SUPERFICIES MINIMALES O MÍNIMAS - I

¿Qué relación pueden tener: la arquitectura tensional (en España denominada "textil"), la tensión superficial de un líquido, las pompas de jabon y la denominada geometría diferencial? A primera vista parece que ninguno, pero si uno investiga un poco verá que sí hay una relación: las denominadas superficies minimales o mínimas. El estudio de estas superficies tomó un fuerte impulso en la segunda mitad del siglo XIX. En esa época Joseph A. F. Plateau (1801-1883), físico belga que vivió sus últimos cuarenta años de vida totalmente ciego, llevó a cabo una gran cantidad de experimentos con pelicula de jabón y bastidores de diferentes formas y quedó planteado el que hoy se conoce como el problema de Plateau. De una forma muy simplificada el problema consistía en demostrar, matemáticamente, que para cada curva cerrada del espacio real tridimensional existe una superficie de área mínima cuyo contorno o frontera es, exactamente, esa curva.

Por otro lado la tensión superficial del agua es la responsable de que determinados cuerpos u objetos, a pesar de que sean más densos que ella, flotan debido a una película que se forma y que tiende a una área mínima (por eso podemos ver un clip flotando en el agua o al insecto denominado zapatero (Gerris Lacustris), sosteniéndose en la superficie de un una charca con el único apoyo de sus finísimas patitas). Finalmente se cita a Frei Otto (1925-2015), arquitecto e ingeniero alemán que, entre otras obras, diseñó el estadio olímpico de Munich y que estudiaba la forma de conseguir determinadas estructuras, lo más ligeras posibles y que permitieran la reducción del material a emplear (membranas tensadas por cables) y que dio lugar a la denominada arquitectura tensional o textil. Aquí solamente se muestran seis de esas superficies minimales o mínimas, aunque ya se ha visto una en páginas anteriores: la helicoide.

CATENOIDE

¿Qué hace una curva como esta en un lugar como ese? La catenoide es la superficie generada por la rotación de una catenaria alrededor de un eje coplanario, perpendicular a su eje de simetría y que no la corte pero, además, es una superficie minimal o mínima. Por eso se muestra en esta página. Las pompas de jabón toman, precisamente, esa forma, así como cualquier superficie líquida sometida a tensión superficial. Sus ecuaciones paramétricas usadas en la siguiente escena son:

con u variando en el intervalo [0, 2·Π] y v variando en el intervalo [0, 1]. Hay que tener en cuenta que la coordenada z, tal como se representa la superficie, debe tomar valores en el intervalo [-a·u, a·u].

DE HELICOIDE A CATENOIDE Y VICEVERSA

En la escena de este apartado, modificando el valor del parámetro a, se ve como una helicoide se transforma en una catenoide y viceversa. Ambas superficies recordemos que son minimas o minimales

SUPERFICIE DE ENNEPER:

Puede definirse, geométricamente, como la envolvente de los planos mediadores de dos puntos situados en dos parábolas homofocales (es decir, parábolas cuyos planos son perpendiculares y en la que el vértice de una pasa por el foco de la otra). Las ecuaciones paramétricas usadas para representar la superficie de Enneper son:

Las variables u y v toman valores en el intervalo [-a, a], siendo a un parámetro que podemos modificar en la escena.

SUPERFICIE DE CATALAN:

El matemático belga Eugène Charles Catalan (1814 -1894) descubrió esa superficie periódica mínimal en el espacio tridimensional en 1855. Las ecuaciones paramétricas correspondientes son:

En este caso u toma valores en el intervalo [0, 3·Π] y v en el intervalo [-2, 2].

SUPERFICIE DE BOUR:

Esta superficie mínima fue estudiada en 1861 por el matemático francés Edmond Bour (1832 -1866) y es un caso particular de la superficie generalizada de Enneper. Las ecuaciones paramétricas que la describen son:

Los intervalos de variación de u y v son, respectivamente, [0, 2·Π] para u y [0, 1] para v.

Autor: Josep Mª Navarro Canut (2018)
Adaptada a DescartesJS