Si en vez de utilizar rectas (polinomios de primer grado) utilizamos polinomios de segundo grado para interpolar, estaremos realizando interpolación cuadrática. Para la interpolación lineal utilizábamos dos puntos, pues dos puntos determinan una recta; ahora necesitaremos tres puntos para determinar la correspondiente parábola. Empezaremos con un ejemplo con números más pequeños para ilustrar como realizar la interpolación cuadrática, y observar los problemas que se nos plantean.

Supongamos que de una determinada función conocemos los puntos dados por la siguiente tabla:

Razonando como en el caso de interpolación lineal, la ecuación general de una parábola es: y=ax²+bx+c. Si determinamos los valores de a, b y c, habremos calculado la ecuación. Como la parábola pasa por los puntos (-1, 6), (2, 3) y (3, 10), se tiene, sustituyendo cada punto en la ecuación general de la parábola, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:   a-b+c=6   4a+2b+c=3   9a+3b+c=10

Resolviéndolo se obtienen los valores de a=2, b=-3 y c=1 e y(1,5)=2·1,5²-3·1,5+1=1 será el valor aproximado para x=1,5 calculado mediante interpolación cuadrática.

Observación: Si los tres puntos están alineados, a valdrá 0 y tendremos un polinomio de primer grado. Incluso podría pasar que también b fuera 0, y en tal caso el polinomio sería de grado 0. En general, dados n+1 puntos con abscisas distintas, se puede probar que siempre hay un polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos.

Como los números del ejemplo son enteros, y está preparado para que salgan soluciones enteras, no habrá habido muchas dificultades para resolverlo bien. Sin embargo, si la tabla de datos hubiera sido la siguiente:

Es fácil comprender que si intentamos hacer interpolación mediante un polinomio de 3º, 4º ... el sistema de ecuaciones correspondiente se hará cada vez más tedioso de resolver.

Para soslayar este problema se han ideado varios métodos que permiten calcular el polinomio interpolador de forma más sencilla que resolviendo un sistema de ecuaciones análogo al anterior. Veremos a continuación un método ideado por Newton.