JUGUEMOS UN POCO

Álgebra

1. CORTANDO UNA TARTA

Imaginad que tenemos una tarta de base rectangular que iremos cortando con un cuchillo. Los cortes no pueden ser ni paralelos entre ellos, ni coincidir todos en un mismo punto, ni pueden ser paralelos a la base de la tarta. Por otra parte hemos de conseguir, en cada caso, el mayor número de pedazos posible. En la escena que sigue aparece un rectángulo que representa la tarta vista desde arriba. Los segmentos que se muestran serian los cortes hechos a la tarta y podemos moverlos y variar su longitud mediante sus extremos.

31.- Empieza a "cortar" la tarta, haciendo primero dos cortes, luego tres, y así hasta utilizar todos los segmentos que aparecen en la escena. En tu cuaderno de trabajo haz una tabla donde aparezcan el número de cortes hechos y los pedazos de tarta que quedan (has de contar las regiones que se forman). Recuerda que los cortes no pueden ser paralelos ni cortarse todos en un mismo punto si hay más de dos.

32.- Si hicieras 10 cortes, ¿cuántos pedazos de tarta conseguirías? ¿Y si hicieras 16? ¿Y si hicieras 30?

33.- Con los datos que has ido obteniendo halla una expresión que nos permita predecir el número máximo de pedazos que podemos hacer en función del número de cortes.

34.- Si tenemos una lámina de dibujo y trazamos sobre ella n rectas no paralelas ni que se corten más de dos en un mismo punto, ¿cuantas regiones aparecerían?

2. REORDENANDO FICHAS-1

Imagínate que tienes una serie de fichas como las del parchís, unas verdes y otras rojas. Hay tantas fichas rojas como verdes. Las tenemos dispuestas en línea recta, de forma que todas las fichas de un mismo color están juntas. En este juego solamente podemos efectuar un movimiento con dos dedos, consistente en intercambiar la posición de dos fichas consecutivas (permutar las fichas). Al final hemos de conseguir tener todas las fichas alternadas, es decir una ficha roja, una verde, una roja, una verde, etcétera (o viceversa), y para ello hemos de realizar el menor número posible de movimientos.

En las tres escenas que se visualizan a continuación, se muestran los casos para 3, 4 y 5 fichas de cada color, respectivamente. Variando el valor de m irán apareciendo disposiciones según las reglas establecidas. Cuando aparezca la disposición final el parámetro no podrá aumentar su valor y nos indicará el número de movimientos que han sido necesarios. (El orden de los movimientos que se muestra es uno de los posibles, pero el número de ellos es el mínimo)

35.- Una vez que hayas visualizado todas las disposiciones posibles en las pizarras electrónicas, haz una tabla en tu cuaderno de trabajo donde aparezcan el número de fichas de cada color y el número de movimientos efectuados. Después intenta dibujar todas las disposiciones para alternar 6 y 7 fichas de cada color. Es aconsejable que uses una notación adecuada para no tener que estar coloreando todas las fichas y poder hacer las rectificaciones oportunas de la forma más simple posible.

36.- Si tuvieras n fichas de cada color, ¿cuántos movimientos se deberían hacer, como mínimo, para llegar a tener todas las fichas alternadas?

37.- Calcula el número mínimo de movimientos que son necesarios para alternar 15, 24 y 50 fichas de cada color, respectivamente.

3. REORDENANDO FICHAS-2

En la próxima escena se muestra el caso para 3 fichas de cada color, respectivamente, pero ahora tenemos fichas de un tercer color. Igual que antes, al variar el valor de m irán apareciendo disposiciones según las reglas establecidas y cuando aparezca la disposición final el parámetro no podrá aumentar su valor y nos indicará el número de movimientos que han sido necesarios. La disposición inicial es equivalente, todas las fichas de un mismo color se encuentran una junto a la otra.

Josep Mª Navarro Canut

ProyectoDescartes.org. Año 2013