TORO O TOROIDE:

Un toro es un cuerpo geométrico generado al trasladar una circunferencia de radio r perpendicularmente sobre una trayectoria circular de radio R que pasa por su centro. Es un caso particular de los denominados toroides, en los que la trayectoria que sigue la circunferencia es una elipse. Físicamente podemos construir un toro o toroide doblando un tubo cilíndrico y uniendo sus extremos. En la siguiente escena, modificando los valores de los parámetros a y b, podremos "abrir" la superficie toroidal tanto tangencial como longitudinalmente. También podemos modificar r y R.

Las ecuaciones paramétricas que nos definen a un toro o superficie toroidal (también denominada rosquilla matemática) son:

en las que las variables angulares toman valores en el intervalo [0, 2pi].

Sí damos el mismo valor a R y r, el toro pierde su "agujero" (en inglés "horn torus"). Si damos a r valores mayores que R obtenemos una superficie similar a una esfera algo aplastada por sus polos , con una doble cavidad interior (en inglés "spindle torus"). Usando la escena anterior se puede comprobar.

Ejemplos de toros son: las rosquillas o "donuts", las cámaras de aire de las ruedas de vehículos, algunos modelos de flotadores, tubos fluorescentes circulares, cámaras de algunos reactores nucleares (por ejemplo los tipo "tokamak"),...

En topología un toro es una superficie equivalente a una taza de café ya que mediante determinadas transformaciones contínuas (es decir sin realizar ningún tipo de "corte" o incisión), podemos pasar de una superficie a la otra. Pero eso es otro cantar.

SUPERTOROS:

Si en las ecuaciones paramétricas anteriores elevamos a unos determinados exponentes los senos y cosenos, se obtienen una familia de superficies basadas en los toros (Véase el sitio Web de Paul Bourke citado en las referencias). Así las nuevas ecuaciones paramétricas quedarían como:

en las que las variables angulares siguen tomando valores en el intervalo [0, 2pi].

Algunos valores de los exponentes nos dan superficies que, o bien son abiertas e incluso planas, mientras que ciertas combinaciones nos dan superficies cerradas con hueco central. En la siguiente escena se pueden comprobar diferentes combinaciones de valores para los exponentes de seno y coseno. Combinando los valores 0,2, 1, 3 y 5 en los exponentes se obtienen superficies claramente derivadas de un toro. Para combinaciones con otros valores se obtienen desde superficies cerradas sin agujero central a superficies planas. Solo hay que probar y ver qué obtenemos en la escena. (Por cuestión práctica los parámetros correspondientes a los exponentes están limitados hasta el valor 5).

OTRAS SUPERFICIES RELACIONADAS CON LOS TOROS:

En los trabajos realizados por Paul Bourke (en algunas usando ecuaciones atribuidas a Roger Bagula) se muestran otras superficies que, por su forma geométrica, tienen relación con el toro y a las que Paul Bourke denomina: toro elíptico, toro lapa, toro pajarita y el hexatoro triaxial. En la siguiente escena podemos ver esas superficies, así como las ecuaciones paramétricas que las definen, usando el selector denominado "superficie". El parámetro c se mantiene activo cuando se muestra la primera superficie y nos permite ver cómo se transforma el toro elíptico al modificar el valor de dicho parámetro. Los parámetros R y h se activan cuando se ve la segunda superficie, el primero (R) modifica la amplitud del toro lapa mientras que el segundo modifica su altura.

En la siguiente escena se muestra un toro senoidal de 2ª especie (recordad que ya hemos visto el de primera especie en la página dedicada a la cinta de Möbius y la botella de Klein). Las ecuaciones paramétricas que lo definen son:

Cuando el parámetro k es igual a 0,5 tenemos el denominado toro "pinzado" que no hay que confundir con una superficie que se verá en otra de las páginas de esta unidad y que se denomina "cíclide de Dupin elíptico-hiperbólica". Para valores mayores de k se van formando diferentes "lóbulos". Las variables angulares toman valores en el intervalo [0, 2·Π].

En otros apartados de esta unidad podremos ver otras superficies que guardan una cierta relación con los toros pero cuyo aspecto es muy distinto al de las aquí presentadas.

EL TORO PERVERSO:

En la siguiente escena se muestra un toro con una curiosa transformación y que Paul Bourke muestra en su página sobre toros y superficies toroidales. Las ecuaciones paramétricas, definidas por Roger Bagula, son:

La variable u toma valores en el intervalo [-2·Π, 2·Π] y v toma valores en el intervalo [-Π, Π].

Autor: Josep Mª Navarro Canut (2018)
Adaptada a DescartesJS