto es, el cambio instantáneo de la posición del móvil en el tiempo.

    En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a una ecuación de movimiento s=f(t)s=f(t), donde ss es el desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en el tiempo tt. La función ff que describe el movimiento se denomina función de posición del objeto. En el intervalo de t=at=a a t=a+ht=a+h el cambio en posición es f(a+h)f(a)f(a+h)-f(a).

    La velocidad promedio en este intervalo es: velocidad promedio =desplazamientotiempo=f(a+h)f(a)hvelocidad \space promedio \space = \frac{desplazamiento}{tiempo}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

    Calculando las velocidades promedio en intervalos cada vez más pequeños, o sea, cuando hh se aproxime a 00, definimos la velocidad o velocidad instantánea como: v(a)=limh0f(a+h)f(a)hv&#x27;(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

    124

    Esto significa que la velocidad en el tiempo t=at=a es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto PP.

    Ejemplo. Sea f(t)=5t+3f(t)=5t+3 la posición de un móvil en el tiempo tt, dada en metros, determinar su velocidad en cualquier instante.

    La velocidad está definida como el cambio de posición en un intervalo de tiempo t\triangle t esto es v=dtv=\frac{d}{t} (la velocidad es la distancia entre el tiempo).

    Si la distancia recorrida por el móvil en un cierto intervalo de tiempo t\triangle t es y\triangle y entonces la velocidad del móvil es yx\frac{\triangle y}{\triangle x} ahora si se requiere la velocidad instantánea del móvil entonces t0{\triangle t \to 0} para calcular la velocidad cuando esto ocurra será necesario hallar: limt0yx\lim_{\triangle t \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} que es precisamente la definición de la derivada de f(t)f(t); por lo tanto la velocidad del móvil será f(t)f&#x27;(t), entonces limh0f(t+h)f(t)h=limh05(t+h)+35t3h=\lim_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{5(t+h)+3-5t-3}{h}= v(t)=5 m/sv&#x27;(t)=5 \space m/s

    El cálculo de derivadas se ha realizado por medio del cálculo de un límite, que a veces resulta un poco tedioso, en la siguiente sección se van a trabajar algunas reglas que facilitan el cálculo de estas derivadas.

    125

    3.2 Reglas de derivación

    Reglas que facilitan el cálculo de las derivadas de y=f(x)y=f(x).

    3.2.1 Reglas básicas

    Tabla de derivadas de funciones básicas.

    Funciones

    Derivada
    Función potencia.
    Sea nn un número real,
    y=xn\quad y=x^n

     y=n.xn1\space y&#x27;=n.x^{n-1}
    Función constante.
    Si f(x)f(x) es la función constante,
    y=C\quad y=C

     y=0\space y&#x27;=0
    Constante por una función.
    Sea CC una constante,
    y=Cxn\quad y=Cx^{n}

     y=C.n.xn1\space y&#x27;=C.n.x^{n-1}
    Suma y resta de funciones .
    Sean las funciónes ff y gg,
    y=f(x)±g(x)\quad y=f(x) \pm g(x)

     y=f(x)±g(x)\space y&#x27;=f&#x27;(x) \pm g&#x27;(x)
    Producto de funciones .
    Sean las funciónes ff y gg,
    y=f(x).g(x)\quad y=f(x).g(x)

     y=f(x).g(x)+f(x).g(x)\space y&#x27;=f&#x27;(x).g(x)+f(x).g&#x27;(x)
    División de funciones .
    Sean las funciónes ff y gg,
    y=f(x)g(x)\quad \displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}

     y=f(x).g(x)f(x).g(x)(g(x))2\displaystyle \space y&#x27;=\frac{f&#x27;(x).g(x)-f(x).g&#x27;(x)}{(g(x))^2}
    126

    Derivada de funciones trigonométricas.

    Funciones

    Derivada
    y=Sen(x)\quad y=Sen(x) y=Cos(x)\space y&#x27;=Cos(x)
    y=Cos(x)\quad y=Cos(x) y=Sen(x)\space y&#x27;=-Sen(x)
    y=Tan(x)\quad y=Tan(x) y=Sec2(x)\space y&#x27;=Sec^2(x)
    y=Cot(x)\quad y=Cot(x) y=Csc2(x)\space y&#x27;=-Csc^2(x)
    y=Sec(x)\quad y=Sec(x) y=Sec(x)Tan(x)\space y&#x27;=Sec(x)Tan(x)
    y=Csc(x)\quad y=Csc(x) y=Csc(x)Cot(x)\space y&#x27;=-Csc(x)Cot(x)

    ¿Por qué? y=Csc2(x) \quad y&#x27;=-Csc^2(x) \space es la derivada de  y=Cot(x)\space y=Cot(x)

    Se tiene la siguiente relación trigonométrica: y=Cot(x)=cos(x)sen(x)y=Cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)} Entonces, aplicando la regla de divisón de funciones, tenemos: y=sen(x).sen(x)cos(x).cos(x)(sen(x))2y=[sen2(x)+cos2(x)]sen2(x) y&#x27;= \frac{-sen(x).sen(x) - cos(x).cos(x)}{(sen(x))^2} \\ y&#x27;=\frac{-[sen^2(x) + cos^2(x)]}{sen^2(x)} donde se tiene la identidad: sen2(x)+cos2(x)=1\quad sen^2(x) + cos^2(x)=1, por tanto, y=1sen2(x)y&#x27;=\frac{-1}{sen^2(x)} y=Csc2(x)y&#x27;=-Csc^2(x)

    127

    Derivada de orden superior y=dydx\quad \displaystyle y&#x27;= \frac{dy}{dx}, y=d2ydx2 \quad \displaystyle y&#x27;&#x27;= \frac{d^2y}{dx^2}\space... yn=dnydxn\space \displaystyle y^n= \frac{d^ny}{dx^n}

    Derivadas de orden superior.

    Sea ff una función diferenciable en 𝑥𝑥, entonces
    f(x)\quad f&#x27;(x) es la primera derivada.
    f(x)\quad f&#x27;&#x27;(x) es la segunda derivada.
    f(x)\quad f&#x27;&#x27;&#x27;(x) es la tercera derivada.
                 .
                 .
                 .
    fn(x)\quad f^n(x) es la n-ésima derivada.


    Derivada de función exponencial.

    Funciones

    Derivada
    y=ex\quad y=e^x y=ex\space y&#x27;=e^x
    Sea bb un número real,
    y=bx\quad y=b^x
     y=bx.(Ln(b))\space y&#x27;=b^x.(Ln (b))

    Ejemplo.
    Calcular la derivada de la función y=5x\quad \displaystyle y=5^x

    Aplicando la derivada de función exponencial, se tiene que: y=5x.(Ln(5))y&#x27;=5^x.(Ln(5))

    128

    Derivada de función logarítmica.

    Funciones

    Derivada
    y=Lnx\quad y=Ln|x| y=1x\space \displaystyle y&#x27;=\frac{1}{x}
    Sea bb un número real,
    y=Logb(x)\quad y=Log_b(x)
     y=1x(Ln(b))\space \displaystyle y&#x27;=\frac{1}{x(Ln(b))}

    Ejemplo.
    Calcular la segunda derivada d2ydx2\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} de la función dada. y=Log3(x)y=Log_3(x)

    Aplicando la derivada de función logarítmica, se tiene que: dydx=1x.Ln(3)\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x.Ln(3)}

    Ahora aplicamos de nuevo la derivada a la expresión hallada dydx\displaystyle\frac{dy}{dx} para encontrar la segunda derivada, donde se tiene la constante: 1Ln(3)\frac{1}{Ln(3)} Entonces solo aplicamos la derivada a la expresión siguiente: dydx=1x\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} dydx=x1\frac{dy}{dx}=x^{-1}

    129

    por tanto, aplicando regla de la potencia, las segunda derivada es: d2ydx2=1Ln(3).(1)x2\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{Ln(3)}.\frac{(-1)}{x^2} d2ydx2=1Ln(3)x2\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{Ln(3)x^2}

    ¡Recuerda! Ln(x)=Loge(x)Ln(x)=Log_e(x)

    Si comparamos está expresión con y=Logb(x)y=Log_b(x), se tiene que b=eb=e.

    Ejemplos de la derivada de una función f(x)f(x) aplicando reglas básicas.

    130

    Ejemplo.
    Encuentre el punto sobre la gráfica de f(𝑥)=5𝑥22𝑥+3f(𝑥) = 5𝑥^2− 2𝑥 + 3 donde la pendiente de la recta tangente es 1818.

    Se halla primero la derivad de f(x)f(x): f(x)=10x2f&#x27;(x) = 10x-2

    Luego, como m=f(x)=18m=f&#x27;(x)=18, entonces, despejando xx, se tiene que: 10x2=18x=2\begin{aligned} 10x-2 &amp;=18 \\ x &amp;= 2 \end{aligned}

    Ahora evaluando en la función f(x)f(x) para encontrar yy, entonces, y=f(2)=5(2)22(2)+3=19y=f(2)=5(2)^2− 2(2) + 3 = 19 por tanto, el punto es: (2,f(2))=(2,19)\qquad (2, f(2)) = (2,19).

    Figura 3.2. Recta tangente a la curva f(x)f(x) en el punto P(2,19)P(2,19).
    131

    Ejercicio.
    Resuelva el problema de la recta tangente planteado y oprima el botón solución para verificar su respuesta.

    Observe la gráfica de la solución, oprima el botón Ver gráfica, para realizar otro ejercicio oprima el botón Ejercicio.

    Amplia la gráfica, con clic derecho sostenido sobre la gráfica o con los controles.

    132

    3.2.2 Regla de la cadena.

    Si la función ff es diferenciable en u=g(x)u=g(x) y la función gg es diferenciable en xx, entonces, se tiene que la composición de las funciones y=(fg)(x)=f(g(x))y=(f\circ g)(x)=f(g(x)) es diferenciable en xx y y=f(g(x))=f(g(x)).g(x)y&#x27; = f(g(x))=f&#x27;(g(x)).g&#x27;(x) De otra manera, dydx=dydu.dudx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}

    Ejemplo 1.
    Calcular la derivada de la función dada. y=Tan(5x3)y=Tan(5x^3)

    Se puede ver que la función yy está conformada por dos funciones una de ellas es f(x)=Tan(x)f(x)=Tan(x) y la otra que es g(x)=5x3g(x)=5x^3

    Es una función compuesta, de tal manera que se debe derivar usando la regla de la cadena. y=f(g(x))=f(g(x)).g(x)f(x)=Sec2(x)g(x)=15x2y&#x27; = f(g(x))=f&#x27;(g(x)).g&#x27;(x) \\ f&#x27;(x)= Sec^2(x) \\ g&#x27;(x)=15x^2 por tanto, y=f(g(x)).g(x)=Sec2(x).5x2y&#x27; = f&#x27;(g(x)).g&#x27;(x)=Sec^2(x).5x^2 y=5x2Sec2(x)y&#x27;=5x^2Sec^2(x)

    133

    Ejemplo 2.
    Calcular la derivada de la función dada. g(x)=sen(x32x)g(x)=\sqrt{sen(x^3-2x)}

    La función g(x)g(x) está conformada por tres funciones, g1(x)=xg_1(x)=\sqrt{x}, g2(x)=Sen(x)g_2(x)=Sen(x) y g3(x)=x32xg_3(x)=x^3-2x

    Usando la regla de la cadena, se tiene que: y=f(g(h(x)))=g1(g2(g3(x))).g2(x).g3(x)g1(x)=12.sen(x32x)g2(x)=Cos(x32x)g3(x)=3x22y&#x27; = f(g(h(x)))=g_1&#x27;(g_2(g_3(x))).g_2&#x27;(x).g_3&#x27;(x) \\ g_1&#x27;(x)= \frac{1}{2. \sqrt{sen(x^3-2x)}} \\ g&#x27;_2(x)=Cos(x^3-2x) \\ g&#x27;_3(x)=3x^2-2 por tanto, g(x)=(3x22)Cos(x32x)2sen(x32x)g&#x27;(x)= \frac{(3x^2-2) Cos(x^3-2x)}{2 \sqrt{sen(x^3-2x)}}

    Preguntas. Selecciona verdadero o falso.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    134

    Derivadas de una función aplicando regla de la cadena:

  • y=f(x)ny=nf(x)n1.f(x)y=f(x)^n \qquad \qquad \to \qquad y&#x27;=nf(x)^{n-1} . f&#x27;(x)
  • y=Lnf(x)y=f(x)f(x)y=Lnf(x) \qquad \quad \to \qquad y&#x27;=\frac{f&#x27;(x)}{f(x)}
  • y=ef(x)y=f(x).ef(x)y=e^{f(x)} \qquad \quad \quad \to \qquad y&#x27;=f&#x27;(x).e^{f(x)}
  • y=bf(x)y=f(x).Ln(b).bf(x)y=b^{f(x)} \qquad \quad \quad \to \qquad y&#x27;=f&#x27;(x).Ln(b).b^{f(x)}
  • y=f(x)ny=f(x)n.f(x)n1ny=\sqrt[n]{f(x)} \qquad \quad \to \qquad y&#x27;=\frac{f&#x27;(x)}{n.\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}
  • y=Sen(f(x))y=f(x).Cos(f(x))y=Sen(f(x)) \qquad \to \qquad y&#x27;=f&#x27;(x).Cos(f(x))
  • y=Cos(f(x))y=f(x).Sen(f(x))y=Cos(f(x)) \qquad \to \qquad y&#x27;=-f&#x27;(x).Sen(f(x))

    Ejercicio.23
    Selecciona una función y encuentra la derivada de la función que se plantea, oprima el botón solución para verificar la respuesta.

    Para realizar otro ejercicio oprima el botón ejercicio o otra función.

  • Adaptación de una escena de Miguel Ángel Cabezon Ochoa con licencia CC by-nc-sa
    135

    3.2.3 Derivada implícita.

    Es común que, en variadas ocasiones no se pueda obtener la forma explícita y=f(x)y=f(x) a partir de la ecuación f(x,y)=0f(x,y)=0 para diferenciarla normalmente.

    Aun así, se puede hallar dydx\frac{dy}{dx} por diferenciación implícita.

    ¡Recuerda!

    Forma explícita y=f(x)\quad y=f(x)
    Si una función se expresa en la forma y=f(x)y=f(x), es decir, la variable dependiente yy está expresada explícitamente en términos de xx en el lado izquierdo, se dice que la función está dada en forma explícita.

    Forma implícita f(x,y)=0\quad f(x,y)=0
    Son expresiones de la forma f(x,y)=0f(x,y)=0, en donde la función yy no está explícitamente en términos de la variable independiente xx.

    Ver pag. 12

    ¿Cómo se halla la derivada implícita dydx\frac{dy}{dx} de una función definida implícitamente por f(x,y)=0f(x,y)=0?

    Si fuera posible escribir yy explícitamente a partir de f(x,y)=0f(x,y)=0, o sea, despejar yy en términos de xx, es posible que sea sencillo hallar dydx\frac{dy}{dx} con las reglas básicas de diferenciación.

    La cuestión es que, no siempre es posible obtener una forma explícita y=f(x)y=f(x), aunque fuera posible despejar yy explícitamente, puede suceder que la derivada sea más complicada o dispendiosa.

    136

    Ejemplo. Sea la función 3x3y3+5=2y3+7x\qquad 3x^3y^3+5=2y^3+7x

    Si despejamos la variable yy tendríamos: 3x3y32y3=7x5y3(3x32)=7x53x^3y^3-2y^3=7x-5 \\ y^3(3x^3-2)=7x-5 y=7x53x323y =\sqrt[3]{\frac{7x-5}{3x^3-2}}

    Con esta forma explícita, calcular dydx\frac{dy}{dx} sería dispendioso e implicaría utilizar la regla de la cadena y la derivada para un cociente.

    Una alternativa, es aplicar la regla de la cadena a la forma implícita f(x,y)=0f(x,y)=0 para determinar dydx\frac{dy}{dx} sin tener que despejar yy, está técnica alternativa, se conoce como derivación implícita.

    Directrices para diferenciación implícita.24
    1. Al diferenciar con respecto a xx ambos miembros de la ecuación, use las reglas de diferenciación y considere a yy como una función diferenciable de xx. Para potencias del símbolo yy, multiplique por dydx\frac{dy}{dx} .
    2. Agrupe todos los términos donde aparece dydx\frac{dy}{dx} en el lado izquierdo de la ecuación diferenciada. Mueva todos los otros términos al lado derecho de la ecuación.
    3. Factorice dydx\frac{dy}{dx} en todos los términos donde aparezca este término. Luego, despeje dydx\frac{dy}{dx}.
    Definición tomada de: Cálculo: Transcendentes tempranas. D. Zill. 4Ed.
    137

    Ejemplo 1.
    Calcular la derivada implícita de la función dada. x3+y3=6xyx^3+y^3=6xy

    Está expresión resulta más complicada expresarla explícitamente, por tal motivo derivamos cada término de la siguiente forma:

    (1)(1). Derivar la forma implícita x3+y3=6xyx^3+y^3=6xy con respecto a xx aplicando reglas de derivación, cuando se derive yy se multiplica por dydx\frac{dy}{dx}: 3x2+3y2.(dydx)=6(1)y+6x(1).(dydx)3x^2+3y^2.\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)=6(1)y+6x(1).\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg) dydx\hspace{3.8cm}\color{green}\uparrow\underline{\color{green}\hspace{1.0cm}{\quad\frac{dy}{dx}}\hspace{1.3cm}}\hspace{0.0cm}\uparrow\\

    Si se deriva  y \space y \space se agrega dydx\frac{dy}{dx}

    (2)(2). Pasamos todos los términos que contengan el factor dydx\frac{dy}{dx} al lado izquierdo, los demás al lado derecho: 3y2(dydx)6x(dydx)=6y3x23y^2\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)-6x\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)=6y-3x^2

    (3)(3). Se factoriza y se despeja dydx\frac{dy}{dx}: (dydx)3(y22x)=3(2yx2)\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)3(y^2-2x)=3(2y-x^2) dydx=2yx2y22x\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}

    138

    Ejemplo 2. Calcular la derivada de la función Cos(x+y)+y=0Cos(x+y) + y = 0

    Se deriva respectoa a xx, entonces la derivada dydx\frac{dy}{dx} es: sen(x+y)(1+dydx)+dydx=0-sen(x+y)(1+\frac{dy}{dx}) + \frac{dy}{dx} = 0 sen(x+y)sen(x+y)dydx+dydx=0dydx(1sen(x+y))=sen(x+y)-sen(x+y)-sen(x+y)\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0 \\ \frac{dy}{dx}(1-sen(x+y))=sen(x+y) dydx=sen(x+y)1sen(x+y)\frac{dy}{dx}=\frac{sen(x+y)}{1-sen(x+y)}

    Ejemplo. Encontrar la derivada implícita de una ecuación.

    139

    Ejercicio.25
    Encuentra la derivada implícita de la función que se plantea, oprima el botón solución para verificar la respuesta.

    Para realizar otro ejercicio oprima el botón Otro ejercicio .

    ¿Será posible encontrar la recta tangente a la curva dada en un punto (x,y)( x , y )? A continuación responderemos a está pregunta.

    Escena de Juan Guillermo Rivera adaptada por el autor.
    140

    Ejemplo.
    Encuentre la ecuación de la recta tangente al círculo x2+y2=25x^2+y^2=25 en el punto P(3,4)P(3,4). ddx(x2+y2)=ddx(25)2x+2y.(dydx)=02y.(dydx)=2x\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(25) \\ 2x+2y.\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)=0\\ 2y.\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)=-2x dydx=xy\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

    La pendiente de la recta en el punto P(3,4)P(3,4), m=dydx(3,4)=34\quad m=\frac{dy}{dx} \bigg|_{(3,4)}=-\frac{3}{4}

    Utilizando la ecuación punto-pendiente, se tiene: y4=34(x3)y=34x+94+4y-4=-\frac{3}{4}(x-3)\\ y=-\frac{3}{4}x +\frac{9}{4}+4

    Por tanto, la ecuación de la recta tangente al círculo x2+y2=25x^2+y^2=25 en el punto P(3,4)P(3,4) es: y=34x+254y=-\frac{3}{4}x +\frac{25}{4}

    GeoGebra. Utiliza el software para graficar y verificar.
    Clic aquí. Grafique la curva, el punto P(x,y)P(x,y) y la ecuación de la recta tangente en el punto dado.

    141

    Preguntas. Selección múltiple con única respuesta.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    Demos online. Utiliza el software para graficar y verificar.
    Clic Aqui. Grafique la curva, el punto P(x,y)P(x,y) y la ecuación de la recta tangente en el punto dado.

    142
    143
    Capítulo IV

    Aplicaciones de la derivada

    La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de encontrar la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar aplicaciones físicas, razones de cambio relacionadas, tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, entre otras.

    4.1 Movimiento rectilíneo

    Es el movimiento de una partícula en línea recta, sea vertical o horizontal, entonces la función de la posición donde tt representa el tiempo y s(t)s(t) la distancia a partir de un punto de referencia s=0s=0, está dada por: s=s(t)s=s(t)

    Definiciones.

    Función Velocidad: Si s(t)s(t) es una función posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces su función velocidad v(t)v(t) en el instante tt es: v(t)=dsdtv(t)=\frac{ds}{dt} La rapidez del objeto en el instante tt es v(t)|v(t)|.

    Función Aceleración: Si v(t)v(t) es la función posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces su función velocidad v(t)v(t) en el instante tt es: v(t)=dvdt=d2sdt2v(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}

    147

    Un objeto desacelera cuando su rapidez v(t)|v(t)| es decreciente y acelera cuando su rapidez es creciente.

    En otras palabras, un objeto en movimiento rectilíneo:

    • Acelera cuando su velocidad y aceleración tienen el mismo signo algebraico.
    • Desacelera cuando su velocidad y aceleración tienen signos algebraicos opuestos.

    Ejemplo. Una partícula se mueve sobre una recta horizontal según la función posición s(t)=t392t27ts(t)=t^3-\frac92t^2-7t con t0t \ge 0, donde ss se mide en cmcm y tt en seg.seg. responder:

    • ¿Cuál es la posición de la partícula a los 00 y 11 segundos?

      Al evaluar s(t)s(t) cuando t=0t=0 y t=1t=1, obtenemos s(0)=(0)392(0)27(0)=0s(1)=(1)392(1)27()=1927=212s(0)=(0)^3-\frac92(0)^2-7(0)=0 \\ s(1)=(1)^3-\frac92(1)^2-7()=1-\frac92-7=-\frac{21}{2} Por tanto s(0)=0s(0)=0 y s(1)=212s(1)=-\frac{21}{2}, donde s(1)&lt;0s(1)&lt;0, significa que la partícula es a la izquierda del punto de referencia s=0s=0.

      Figura 4.1. Posición de una partícula en varios instantes de tiempo.
    148
    • ¿Cuándo la partícula alcanza una velocidad de 5ms5 \frac{m}{s}?

      Hallamos v(t)=s(t)v(t)=s&#x27;(t), entonces dvdt=3t29t7\frac{dv}{dt}=3t^2-9t-7 Como dvdt=5ms\displaystyle \frac{dv}{dt}=5 \frac{m}{s}, igualamos y despejando tt, se tiene 3t29t7=53t29t12=03(t23t4)=03(t4)(t+1)=03t^2-9t-7=5 \\ 3t^2-9t-12=0 \\ 3(t^2-3t-4)=0 \\ 3(t-4)(t+1)=0 por tanto, t=4t=4 y t=1t=-1 este tiempo negativo se descarta.

      R. El Objeto alcanza una v(t)=5 m/sv(t)=5 \space m / s transcurridos 4 seg4 \space seg.

    • ¿Cuándo la partícula tiene una aceleración cero?

      Hallamos a(t)=s(t)=v(t)a(t)=s&#x27;&#x27;(t)=v(t), entonces dadt=6t9\frac{da}{dt}=6t-9 Como dadt=0\displaystyle \frac{da}{dt}=0, igualamos y despejando tt, se tiene 6t9=0t=96=326t-9=0 \\ t=\frac96=\frac32

      R. El Objeto tiene una a(t)=0a(t)=0 cuando ha transcurrido 1,5 seg1,5 \space seg.

    149

    Ejercicio.
    Movimiento de una partícula.

    Encontrar la función v(t)v(t) y la función a(t)a(t), según la función posición plateada en el problema, oprima el botón solución para verificar las respuestas.

    Para realizar otro ejercicio oprima el botón otro ejercicio.

    150
    ¡Recuerda!

    La velocidad media de un cuerpo en movimiento sobre un intervalo de tiempo v(t)=cambio en posicioˊncambio en tiempo=s(t+t)s(t)tv(t) = \frac{cambio\space en \space posición}{cambio\space en \space tiempo}=\frac{s(t+\triangle t)-s(t)}{\triangle t}


    La posición s(t)s(t), se mide en cmcm, mm, kmkm,...

    La velocidad v(t)v(t), se mide en cm/scm/s, m/sm/s, km/hkm/h,...

    La aceleración a(t)a(t), se mide en cm/s2cm/s^2, m/s2m/s^2, km/h2km/h^2,...

    En el sistema ingles se utilizan unidades de medida como: pie(ft)pie(ft), millas(mi)millas(mi), pulgadas(in)pulgadas(in), entre otras.

    Preguntas. Selecciona verdadero o falso.
    Haz click sobre la respuesta correcta.

    151

    4.2 Razones de cambio

    La razón de cambio es la proporción en la que una variable cambia con respecto a otra, de manera más explícita es como en el tiempo unas componentes cambian a medida que el tiempo transcurre.

    La derivada dydx\frac{dy}{dx} de una función y=f(x)y=f(x) es una razón de cambio instantánea con respecto a la variable xx. Si la función representa posición o distancia entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad, v(t)=dsdtv(t)=\frac{ds}{dt}.

    En conclusión, podemos expresar que, si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra también cambiará. Por lo tanto, sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por lo tanto, a está situaciones se les llama razones de cambio relacionadas.

    Pasos para enfrertar una situación problema.
    1. Lea atentamente el problema varias veces, elabore un esquema o dibujo de la situación, si es posible.
    2. Asignar una notación, letras o símbolos a todas las cantidades que sean funciones que cambian con el tiempo.
    3. Expresar la información que nos dan y la información requerida en términos de derivadas con respecto al tiempo.
    4. Escribir una ecuación o una función que relacione todas las variables de la situación.
    5. Derivar la ecuación encontrada respecto al tiempo tt (derivada implícita), y sustituya la información dada en la ecuación resultante, despeje la cantidad desconocida.
    152

    Ejemplo 1.
    Se infla una bomba plástica en forma de esfera a una velocidad de 8 pulgadas cúbicas por minuto. ¿Cuál será la velocidad con que cambia el radio cuando dicho radio es de 3 pulgadas?

    Solución.
    (1). Observa la gráfica de la situación.

    (2). Denotamos el radio de la esfera como R=3 pulR=3 \space pul.

    (3). Ahora, en el instante tt, el volumen VV de una esfera en función del radio que cambia en relación al tiempo, está dado por dVdt=8pul3min\displaystyle \frac{dV}{dt}= 8 \frac{pul^3}{min}.

    Para la situación, nos piden encontrar la velocidad con que cambia el radio, por tanto, es hallar dRdt=?\displaystyle \frac{dR}{dt}=?

    (4). La ecuación que expresa el volumen es: V=43πR3\quad \displaystyle V=\frac43 \pi R^3

    (5). Derivamos el volumen respecto al tiempo:  dVdt=43π(3R2)dRdt\space \displaystyle\frac{dV}{dt}=\frac43 \pi (3R^2)\frac{dR}{dt}

    Despejando y remplazando tenemos que: dRdt=dVdt4R2π=8pul3min4(3 pul)2π=0,07pulmin\frac{dR}{dt}=\frac{\frac{dV}{dt}}{4R^2 \pi}=\frac{8 \frac{pul^3}{min}}{4(3 \space pul)^2 \pi} = 0,07\frac{pul}{min} R.El radio crece cada vez más lentamente, a razón de 0,070,07 pulgadas por minuto.

    153

    Ejemplo 2. Dos barcos salen simultáneamente de un puerto; uno viaja hacia el este a una velocidad de 40km/h40 km/h y el otro hacia el sur a una velocidad de 30km/h30 km/h, después de 22 horas de haber partido del mismo puerto.

    Si consideramos que z(t)z(t) es la distancia que separa a los barcos en cierto instante tt, entonces lo que se desea es calcular la rapidez (razón de cambio) con que cambia la distancia z(t)z(t) al paso del tiempo.

    Figura 4.2. Barco AA y BB, una hora después de partir del mismo puerto.

    Solución. Encontremos la derivada z(t)=dzdt\displaystyle z&#x27;(t)=\frac{dz}{dt} (Rapidez), después de transcurridas 22 horas del punto de partida, entonces, se tiene:

    Barco A:
    x(t)\quad x(t) distancia en tt horas, x(t)=40kmh.t h=40t km\quad x(t)=40\frac{km}{\cancel{h}}.t\space \cancel{h}= 40t \space km

    Barco B:
    y(t)\quad y(t) distancia en tt horas, y(t)=30kmh.t h=30t km\quad y(t)=30\frac{km}{\cancel{h}}.t\space \cancel{h}= 30t \space km

    154

    Para la distancia z(t)z(t), se satisface el teorema de Pitágoras: [z(t)]2=[x(t)]2+[y(t)]2=(40t)2+(30t)2=2500t2z(t)=50t km[z(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=(40t)^2+(30t)^2=2500t^2 \\ z(t)=50t \space km

    R. Para cualquier instante t&gt;0t&gt;0, los barcos se están separando a una velocidad constante de z(t)=dzdt=50 kmh\quad \quad z&#x27;(t)=\frac{dz}{dt}= 50 \space \frac{km}{h}

    GeoGebra. Para ver la animación26 oprime el botón .

    Escena de Castrillón, Elkin y Rojas, Carlos con licencia CC by-nc-sa
    155

    Situación similar sucede con la siguiente escena de dos ciclistas que parten de un mismo punto con velocidad constante.

    GeoGebra. Para ver la animación27 oprime el botón .

    En este tipo de problemas, podemos ver que la distancia de separación depende del tiempo transcurrido. Este concepto se extiende igualmente a otros campos del saber como por ejemplo el de las finanzas, si tienes ahorrado un dinero en un banco, los intereses que recibes sobre este dinero dependen del tiempo que los dejes depositado en él. En este sentido estas componentes se constituyen en cantidades variables que pueden ser expresadas como funciones dependientes del tiempo.

    Adaptación de una escena de Elkin Castrillón con licencia CC by-nc-sa
    156

    Ejercicio.
    Ingresa condiciones diferentes y realiza el análisis.

    Dos autos viajan hacia una intersección de dos carreteras, uno de los cuales se dirige hacia el Este a razón de 70Km/h70 Km/h y el otro hacia el Norte a razón de 55Km/h55 Km/h.

    GeoGebra. Analiza la situación planteada y encuentra los resultados, cambia las condiciones dadas.

    ¿A qué rapidez se acercan en el instante en que el primer automóvil se encuentra a 65km65 km y el segundo a 32km32 km de la intersección?

    Se deriva la expresión respecto al tiempo: z2=x2+y2 \quad z^2=x^2+y^2 \space por tanto, dzdt=1z(xdxdt+ydydt)\frac{dz}{dt}=\frac{1}{z}(x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt})

    157

    Ejemplo. Un helicóptero vuela a una velocidad de 30kmh30\frac{km}{h} horizontalmente acercándose a la torre de control del aeropuerto. El helicóptero vuela a una altura de 8 km8\space km.

    ¿A que velocidad se acerca el helicóptero a la torre de control cuando su distancia está a 20 km20\space km?

    Figura 4.3. Datos del problema. Helicóptero acercándose a la torre de control.

    Representamos v=dzdt\quad \displaystyle v=\frac{dz}{dt}\quad como la velocidad a encontrar.

    Dado el triángulo rectángulo que se forma, se cumple el teorema de Pitágoras, donde podemos encontrar xx: z2=x2+y2x2=20282z^2=x^2+y^2 \\ x^2=20^2-8^2 x=18.33 km x= 18.33\space km Ahora, derivamos respecto al tiempo tt: z2=x2+82\qquad z^2=x^2+8^2 2zdzdt=2xdxdt2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}

    158

    Por consecuencia, dzdt=xzdxdt\qquad \displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{x}{z}\frac{dx}{dt}

    Remplazando en la ecuación obtenida, se tiene: dzdt=18.33 km20 km(30kmh)=27,49kmh\frac{dz}{dt}=\frac{18.33\space \cancel{km}}{20\space \cancel{km}}(30\frac{km}{h})=27,49 \frac{km}{h}

    R. Para cualquier instante t&gt;0t&gt;0, el helicóptero se acerca a una velocidad constante de v=dzdt=27,49 kmh\quad \quad v=\frac{dz}{dt}= 27,49 \space \frac{km}{h}

    A continuación, se presenta una escena interactiva, para manipular y comprender mejor la situación problema plateada.

    Ejercicio.
    Ingresa condiciones diferentes y analiza la situación.

    GeoGebra. Para ver la animación
    Observa y analiza la situación planteada.

    159

    Ejercicio.
    Ingresa condiciones diferentes y analiza la situación.

    GeoGebra. Analiza la situación planteada y encuentra los resultados, cambia las condiciones dadas.28

    Adaptación de una escena de Juan Guillermo Arango con licencia CC by-nc-sa
    160

    Ejercicio.
    Ingresa condiciones diferentes y analiza la situación.

    GeoGebra. Analiza la situación planteada y encuentra los resultados, cambia las condiciones dadas.

    Utiliza semejanza de triángulos como ayuda para obtener una relación entre el radio y la altura.

    161

    4.3 Regla de L'Hopital

    La regla de L'Hôpital es un proceso que nos permite resolver algunas indeterminaciones que se dan en el cálculo de límites mediante el uso de las derivadas.

    ¡Recuerda!
    Las indeterminaciones pueden presentarse de la forma :

    0000001\frac{\infty}{\infty} \qquad \infty - \infty \qquad \frac{0}{0} \qquad 0^\infty \qquad 0^0 \qquad \infty ^0 \qquad 1^\infty

    Para hallar el límite introducimos el siguiente teorema:

    Teorema29

    Suponga que ff y gg son diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene al número aa, excepto posiblemente en aa mismo, y que g(x)≠0g&#x27;(x) =\not 0 para toda xx en el intervalo salvo posiblemente en aa.

    Si limxaf(x)g(x)=00\displaystyle \lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}= \frac00 \quad o limxaf(x)g(x)=\quad \displaystyle \lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}= \frac{\infty}{\infty}\quad y limxaf(x)g(x)=L\quad\displaystyle \lim_{x \to a}{\frac{f&#x27;(x)}{g&#x27;(x)}}=L

    entonces limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)=L \lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \to a}{\frac{f&#x27;(x)}{g&#x27;(x)}}=L La regla de L'Hopital puede ser utilizada de manera reiterada hasta que al final resolvamos la indeterminación original.

    Definición tomada de: Cálculo: Transcendentes tempranas. D. Zill. 4Ed.
    162

    Ejemplo 1. Resolver el siguiente límite: limx4x2x4\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}

    Primero se evalúa el límite por sustitución directa: limx4x2x4=4244=00\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}= \frac{\sqrt{4}-2}{4-4}= \frac{0}{0} Entonces, aplicando el teorema de la Regla de L'hopital, se tiene que:

    limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x) \lim_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \to a}{\frac{f&#x27;(x)}{g&#x27;(x)}}

    limx4x2x4=limx412x(0)(1)(0)=12x=124=14\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}= \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-(0)}{(1)-(0)}=\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}

    Ejemplo 2. Resolver el siguiente límite: limxπ2π2xCos(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{Cos(x)}

    Primero se evalúa el límite por sustitución directa: limxπ2π2xCos(x)=π2π2Cos(π2)=00\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{Cos(x)} = \frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}{Cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{0} Entonces, aplicando el teorema de la Regla de L'hopital, se tiene que:

    limxπ2π2xCos(x)=limxπ2(0)1Sen(x)=(0)1Sen(π2)=11=1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{Cos(x)} =\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(0)-1}{- Sen(x)} = \frac{(0)-1}{- Sen(\frac{\pi}{2})}= \frac{-1}{-1}=1
    163

    Ejercicio.
    Resolver los límites utilizando el teorema de la regla de L'hopital, para verificar la respuesta obtenida, oprima el botón solución. Para realizar otro ejercicio oprima el botón otro ejercicio


    ¡Recuerda!
    La regla de L'Hopital puede ser utilizada de manera reiterada hasta que al final resolvamos la indeterminación original.
    164

    4.4 Gráfico de funciones

    Para representar una función y=f(x)y=f(x), se estudia el significado de la primera y la segunda derivada, a partir de estos criterios se determina de una manera más o menos acertada la gráfica.

    Se puede seguirse el siguiente esquema para representar gráficamente una función:

    1. Dominio de la función.

      Determinar el dominio de f(x)f(x), el conjunto de valores para los cuales xx está definida (Pag.32).

      Esto permite el estudio de posibles discontinuidades y de las regiones: intervalos en los que f(x)f(x) es positiva o negativa; para su determinación deben conocerse los puntos de corte de la función con el eje xx.

    2. Intersecciones con los ejes.

      Hallar los puntos donde la gráfica corta los ejes xx y yy (Pag.16).

      • Para hallar las intersecciones en xx, si hay, en la gráfica de una función, haga y=0y = 0 en la ecuación y resuelva para xx, f(x)=0f(x)=0.
      • Para hallar las intersecciones en yy, si hay, en la gráfica de una función, haga x=0x=0 en la ecuación y resuelva para yy.
    165
    1. Simetrías.

      Para estudiar la simetría debemos de estudiar cual es la imagen de x–x (Pag.52). El estudio de las simetrías no es imprescindible, aunque facilita el trazado de la curva.

      • Si f(x)=f(x)f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas yy.
        Figura 4.4. Simetría con respecto al eje yy.
      • Si f(x)=f(x)f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen OO o la recta y=xy=x.
      Figura 4.5. Simetría con respecto al eje yy.
    166
    1. Análisis de las asíntotas.

      Puede ser verticales, horizontales y oblicuas (Pag.100):

      • Verticales: Son rectas de la forma x=ax=a. Las asíntotas verticales sólo pueden darse en puntos en los que la función no esté definida, donde se cumple que: limxaf(x)=±\lim_{x \to a}f(x) = \pm\infty
      • Horizontales: Son rectas de la forma y=by=b, donde se cumple que: limx±f(x)=b\lim_{x \to \pm\infty}f(x) = b
      • Oblicuas: Son rectas de la forma y=mx+by=mx +b, donde mm pendiente y bb intercepto con el eje yy, y se obtienen mediante: m=limx±f(x)xyb=limx±(f(x)mx)m=\lim_{x \to \pm\infty}{\frac{f(x)}{x}} \qquad y \qquad b=\lim_{x \to \pm\infty} (f(x)-mx)
    2. Puntos críticos.

      Hallar los puntos donde la recta tangente a la gráfica es horizontal, vertical (picos) o no existe.

      Si f(x)f(x) está definida en el valor x=cx=c, se dirá que cc es un número crítico de f(x)f(x) si f(c)=0f&#x27;(c)=0; ó si f(c)f&#x27;(c) no está definida.

      Los valores críticos son posibles puntos de máximo, o de mínima, o de “pico”

    167
    Teorema. Prueba de la primera derivada

    Sea f continua sobre [a,b][a, b] y diferenciable sobre (a,b)(a, b) excepto tal vez en el número crítico cc.

    1. Si f(x)f&#x27;(x) cambia de positiva a negativa en cc, entonces f(c)f(c) es un máximo relativo.
    2. Si f(x)f&#x27;(x) cambia de negativa a positiva en cc, entonces f(c)f(c) es un mínimo relativo.
    3. Si f(x)f&#x27;(x) tiene el mismo signo algebraico a cada lado de cc, entonces f(c)f(c) no es un extremo.

    En conclusión, del teorema, pueden resumirse en una frase:

    "Una función ff tiene un extremo relativo en un número crítico cc donde f(x)f&#x27;(x) cambia de signo".

    Máximos. El punto cc es un máximo relativo cuando la función es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha.

    Por tanto: cc es un máximo si: f´(a)&gt;0f´(a^-) &gt;0 , f´(a)=0f´(a)=0 , f´(a+)&lt;0f´(a^+) &lt;0

    Mínimos. El punto cc es un mínimo relativo cuando la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha.

    Por tanto: cc es un mínimo si: f´(a+)&lt;0f´(a^+) &lt;0 , f´(a)=0f´(a)=0 , f´(a)&gt;0f´(a^-) &gt;0

    168

    En un máximo o mínimo, la recta tangente a la curva es horizontal: su pendiente es igual a 00

    Para hallar los puntos críticos de la función, se determinan los valores xx para los cuales f(x)=0f&#x27;(x)=0 o f(x)f&#x27;(x) no está definida.
    1. Análisis de crecimiento y decrecimiento.

      Determinar el conjunto de valores xx para los cuales f(x)f&#x27;(x) es positiva o negativa.

      Tomar sobre el eje xx los puntos críticos y aquellos en los que la función no está definida. Esos puntos dividen al eje xx en varios intervalos.

      Estudiar el signo de la primera derivada en cada intervalo, deducir si la función es:

      • Creciente, si f(x)&gt;0f&#x27;(x)&gt;0 (positiva).
      • Decreciente, si f(x)&lt;0f&#x27;(x)&lt;0 (negativa).
      Podemos deducir (de lo anterior) dónde se dan los puntos máximos y los mínimos, si es el caso.

      Intervalo 1Intervalo 2Intervalo 3...
      f(x)f&#x27;(x)

      Se realiza el análisis tomando un punto de cada intervalo y ver si f´(x)f´(x) es positiva o negativa.

    169

    Ejemplo. Puntos críticos, análisis del crecimiento y decrecimiento.

    Sea la función racional f(x)=x23x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+1}

    Tenemos que la derivada aplicando la regla del cociente se obtiene: f(x)=8x(x2+1)2 f&#x27;(x)=\frac{8x}{(x^2+1)^2}

    Se hallan los puntos críticos, donde f´(x)=0f´(x) = 0, por tanto, se tiene cuando x=0x=0. En consecuencia, 00 es un único punto crítico.

    Crecimiento y decrecimiento, se tiene:

    Intervalos
    (,0)(-\infty, 0)
    (0,+)(0,+\infty)
    1ª Derivada f(x)=8x(x2+1)2 f&#x27;(x)=\frac{8x}{(x^2+1)^2}
    f(x)=()(+)=() f&#x27;(x)=\frac{(-)}{(+)}=(-)
    f(x)&lt;0f&#x27;(x)&lt;0
    Decreciente
    f(x)=(+)(+)=(+) f&#x27;(x)=\frac{(+)}{(+)}=(+)
    f(x)&gt;0f&#x27;(x)&gt;0
    Creciente

    Aplicando la prueba de la primera derivada, se tiene f(0)=3f(0) = -3 es un mínimo relativo

    Figura 4.6. Tomada de: Cálculo: Transcendentes tempranas. D. Zill. 4Ed..
    170
    1. Puntos de inflexión.

      Los puntos en los que la curva cambia de concavidades (cóncava a convexa, o al revés), se llaman puntos de inflexión; en esos puntos, la tangente corta la curva.

      Se cumple que:
      Si x=ax = a es un punto de inflexión de f(x)f (x)f´´(a)=0f´´(a) = 0.

      Por tanto, se determinan los valores de xx para los cuales f´´(x)=0f´´(x) = 0.

      Si (c,f(c))(c, f(c)) es un punto de inflexión para la gráfica de una función ff, entonces f´´(x)=0f´´(x) = 0 ó f´´(x)f´´(x). no existe.
    2. Concavidades.

      La concavidad es una característica de la gráfica de una función, relacionada con su forma. Una gráfica que tiene forma cóncava, es porque al trazarla forma una cavidad o hueco.

      Teorema. Prueba para concavidades

      Sea ff una función para la cual f(x)f&#x27;&#x27;(x) existe sobre (a,b)(a, b).

      • Si f(x)&gt;0f&#x27;&#x27;(x)&gt;0 para toda xx en (a,b)(a, b), entonces la gráfica de ff es cóncava hacia arriba sobre (a,b)(a, b).
      • Si f(x)&lt;0f&#x27;&#x27;(x)&lt;0 para toda xx en (a,b)(a, b), entonces la gráfica de ff es cóncava hacia abajo sobre (a,b)(a, b).
    171

    Una curva puede presentar concavidad hacia arriba, hacia abajo o ambas. En este último caso se dice que tiene doble concavidad.

    Se debe determinar el conjunto de valores xx para los cuales f(x)f&#x27;&#x27;(x) es positiva o negativa, para esto se estudia el signo de la segunda derivada en cada intervalo, deducir si la función es:

    • Cóncava hacia arriba, si f(x)&gt;0f&#x27;&#x27;(x)&gt;0 (positiva).
    • Cóncava hacia abajo, si f(x)&lt;0f&#x27;&#x27;(x)&lt;0 (negativa).

    Intervalo 1Intervalo 2Intervalo 3...
    f(x)f&#x27;&#x27;(x)

    Se realiza el análisis tomando un punto de cada intervalo y ver si f´(x)f´&#x27;(x) es positiva o negativa.

    Ejemplo. Punto de inflexión y concavidades.

    Sea la función f(x)=x5\displaystyle f(x)=x^5, entonces se tiene que:

    • La primera derivada es:
      f(x)=5x4f&#x27;(x)= 5x^4x=0x=0, es un punto crítico.

    • La segunda derivada es:
      f(x)=20x3f&#x27;&#x27;(x)= 20x^3x=0x=0, es un punto de inflexión.

    Por tanto, el punto f(0)=0f(0)=0 presenta un cambio de concavidad.

    172

    Análisis de las concavidades con la prueba de la segunda derivada:

    Intervalos
    (,0)(-\infty, 0)
    (0,+)(0,+\infty)
    2ª Derivada f(x)=20x3 f&#x27;&#x27;(x)= 20x^3
    f(x)=() f&#x27;&#x27;(x)=(-)
    f(x)&lt;0f&#x27;&#x27;(x)&lt;0
    Cóncava hacia abajo
    f(x)=(+) f&#x27;&#x27;(x)=(+)
    f(x)&gt;0f&#x27;&#x27;(x)&gt;0
    Cóncava hacia arriba

    1. Trazo de la gráfica.30

      Por último, se emplea toda la información obtenida en los pasos anteriores para realizar el trazo de la gráfica de la función.

    Adaptación de una escena de Elkin Castrillón con licencia CC by-nc-sa
    173

    Exploración.
    A continuación, por medio de un ejemplo, se plantea el procedimiento general para representar funciones gráficamente.

    Oprima el botón de los conceptos estudiados, observa su procedimiento y su utilidad en el trazado de gráficas.


    174

    4.5 Optimización

    En la vida diaria son innumerables los problemas donde se debe realizar optimización.

    Los problemas llamados de optimización, desde el punto de vista matemático se reducen a problemas de determinación de máximos (beneficios) y mínimos absolutos (costos) de funciones de una variable real en determinados intervalos.

    Como plantear un problema de optimización.

    1. Comprender el problema.
      El primer paso es leer cuidadosamente el problema hasta que se entienda con claridad.
    2. Dibujar un diagrama.
      Es útil trazar un diagrama e identificar en él los datos dados y pedidos.
    3. Introduzca símbolos.
      Asignar símbolos (letras) a las cantidad que ha de ser maximizada o minimizada y símbolos para cantidades desconocidas.
    4. Expresar la incógnita.
      Exprese la incógnita a maximizar o minimizar en términos de los símbolos del punto anterior, m = f(x).
    5. Use la información dada para hallar relaciones (en forma de ecuaciones), Si usa más de una variable, reduzca a una sola función la incógnita.
    6. Encuentre el dominio de esta función, hallar el valor máximo o mínimo absoluto de la función (f(x)=0f&#x27;(x)=0).
    175
    ¡Recuerda!

    Existirán relaciones entre variables que se han elegido que permitirán reducir el problema a una única variable (en algunos casos, nos tocara relacionar dos o más expresiones analíticas para dejar una sola expresión analítica en términos de una sola variable incógnita).

    Un problema de optimización vendrá dado, generalmente, en términos de enunciado.

    Se dice que está planteado cuando se sabe exactamente qué función hay que hacer máxima o mínima; quedará resuelto cuando se halle y analice la solución. Para ello, se sigue el proceso anterior.

    Una vez lograda la expresión analítica de la función buscada se debe derivar la función e igualar está derivada a cero para de esta forma, encontrar los valores de la variable a optimizar donde la función tiene puntos críticos, correspondientes a puntos de máxima o mínima y que este dentro del intervalo de variación de la variable elegida. f(x)=0f&#x27;(x)=0

    ¡Recuerda!

    Un punto crítico de una función es entonces un punto del dominio donde siendo continua la función, su derivada es nula o no existe (punto singular).

    176

    Ejemplo 1. Maximizar.

    Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 4cm4 cm de largo por 6cm6 cm de ancho. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará.

    ¿Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo?

    Dibujo o diagrama.

    La caja es un prisma rectangular, cuyo volumen es área de la base por la altura (x).

    Figura 4.7. Para obtener la función conviene hacer un dibujo.

    Si se corta un cuadradito de lado xx (altura), el volumen de la caja obtenida será:

    V(x)=(62x)(42x)xV(x)=24x8x212x2+24xV(x)=(6 - 2x )(4 -2x )x \\ V(x)=24x-8x^2-12x^2+24x V(x)=4x320x2+24xV(x)=4x^3-20x^2+24x

    177

    Una vez lograda la expresión analítica de la función buscada se debe derivar la función e igualar está derivada a cero.

    Los puntos máximos o mínimos se encuentran, si existen, entre las soluciones de: V(x)=0V&#x27;(x)=0 V(x)=4x320x2+24xV(x)=4x^3-20x^2+24x V(x)=12x240x+24V&#x27;(x)=12x^2-40x+24

    Encontrando las soluciones de V(x)=0V&#x27;(x)=0, obtenemos: 4(3x210x+6)=03x210x+6=04(3x^2-10x+6)=0 \\ 3x^2-10x+6=0 donde b24ac=(10)24(3)(6)=10072=28b^2-4ac= (-10)^2-4(3)(6)= 100-72=28 por tanto, x=(10)±282(3)x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{28}}{2(3)} x12,55x_1 \approx 2,55 x20,79x_2 \approx 0,79

    Veamos para qué valor se obtiene el máximo, utilicemos la 2° derivada y evaluamos las soluciones encontradas: V(x)=24x40V&#x27;&#x27;(x)=24x-40

    178
    Teorema. Prueba de la segunda derivada

    Sea ff una función para la cual ff&#x27;&#x27; existe sobre el intervalo (a,b)(a, b) que contiene al número crítico cc.

    1. Si f(x)&gt;0f&#x27;&#x27;(x)&gt;0, entonces f(c)f(c) es un mínimo relativo.
    2. Si f(x)&lt;0f&#x27;&#x27;(x)&lt;0, entonces f(c)f(c) es un máximo relativo.
    3. Si f(x)=0f&#x27;&#x27;(x)=0, entonces la prueba falla y f(c)f(c) puede ser o no un extremo relativo. En este caso se usa la prueba de la primera derivada.

    V(2,55)=24(2,55)40=21.2&gt;0V&#x27;&#x27;(2,55)=24(2,55)-40 = 21.2&gt;0 V(0,79)=24(0,79)40=21.04&lt;0V&#x27;&#x27;(0,79)=24(0,79)-40 = 21.04&lt;0

    Por lo tanto, la solución buscada es x0,79x \approx 0,79, este es el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máximo.

    El volumen máximo correspondiente VV lo calculamos remplazando el valor de x0,79x \approx 0,79 en la función de volumen: V(x)=(62x)(42x)xV(x)=(6 - 2x )(4 -2x )x V(x)=(62(0.79))(42(0.79))(0.79)V(x)=(6 - 2(0.79) )(4 -2(0.79) )(0.79) V(x)8,45 cm3V(x)\approx 8,45 \space cm^3

    179

    Ejercicio.31
    Modifica condiciones diferentes y analiza la situación.

    GeoGebra. Analiza la situación planteada y encuentra los resultados, cambia las condiciones dadas.

    Adaptación de una escena de Elkin Castrillón con licencia CC by-nc-sa
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    Se quiere construir una caja, con tapa, partiendo de una lámina.

    GeoGebra. Observa la situación cuando la caja tiene tapa, cambia las condiciones dadas, modifica los controles.



    ¡Recuerda! Se dice que está planteado cuando se sabe exactamente qué función hay que hacer máxima o mínima; quedará resuelto cuando se halle y analice la solución.
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    Ejemplo 2. Minimizar.

    Se desea construir, una zona de parada de buses a un borde de la via. Tendrá forma rectangular y estará enmallada por los tres lados que no linda con la vía.

    Si su área es de 7200 m². ¿Qué dimensiones debe tener para que el coste de la malla sea mínimo?

    Dibujo o diagrama.

    Representación gráfica, Área de forma rectangular, cuya área es base (x) por altura (y).

    El objetivo es minimizar. Esto se deduce de la lectura del enunciado, donde hay que hacer el mínimo costo para el enmallado.

    Para que el costo sea mínimo, la longitud (L) de la malla debe ser mínimo. por tanto, L=x+2yL=x + 2y

    La función depende de varias variables; xx y yy. Hay que determinar cuál de ellas depende de la otra y buscar en el enunciado la relación que liga esas variables; está relación siempre es una igualdad.

    Como se tiene que el área de la zona es de 7200 m27200 \space m^2, entonces se tiene que: A=x.yA=x.y

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    donde 7200=x.y7200=x.y y=7200xy= \frac{7200}{x} Por lo tanto, LL en función xx plantea la ecuación del problema, entonces, se tiene que: L(x)=x+27200xL(x) =x + 2\frac{7200}{x} L(x)=x+14400xL(x) =x + \frac{14400}{x}

    La optimización se encuentran entre los puntos críticos de la función, que son las soluciones de f(x)=0f &#x27;(x)=0 . Para que sea máximo hay que verificar que f´(x)&lt;0f ´( x ) &lt;0 ; y para que sea mínimo, que f´(x)&gt;0f ´( x ) &gt;0.

    Para este caso hay que buscar un punto que cumpla: L´(x)=0L ´( x ) = 0 y L´(x)&gt;0L´( x) &gt;0.

    Donde, L´(x)=114400x2\quad L´( x )= 1-\frac{14400}{x^2} \quad igualando a cero, se tiene: 114400x2=0x2=144001-\frac{14400}{x^2}=0 \quad ⇒ \quad x^2 =14400 x=±120x = ± 120

    La solución x=120x = –120 hay que descartarla por no ser del dominio de la función.

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    Ahora, encontremos la segunda derivada, y analizamos si L´(x)&gt;0L´( x) &gt;0: L´(x)=28800x3 L´&#x27;( x )= \frac{28800}{x^3} donde, evaluando cuando x=120x = –120, se tiene: L´(120)=28800(120)3&gt;0 L´&#x27;( 120 )= \frac{28800}{(120)^3}&gt;0

    Por lo tanto, las dimensiones de la forma rectangular para que los costos de la malla sean mínimos, son: x=120m,y=60mx = 120m, \quad y=60m

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    Bibliografía

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