Partición de hexaedros convexos

Título: Partición de hexaedros convexos de caras cuadriláteras en pirámides
Sección: iCartesiLibri
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: Bachillerato y Universidad (16 años o más)
Idioma: Castellano
Autor: José R. Galo Sánchez

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Este mes vamos a ver un vídeo de 2ºESO sobre Cuerpos geométricos:

En el video hemos seguido el siguiente esquema:

1.Poliedros
   Definición
   Elementos de un poliedro
   
2.Tipos de poliedros
   Prismas
      Prismas regulares
      Desarrollo de un prisma recto
      Paralelepípedos
   Pirámides
      Pirámides regulares
      Desarrollo de una pirámide recta
   Poliedros regulares
      Desarrollo poliedros regulares
   Relación de Euler
   
3.Cuerpos redondos
   Cilindro
      Desarrollo del cilindro recto
   Cono
      Desarrollo del cono recto
   Esfera

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Este mes vamos a ver un video sobre polígonos de 1ºESO:

Hemos tratado a grosso modo los siguientes puntos:

1.Líneas poligonales
   Definicion y tipos. Polígono.

2.Triángulos
   Elementos y clasificación
   Construcción de triángulos
   Rectas y puntos notables

3.Cuadriláteros
   Elementos y clasificación
   Paralelogramos

4.Polígonos regulares
   Elementos
   Ejes de simetría

5.Perímetros y áreas
   Definición. Medir áreas
   Unidades de superficie

6.Áreas de polígonos
   Áreas de cuadriláteros
   Áreas de triángulos
   Áreas de polígonos regulares
   Áreas de polígonos irregulares

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Este mes vamos a ver un vídeo sobre la geometría del plano:

Hemos tratado los siguientes puntos:

1.Rectas. Paralelas y perpendiculares
   El plano
   Puntos y rectas
   Recta, semirrecta y segmento
   Propiedades de la recta
   Posiciones relativas
   Paralelismo
   Perpendicularidad
 
2.Mediatriz de un segmento.
   Definición de mediatriz
   Construcción de la mediatriz
   Simetría
 
3.Ángulos. Clasificación y  medida.
   Definición de ángulo
   Tipos de ángulos
   Relaciones entre ángulos
   Medida de ángulos
   Sistema sexagesimal
 
4.Bisectriz de un ángulo.
   Definición de bisectriz
   Construcción de la bisectriz
   
5.Operaciones con ángulos.
   Suma de ángulos
   Resta de ángulos
   Multiplicación por un nº
   División de un ángulo por un nº
   Operaciones en sexagesimal

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Partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base triangular. Caso general.

Título: Partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base triangular por división de pirámides de base cuadrilátera, caso general
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Partición de un paralelepípedo en pirámides de base triangular. Caso general.

Título: Partición de un paralelepípedo en pirámides de base triangular por división de pirámides de base cuadrilátera, caso general
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base cuadrilátera. Caso general.

Título: Partición de un hexaedro convexo de caras cuadriláteras en pirámides de base cuadrilátera. Caso general.
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Partición de un paralelepípedo en pirámides de base cuadrilátera. Caso general.

Título: Partición de un paralelepípedo en pirámides de base cuadrilátera. Caso general.
Sección: Miscelánea
Bloque: Geometría
Unidad: Geometría tridimensional
Nivel/Edad: A partir de 2º ESO (13 años o más)
Idioma: Castellano
Autoría: José R. Galo Sánchez

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Este mes vamos a ver los movimientos en el plano, correspondientes a 3ºESO Académicas:

1.Vectores
   Concepto de vector. Coordenadas
   Vectores equipolentes
   Suma de vectores

2.Traslaciones
   Traslación según un vector
   Composición de traslaciones

3.Giros
   Giro de centro O y ángulo α
   Simetría central
   Figuras invariantes de orden n

4.Simetría axial
   Simetría de eje e
   Figuras con eje de simetría
   Composición de simetrías axiales

 

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"Si comparamos las anteriores veintiuna particiones del cubo ¿cuántas son congruentes a su vez entre sí?, es decir, ¿cuántas son diferentes salvo isometrías?"... Esta pregunta quedó abierta en el artículo "Partición de un cubo en pirámides (y parte III)" y en esta adenda procedemos a su respuesta.

1. Reducción por congruencia de las particiones prismáticas del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes 

Podemos realizar dos planteamientos conducentes a determinar el menor número de particiones diferentes salvo isometrías:

Opción A

En las treinta y seis particiones prismáticas del cubo observamos que la partición P2-P1 es congruente con la P1-P2 sin más que realizar un giro de 180º alrededor de la vertical (eje Oz) y, por tanto, quedaban reducidas a veintiuna las posibles particiones. Éstan son : {I-I, I-II, I-III, I-IV, I-V, I-VI, II-II, II-III, II-IV, II-V, II-VI, III-III, III-IV, III-V, III-VI, IV-IV, IV-V, IV-VI, V-V, V-VI, VI-VI}. Y en particular, entre ellas, hay tres casos en los que todas las pirámides son congruentes: {I-I, I-IV, IV-IV}.

Partición con pirámides equivalentes

Escena 1. Congruencia mediante giro de 180º alrededor del eje Oz

En el análisis de la descomposición del prisma triangular en tres pirámides triangulares equivalentes indicamos que la aplicación de una simetría y de un giro alrededor del eje Oy generaba las siguientes transformaciones:

  tipo partición del prisma transformada 
tipo partición del prisma original SIMETRÍA GIRO ALREDEDOR OY
IV I
II VI
III VI V
IV I IV
V II III
VI III II

 

que aplicadas a las particiones del cubo conducen a: 

Simetría       Giro alrededor de Oy

  I II III IV V VI
I IV-IV V-IV VI-IV I-IV II-IV III-IV
II IV-V V-V VI-V I-V II-V III-V
III IV-VI V-VI VI-VI I-VI II-VI III-VI
IV IV-I V-I VI-I I-I II-I III-I
V IV-II V-II VI-II I-II II-II III-II
VI IV-III V-III VI-III I-III II-III III-III

  I II III IV V VI
I I-I I-VI I-V I-IV I-III I-II
II VI-I VI-VI VI-V VI-IV VI-III VI-II
III V-I V-VI V-V V-IV V-III V-II
IV IV-I IV-VI IV-V IV-IV IV-III IV-II
V III-I III-VI III-V III-IV III-III III-II
VI II-I II-VI II-V II-IV II-III II-II

 

Así pues combinando estas isometrías podemos ver las relaciones existentes entre las treinta y seis particiones e identificar las congruencias existentes entre las mismas. Esto puede verse interactivamente en la siguiente escena:

Congruencias en las particiones del cubo

Escena 2. Congruencias en las particiones del cubo

Opción B

Otro planteamiento posible sería partir de las dos particiones posibles del prisma (I y II), junto a sus congruencias respectivas (IV y III, V, VI) y abordar las combinaciones de las mismas para formar el cubo. Esto nos lleva a:

I-I    particiones del cubo
I-II   particiones del cubo
I-III   particiones del cubo
I-IV   particiones del cubo
I-V  congruente con I-III  
I-VI congruente con I-II  
II-II   particiones del cubo
II-III   particiones del cubo
II-IV congruente con I-III  
II-V   particiones del cubo
II-VI   particiones del cubo

 

La primera opción tiene como ventaja el poder ver todas las particiones posibles, agrupadas por congruencia, y la segunda el ser un análisis más breve. Ambas nos permiten obtener las conclusiones finales expuestas a continuación.  

2. Conclusiones en la partición prismática del cubo en seis pirámides triangulares equivalentes 

Del análisis anterior se concluye que, salvo isometrías, hay sólo ocho formas diferentes de descomponer prismáticamente el cubo en seis pirámides equivalentes y entre ellas hay dos en las que todas las pirámides son también congruentes entre sí.

Conclusiones en las particiones prismáticas del cubo

Escena 3. Las ocho particiones prismáticas del cubo, salvo isometrías

 

Todo queda englobado en este objeto interactivo:

Partición prismática de un cubo en pirámides triangulares equivalentes

Objeto interactivo: Partición prismática del cubo en pirámides triangulares equivalentes

 

Nota bene. 

En los artículos publicados en este blog con el título "Particiones del cubo en pirámides" se han realizado las siguientes aportaciones:

1. Partiendo de las clásicas y conocidas descomposiciones del cubo en tres, cuatro, cinco y seis pirámides de base cuadrada, aquí se ha planteado una visión global que muestra que los casos anteriores no son más que cuatro casos particulares de una infinidad de particiones, todas construidas en base a considerar un punto que pasa a configurarse como el vértice común a todas las pirámides que conforman cada partición. El cardinal mínimo de la partición se alcanza en tres pirámides.

2. En base a la partición genérica anterior, se ha descompuesto de manera general el cubo en seis, ocho, diez y doce pirámides triangulares mediante la subdivisión de cada pirámide cuadrada en dos triangulares. En el caso de seis pirámides se demuestra que dichas pirámides son siempre equivalentes, de igual volumen.

3. Constructivamente se prueba que la partición del cubo en pirámides triangulares alcanza su cardinal mínimo en una única y clásica partición en cinco pirámides triangulares compuesta por un tetraedro regular y cuatro pirámides trirrectángulares, pero que no tienen igual volumen. 

4. Centrándose en las particiones del cubo en pirámides triangulares que sean equivalentes (igual volumen) se ha obtenido que en este caso el cardinal mínimo es de seis y pueden englobarse en particiones no prismáticas y particiones prismáticas (aquellas en las que el cubo queda a su vez dividido en dos prismas triangulares).

5.  Se ha abordado y analizado la partición de un prisma triangular en tres pirámides equivalentes, como problema conducente a la partición prismática del cubo, y se ha concluído que salvo isometrías hay sólo dos posibilidades. En particular en una de ellas las tres pirámides son además congruentes (coincidentes mediante isometrías).

6. A partir de la descomposición del prisma se han construido las posibles particiones prismáticas del cubo en pirámides triangulares equivalentes obteniéndose ocho posibilidades y, entre ellas, dos casos en las que las seis pirámides además son congruentes.

Así pues, un problema clásico —la partición de un cubo en pirámides cuadradas y triangulares—, que ha sido siempre expuesto de manera parcial a través de ejemplos particulares que no detallan la totalidad de las posibilidades, aquí se ha analizado constructivamente desde una perspectiva metódica, englobadora que logra hacer un completo y detallado recubrimiento descriptivo de su solución.

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