ESFERAS Y ESFEROIDES O ELIPSOIDES

ESFERA

Recordemos que la esfera es el cuerpo geométrico de los puntos del espacio que equidistan de uno fijo que es el centro de la esfera. Pero también podemos considerar a la esfera como el cuerpo de revolución generado por una circunferencia al girar sobre uno de sus diámetros. Las ecuaciones paramétricas de una esfera centrada en el origen de coordenadas (0,0,0) son:

La variable u toma valores en el intervalo [0, 2·Π] y v en el [0, Π].

ESFERA DE VIVIANI

La esfera de Viviani se denomina así por generarse a partir de una familia de curvas de Viviani o ventanas de Viviani, cuyo aspecto estético es muy llamativo. Una curva de Viviani se obtiene a partir de la intersección de una esfera y un cilindro. Las ecuaciones paramétricas usadas son:

Las variables u y v toman valores en el intervalo [0,1].

ELIPSOIDE O ESFEROIDE

De forma general una elipsoide o esferoide es una superficie generada a partir de transformaciones afines de una esfera, es decir, modificando su diámetro en una, dos o las tres direcciones del espacio (es una cuádrica con centro de simetría). Un caso particular es cuando dos de esas direcciones sufren la misma transformación y, entonces, podemos considerar al elipsoide como una superficie de revolución generada por la rotación de una elipse alrededor de uno de sus ejes. Las ecuaciones paramétricas, con el centro de simetria del elipsoide en el origen de coordenadas (0,0,0), son:

Si consideramos el elipsoide a partir de la rotación de una elipse alrededor de uno de sus ejes, tenemos dos casos: que la rotación sea respecto al eje mayor o que la rotación se de respecto al eje menor. En el primer caso obtenemos lo que algunos autores denominan esferoide prolato u oblongo (similar a una pelota de rugby) y en el segundo caso se obtiene lo que algunos autores denominan esferoide oblato o símplemente esferoide (similar a una lenteja). Si en la escena precedente mantenemos dos de los parámetros con el mismo valor, tendremos un esferoide oblongo o prolato si el tercer parámetro tiene un valor mayor que los otros dos y un esferoide oblato o simplemente esferoide, si el tercer parámetro se mantiene con un valor inferior. Si los tres parámetros tienen el mismo valor veremos una esfera. La variable u toma valores en el intervalo [0, Π] y v en el [0, 2·Π].

ELIPSOIDE HIPERBÓLICO

La superficie que se muestra en la siguiente escena resulta muy interesante por su forma. En algunos lugares la denominan "cartón de leche" por su parecido a antiguos envases. Podemos imaginarla como un tetraedro con cuatro aristas elípticas y dos rectas. Sus ecuaciones paramétricas son:

La variable u toma valores en el intervalo [-Π, Π] y v en el [-1, 1].

Autor: Josep Mª Navarro Canut (2018)
Adaptada a DescartesJS