CINTA DE MÖBIUS:

Si tomamos una tira de papel larga y algo estrecha, la retorcemos (medio giro) y unimos sus extremos obtenemos una superficie muy peculiar y sencilla: la cinta o banda de Möbius. Esa superficie se caracteriza por tener una sola cara y una sola arista (o borde) y ser no orientable. Si tomamos una de esas cintas hecha con papel, la apoyamos sobre una esquina de una mesa, tomamos un bolígrafo y vamos tirando de la cinta, veremos que el trazo del bolígrafo se encuentra con su inicio, sin que hayamos levantado y dado la vuelta a la cinta. Otra curiosidad de esa superficie es que, si hacemos una incisión en medio y la cortamos longitudinalmente, obtendremos una cinta de Möbius de longitud doble que la original y al repetir la operación obtenemos, ¡sorpresa!, dos cintas de Möbius entrelazadas. ¡Probadlo!.

En la siguiente escena se muestra una cinta de Möbius (o Moebius). El parámetro a nos permite modificar la "longitud" de la cinta y el parámetro r nos permite modificar su anchura, dentro de intervalos adecuados. Las ecuaciones paramétricas, en las que la variable u toma valores en el intervalo [0, 2·Π] y v en el [-1, 1], son:

El artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972), que realizó una buena cantidad de obras con ilusiones ópticas, objetos imposibles, mundos imaginarios y curiosos recubrimientos del plano, uso la cinta de Möbius en varias de sus llamativas piezas (En la página oficial de la Fundación Escher se pueden ver reproducciones de sus obras).

SUPERFICIE DE MÖBIUS:

Es una superficie que no hay que confundir con la cinta del mismo nombre, aunque ambas están relacionadas. De hecho, modificando un determinado parámetro en las ecuaciones paramétricas de esa superficie obtendremos una cinta de Möbius (de ahí su nombre). La superficie de Möbius es una superficie reglada no desarrollable y no orientable además de ser un caso especial de rotoide debido a su construcción. En la siguiente escena se representa dicha superficie. Si al parámetro a le damos valor 10 y al parámetro k1 valor 1 ¿qué vemos en la escena? (se han elegido esos dos valores para que se vea mejor la superficie obtenida). Las ecuaciones paramétricas empleadas son:

La variable u toma valores en el intervalo [0, Π] y v en el [0, 4·Π].

BOTELLA DE KLEIN:

Aunque realmente la botella de Klein es una superficie de dimensión 4, se suele conocer por su inmersión en el espacio euclídeo tridimensional en la que aparece una auto-inserción. Esa es la superficie representada en la siguiente escena. Topológicamente la botella de Klein es una superficie no orientable, de una sola cara y sin borde. En realidad ese objeto no puede ser contenido en un espacio de tres dimensiones, por lo tanto no se puede construir un objeto físico real con dicha forma. El parámetro a nos permite modificar el diámetro máximo tangencial de la botella de Klein. Para conseguir la representación que se muestra, se necesitan cuatro juegos de ecuaciones paramétricas:

La variable u toma valores en el intervalo [0, 2·Π] y v en el 0, Π].

TORO SENOIDAL DE PRIMERA ESPECIE:

La superficie que se muestra en la próxima escena, el denominado toro senoidal de primera especie (nombre dado por el profesor Robert Ferréol), es otra representación de la botella de Klein con valores de los parámetros mostrados inicialmente (de hecho hay varias formas distintas de representar la inmersión de una botella de Klein en el espacio euclídeo tridimensional). Pero esta superficie es generada por la rotación de una elipse variable alrededor de un eje, la elipse situada en un plano perpendicular al eje, un eje de la elipse se mantiene constante y el otro varía senoidalmente. Si modificamos el valor del parámetro k con valores mayores a 0,5, veremos como se transforma apareciendo diversos "valles" y "lóbulos". Las ecuaciones paramétricas correspondientes a esa superficie son:

Las variables u y v toman valores en el intervalo [0, 2·Π].

Autor: Josep Mª Navarro Canut (2018)
Adaptada a DescartesJS