Iniciamos esta unidad con superficies de sobra conocidas, y otras no tanto, pero que tienen en común que se pueden generar por la rotación de un determinado elemento geométrico alrededor de un eje. En otras páginas de esta unidad se mostrarán otras superficies de revolución pero que tienen algunas características que hacen que se las considere aparte de las que aquí veremos. La superficie de revolución se generaría al rotar una curva c en el espacio (en este caso una recta) alrededor de un eje e (eje de giro). Cada punto C de la curva c genera, en un giro de 360º, una circunferencia y todos los puntos una superficie que será cilíndrica si la recta c es paralela al eje e y cónica si la recta c corta (no perpendicularmente) al eje en un punto V.

Una superficie cilíndrica es la definida por un conjunto de rectas paralelas, llamadas generatrices, que pasan por cada uno de los puntos de una curva llamada directriz. En la siguiente escena se muestra la superficie cilíndrica cuya directriz es una circunferencia y las generatrices son perpendiculares al plano que la contiene. Vamos a ver cómo se genera una superficie cilíndrica a partir de ecuaciones paramétricas:

con u variando en el intervalo [0, 2·Π] y v variando en el intervalo [0, 1]. Podemos modificar el radio r de la circunferencia directriz y la altura h del cilindro recto generado.

Si en las ecuaciones anteriores hacemos que, en las definiciones de x y de y, el parámetro r sea distinto en ambas, es decir: x=r1·cos(u) e y=r2·sen(u), dando valores distintos a r1 y a r2 obtenemos una superficie cilíndrica cuya directriz es una elipse tal como se muestra en la siguiente escena:

SUPERFICIE CÓNICA

Una superficie cónica está determinada por todas las rectas (llamadas generatrices) que pasan por un punto fijo V, llamado vértice y por cada uno de los puntos de una curva c, denominada directriz (V exterior al plano  que contiene a la directriz). Pero aquí vamos a ver cómo se genera una superficie cónica a partir de ecuaciones paramétricas. En el caso de la superficie que nos ocupa, la directriz es una circunferencia y el eje determinado por el vértice y el centro de la circunferencia es perpendicular al plano que contiene a ésta; las ecuaciones usadas son:

con u variando en el intervalo [0,2·Π] y v variando en el intervalo [0, 1]. El parámetro r corresponde al radio de la circunferencia generatriz. En la siguiente escena podemos modificar el radio r y la altura h correspondientes al cono recto generado.

Si en las ecuaciones anteriores hacemos que en las que definen a x y a y el parámetro r sea distinto en ambas, es decir: x=r1·v·cos(u) e y=r2·v·sen(u), dando valores distintos a r1 y a r2 obtenemos conos de base elíptica, tal como se muestra en la siguiente escena. En ese caso la superficie cónica tiene como curva directriz una elipse de ejes r1 y r2 de valores distintos.

Si tenemos en cuenta la ecuación del cono como cuádrica de revolución, z²=x²/A²+y²/A², en realidad deberíamos ver dos conos opuestos por su vértice ya que, con el eje de rotación situado en OZ, la coordenada z tendría signo positivo y signo negativo (z=sqrt(x²/A²+y²/A²⁾ y z=-sqrt( x²/A²+y²/A²)), pero se muestra solamente el caso en que z es positivo y limitado a la altura h (en realidad esa superficie cónica tendría una altura infinita). Obsérvense las similitudes y diferencias con las correspondientes a la superficie cilíndrica.

Autor: Josep Mª Navarro Canut (2018)
Adaptada a DescartesJS