PSEUDOESFERAS

Las pseudoesferas son superficies de revolución generadas por la rotación de una curva tractriz alrededor de su asíntota. Una curva tractriz se genera cuando un objeto arrastra a otro, de manera que su distancia de separación se mantiene constante. El nombre de "pseudoesfera" se puso por determinadas analogías con la esfera. Una de ellas tiene que ver con el concepto de curvatura de Gauss (número real que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular de una superficie). La esfera y la pseudoesfera tienen curvatura constante e igual en valor absoluto aunque de signos opuestos, positiva para la esfera y negativa para la pseudoesfera. Un cilindro, por ejemplo, tiene curvatura gaussiana nula. Así mismo, aunque la pseudoesfera en realidad es una figura no acotada, su área es finita e igual al área de una esfera con su mismo radio y el volumen encerrado por esa superficie también es finito e igual al de la semiesfera del mismo radio (el radio de la pseudoesfera es la distancia desde el punto "vértice" de la curva tractriz que la genera, hasta la asíntota de dicha generatriz. Quien le puso el citado nombre fue Eugenio Beltrami (1835-1900), matemático italiano que desarrolló notables trabajos, tanto en geometría diferencial como en física matemática.

PSEUDOESFERA

En la siguiente escena se muestra una pseudoesfera. El parámetro a varía su "radio" y el parámetro b nos permite abrir la pseudoesfera longitudinalmente. Las ecuaciones paramétricas empleadas son:

Las variables u y v toman valores en el intervalo [0, 1]. Si se da el valor cero al parámetro b, se puede ver la tractriz generatriz.

"BREATHER"

La superficie que se muestra a continuación, cuyo nombre no tiene una traducción clara del término en inglés, tiene una fuerte relación con la pseudoesfera. Los "breathers" son soluciones a determinados sistemas no lineales (generalmente descritos mediante ecuaciones en derivadas parciales), como por ejemplo es el caso de la ecuación no lineal de Schrödinger. Asociado a este tipo de ondas también están los denominados solitones, que son ondas solitarias que se propagan sin deformación en medios no lineales. Los "breathers" pueden constituir un mecanismo de transferencia de energía en medios contínuos. Pero estamos entrando en un terreno muy complejo y complicado que se aleja totalmente de los propósitos de esta unidad. Las ecuaciones paramétricas usadas para esta representación son:

La variable u toma valores en el intervalo [-4·Π, 4·Π] y v en el [-12·Π, 12·Π]. El p arámetro b nos permite abrir el "breather" longitudinalmente, de forma similar a la escena anterior.

SUPERFICIE DE DINI

La superficie de Dini es la superficie generada por la rotación de una tractriz sobre una helicoide alrededor de la asíntota de dicha tractriz. Su propiedad principal es la de ser una superficie de curvatura total constante, como la pseudosfera (también generada por la rotación de una tractriz alrededor de su asíntota). Debido a esa relación con la pseudoesfera es por lo que esa superficie se incluye en esta página. Las ecuaciones paramétricas usadas para esta representación son:

La variable u toma valores en el intervalo [0, 1,8] y v en el [0, 1,5]. El parámetro b nos permite ir aumentando el desarrollo de esa superficie y el parámetro a modifica las dimensiones de la superficie.

SUPERFICIE DE KUEN

La superficie de Kuen es una superficie de curvatura total negativa y constante. Esa superficie se obtiene de la pseudoesfera aplicando la denominada transformación de Bianchi. Las ecuaciones paramétricas usadas para esta representación son:

La variable u toma valores en el intervalo [0, 4,5] y v en el [0,04, Π+0,04].

Autor: Josep Mª Navarro Canut (2018)
Adaptada a DescartesJS