SUPERFICIES RELACIONADAS CON EL PLANO PROYECTIVO REAL

Aunque la denominada geometría proyectiva tiene sus orígenes en la antigua Grecia y empieza a tomar cuerpo en los trabajos del arquitecto y matemático italiano del Renacimiento Leon Battista Alberti (fue el primero en escribir un tratado sistemático sobre arte en 1436, en el que describe por primera vez las leyes de la perspectiva desde un punto de vista científico), es en el siglo XVII con los trabajos de Desargues , que enuncia un teorema básico en dicha geometría, así como las aportaciones de Pascal, que se considera el inicio como disciplina matemática. Aunque una de sus épocas de oro es en el siglo XIX cuando toma un importante empuje con Gaspard Monge y Poncelet al recuperarse los trabajos sobre geometría pura. En esta geometría es fundamental el concepto de plano proyectivo. El plano proyectivo viene a ser el plano afín usual más una recta llamada recta de infinito, que contiene los denominados puntos de infinito (el concepto de punto de infinito lo introduce Johannes Kepler en 1604, en sus trabajos sobre óptica, para dotar a la parábola de un segundo foco). Si pensamos en el concepto intuitivo que tenemos de rectas y puntos, un plano proyectivo se puede definir por un conjunto de cuatro axiomas de incidencia entre puntos y rectas:

1.- Dos puntos determinan una única recta

2.- En cada recta hay al menos tres puntos

3.- Existen tres puntos no alineados

4.- Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto.

Si nos fijamos en el tercer axioma, lo que en nuestro plano afín habitual son rectas paralelas en el plano proyectivo son rectas que se "cortan" en un punto de infinito. Sin entrar a abordar cuestiones de topología, resulta que si se intenta realizar una "inmersión" del plano proyectivo en el espacio afín ordinario, necesariamente se producen lo que se denominan autoinserciones y aparecen unos puntos especiales llamados puntos singulares. Se puede encontrar información muy interesante en http://www.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/expogp.html#topplan donde se recogen textos e imágenes de una exposición que tuvo lugar durante el mes de noviembre de 1999 en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid (UCM) dedicada a la historia de la Geometría Proyectiva. Las superficies que se muestran en esta página son "inmersiones" en el espacio tridimensional real del plano proyectivo. Se muestran : la superficie romana de Steiner, la superficie "crosscap" o bonete cruzado y la superficie de Boy.

SUPERFICIE ROMANA DE STEINER

Jacob Steiner, matemático suizo, encontró una manera de hacer inmersiones del plano proyectivo en el espacio afín ordinario, y los modelos que obtuvo se denominan hoy superficies de Steiner. Una de ellas es la Superficie Romana, denominada así porqué Steiner descubrió algunas propiedades geométricas de la superficie que había construido en una visita a Roma que realizó en 1844.Las ecuaciones paramétricas usadas son:

donde u y vtoman valores en el intervalo [0, 2·Π].

SUPERFICIE "CROSSCAP" (BONETE CRUZADO)

Es otra de las superficies obtenidas por Steiner y resulta otra inmersión del plano proyectivo en el espacio afín ordinario. En este caso las ecuaciones paramétricas correspondientes son:

donde u y v toman valores en el intervalo [0, Π].

SUPERFICIE DE BOY

Esta superficie es otra inmersión del plano proyectivo real en el espacio afín ordinario, estudiada por el matemático aleman Werner Boy en 1901. Se usa la parametrización de Morin-Apéry (1987) con una pequeña modificación que se verá observando las paramétricas usadas en la última escena de esta página:

donde u toma valores en el intervalo [0, Π/2] y v toma valores en el intervalo [0, Π].

DE SUPERFICIE ROMANA DE STEINER A SUPERFICIE DE BOY

Para acabar esta página, se muestra visualmente como una superficie romana se convierte en una superficie de Boy y viceversa. Para ello basta con ir modificando los valores del parámetro que aparece en la escena (alfa) entre o y 1. La parametrización usada es la auténtica parametrización de Morin-Apéry para la superficie de Boy. Viendo estas ecuaciones paramétricas se verá que, en la escena anterior, se ha asignado el valor 1 al parámetro alfa (y por eso no aparece en las ecuaciones mostradas antes):

donde u toma valores en el intervalo [0, Π/2] y v toma valores en el intervalo [0, Π], tal como antes.

Autor: Josep Mª Navarro Canut (2018)
Adaptada a DescartesJS