PARABOLOIDES E HIPERBOLOIDES

En la página anterior hemos visto superficies que pueden considerarse generadas por la rotación de curvas cónicas cerradas (circunferencia y elipse) alrededor de uno de sus ejes de simetría. En esta página veremos, entre otras, varias superficies generadas a partir de la rotación de curvas cónicas abiertas, como son la parábola y la hipérbola.

PARABOLOIDE

Cuando hacemos girar una parábola alrededor de su directriz obtenemos una superficie abierta denominada paraboloide de revolución. Sus ecuaciones paramétricas son:

Ejemplos de paraboloides de revolución son: hornos solares, antenas parabólicas para captar las señales de televisión vía satélite, las torres de la Sagrada Familia de Gaudí (Barcelona)...

PARABOLOIDE ELÍPTICO

La diferencia con la superficie anterior está en que en lugar de tener una base circular, tiene una base elíptica. Se consigue haciendo deslizar una parábola variable sobre una elipse Las ecuaciones paramétricas contienen los parámetros p, q y h que nos permiten variar, de forma independiente, las dimensiones en las tres direcciones del espacio.

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Superficie reglada cuyas ecuaciones paramétricas son:

Esta superficie también es conocida como "silla de montar", debido a su forma. Ha sido muy utilizada en cubiertas arquitectónicas. La han usado, entre otros, arquitectos como Antoni Gaudí, Santiago Calatrava o Félix Candelas. Este último la trabajó profusamente.

SILLA DE MONO

El nombre de esta superficie es debido a que un mono se podría sentar sobre ella, dejando que su cola caiga cómodamente por la parte posterior. Sus ecuaciones paramétricas son:

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

Cuando hacemos girar una hipérbola alrededor de su eje imaginario obtenemos una superficie abierta denominada hiperboloide de revolución. Sus ecuaciones paramétricas son:

Hay muchos ejemplos de superficies reales que son hiperboloides de una hoja o parabólicos: la torre del puerto de Köbe en Japón, las torres de refrigeración de centrales nucleares, la catedral de Brasilia diseñada por Óscar Niemeyer, la torre de televisión de Cantón (República Popular China) o la torre de control del aeropuerto de Barcelona. Las primeras estructuras hiperboloides fueron creadas por el ingeniero ruso Vladimir Shukhov (1853-1939) quien la usa por primera vez para la torre de sustentación de un depósito de agua en una exposición panrusa en Nizhni Nóvgorod (1896), aunque Antoni Gaudí ya había usado algunas, integradas en sus obras, como por ejemplo en la bóveda del Palacio Güell (1888).

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

El hiperboloide de dos hojas se obtiene como una superficie de revolución al rotar una hipérbola alrededor de su eje real. Sus ecuaciones paramétricas son:

Las ecuaciones paramétricas usadas en la escena se han modificado, a partir de las originales, para permitir variar las características del hiperboloide de dos hojas.

Autor: Josep Mª Navarro Canut (2018)
Adaptada a DescartesJS