y respuestas a algunas actividades

Hay gran diversidad de respuestas posibles. Si se está siguiendo la unidad didáctica con un grupo de alumnos, en clase, un intercambio y contraste de opiniones entre el grupo permitirá al profesor ayudarles a que sitúen aquellos aspectos medibles y comparables y los separen de las características mas abstractas. No obstante siempre se puede incentivar y motivar la originalidad o transformar respuestas "graciosas" a aspectos medibles y a visiones científicas asociadas al tema. Por ejemplo el atractivo o emoción que puede producirnos una foto o una persona relacionarlo con un intercambio químico que podría medirse mediante análisis, lo que coloquialmente se entiende por "tener química".

Insistir en que se vayan tomando notas en el cuaderno particular y que se actúe reflexivamente.

Situación análoga, pero aquí se tiene realmente nada más que dos modelos la proporción áurea en: la dama de Auxerre (sin pedestal), la Venus de Milo, Artemis y las Cariátides, y la proporción cordobesa en la venus Capitoline y la Afrodita de Cnido.

La venus de Milo y la venus Capitoline son un magnífico ejemplo de belleza divina y belleza humana. En las experiencias realizadas si se dirige la elección entre estas dos, regularmente siempre es elegida la primera, pero agrada mucho la segunda.

En este caso, la forma predominante en los edificios suele conducir a la elección natural como patrón comparativo el del rectángulo. Posiblemente sea necesario aclararles la necesidad de introducir alguna medida que distinga un rectángulo de otro. Alternativas, de nuevo, pueden surgir diversas. Discutir y llegar a conclusiones.

Se les introduce en un modelo matemático que les puede gustar o no, que por supuesto discutirán, lo cual es magnífico. Al final habrá que convencerles que vamos a seguir ese modelo porque ha sido el elegido por otras personas expertas en el tema, pero que en sus manos está el que cada uno incorpore su modelo y efectue un análisis propio y comparativo con éste. No obstante la investigación es necesaria y podré investigar mejor si conozco previamente los que otros han hecho, el conocimiento conduce al conocimiento.

Son comparaciones numéricas.

Al intercambiar base y altura tenemos el mismo rectángulo pero en una posición diferente, un giro de 90º. Por ello en la definición de módulo se divide siempre el lado mayor entre el menor. Si dijeramos base/altura un mismo rectángulo tendría dos módulos diferentes segun estuviera en "horizontal" o "vertical". Podría considerarse esto positivo, pues si el módulo fuera menor que 1 sería "vertical" y "horizontal" en caso contrario, pero aquí se ha adoptado el criterio de proporción independientemente de la orientación dada a la figura.

Para cada módulo hay infinitos rectángulos semejantes.

Actividad 5.2

Segun la definición dada el módulo de un rectángulo será siempre mayor o igual que la unidad.

En la actividad anterior se ha justificado esta definición y algunas ventajas e inconvenientes.

Actividad 5.3

Obviamente es un cuadrado.

Actividad 5.4

A medida que el módulo es mayor, el lado menor es más chico el rectángulo es más "alargado".

Actividad 5.5

Es una elección que puede estar ya condicionada por que ya hemos destacado o señalado algunas proporciones (áurea y cordobesa), pero el aprendizaje es divertido si se hace una elección sincera en este momento.

Actividades 5.6 a 5.9

Respectivamente son los denominados rectángulos raíz de dos, áureo y cordobés.

Recordar que las tres proporciones anteriores son aproximaciones de tres números irracionales.

Fijada una proporción hay infinitos rectángulos semejantes. Si en todos se mantienen los lados paralelos entonces las diagonales de todos ellos son paralelas. Este hecho permite la identificación de rectángulos semenjantes mediante el uso de "patrones" de comparación que son los denominados "cartabones" (triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la diagonal del rectángulo del que es patrón). Si se tiene un cartabón basta deplazar éste, por una foto o dibujo, para ir identificando fácilmente los rectángulos buscados.

Si se cambia la proporción obtenemos un rectángulo que no es semejante al anterior y por tanto la diagonal ya no es paralela a las anteriores. necesito un cartabón diferente.

Actividad 6.2

Para el cuadrado el ángulo es de 45º (se ve automáticamente sin mas que activar el control situado en la parte "Norte").

Para el rectángulo personal dependerá de la elección. Señalemos que este dato es también un posible identificador de cada rectángulo.

Para raíz de dos, el ángulo indicado es 35,27º. Para el áureo 31,72º y para el cordobés 37,42º.

Actividad 6.3

Como indica el nombre de esta actividad esto es puro divertimento, obviamente sin ninguna base científica, y tiene que quedarles muy claro la diferencia entre coincidencias, que podemos buscar con ánimo y único objetivo de divertirnos, coincidencias, que siempre o casi siempre podré encontrar, y deducciones lógicas basadas en una metodología científica.

La latitud de Córdoba es 37º 52' 46'' = 37,88º (aproximadamente), y el ángulo del rectángulo cordobés obtenido es 37,42º = 37º 25' 12''. ¡Qué gran parecido, sólo hay una diferencia de 0,46º = 51 Kilómetros! ¡Bien!

Puestos a buscar coincidencias si el rectángulo áureo lo introduce Euclides y de su biografía sabemos que: "Euclides (300 a.C.), matemático griego, cuya obra principal, Elementos de geometría, es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana, proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas",

pues seguro que es Atenas o Alejandría las ciudades que corresponderan a la latitud dada por el ángulo de este rectángulo. ¡Ojala sea Atenas pues allí está el "Olimpo de los Dioses" y la cosa sería divina!. Veamos:

Latitud Atenas: 37,66º. Vaya, si resulta que estos atenienses son tan humanos como los cordobeses.

Latitud Alejandría: 31,21º. ¡Pues ésta si que vale!

Y mirando, mirando, el ángulo del rectángulo raíz de dos se corresponde con la latitud (aproximada de nuevo) de Chipre y Rodas (lugares con culturas antiquísimas, recuerda el Coloso de Rodas una de las maravillas del mundo).

Y "por consiguiente" (¿? ¡!) si miro ciudades del mundo que están en la latitud asignada a mi rectángulo descubriré mis origenes...

Un comentario que seguro vendrá a cuento en el análisis conjunto de la clase: ¡Reíros, sí reíros, pero así hay grandes embaucadores! En la Ciencia hay que ser críticos (y eso no significa que haya que hablar mal del compañero que tienes al lado) e incrédulos, a la vez que constructivos y análiticos.

Actividad 6.4

Basta poner en la escena la proporción correspondiente al cartabón deseado y fijarse en las medidas de la base y de la altura, trasladandola al papel o cartulina dibujaremos y recortaremos el cartabón que deseemos.

Por primera vez vamos a efectuar una comparación simultánea de diferentes rectángulos, y elegido el mío (bueno "cambia de latitud" si lo deseas) lo comparo con los cánones de belleza que ya hemos citado anteriormente.

Esta actividad pone de manifiesto por qué hemos destacado o magnificado determinadas proporciones. A cada polígono regular se le puede asignar un rectángulo construído a partir de su lado y del radio de la circunferencia circunscrita. En particular al cuadrado le asignamos el rectángulo raíz de dos, al exágono el rectángulo de módulo 1 (cuadrado), al octógono el rectángulo cordobés y al decágono el rectángulo áureo...

Y ¿los impares?, ¿por qué no los destacamos? ¡Buena pregunta! ¡Ya sabes investiga y satisfarás tu inquietud!

Bueno una posible pista (¡ojo! es una posible explicación que el autor da y que no ha constrastado):

GAUSS, príncipe de las matemáticas - ya tienes otra cosa que buscar: ¿quién era? ¿qué hizo para que se le nombre como príncipe?- enunció un Teorema en el que demostró cuándo un polígono de N lados es construíble con regla y compás, los instrumentos clásicos de los geómetras y básicos en la arquitectura, - ¡Sí, ya sé, he de buscar este Teorema, que no me lo vas a contar!-.

Aplicando dicho teorema podemos afirmar que los polígonos regulares de 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25,... no pueden construirse usando sólo dicha regla y compás.

Teniendo en cuenta que para N=3 tenemos el triángulo equilátero, que se obtiene fácilmente a partir de exágono (construcción trivial pues lado = radio) sin más que unir un vertice con los otros dos no adyacentes, y que analogamente ocurre con el pentágono a partir de decágono, nos queda la sucesión de polígonos construibles 4, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, ...

Es obvio sin más que usar la escena que a todo polígono le corresponde una proporción, pero no viceversa.

Una aproximación permitirá acotar "nuestro rectángulo" entre otros dos correspondientes a polígonos.

La obtención analítica, entre otras posibilidades, puede hacerse por geometría básica, trigonométricamente u obteniendo las raices n-ésimas de la unidad.

En el caso del rectángulo áureo puede aplicarse, también, la caracterización gnómica de este rectángulo, es decir,

1/x = x/(1+x)

que conduce a la ecuación cuadrática x^2-x-1=0.

La propia definición nos está indicando que hay dos posibles rectángulos recíprocos a uno dado. Uno estará incluido en el dado y otro lo contendrá. En la escena se limita el dibujo sólo al recíproco interior.

Ojo que si la proporción es la unidad, es decir para el cuadrado no hay recíproco o, en sentido amplio, podemos decir que es el recíproco de sí mismo.

La escena nos muestra que los rectángulos recíprocos tienen diagonales perpendiculares. Luego de esta propiedad obtenemos un procedimiento de construcción gráfica.

Raiz de dos:

• Si fijamos la proporción raíz de dos, en la escena, podemos observar que el recíproco es un rectángulo que es la mitad del inicial (o el doble) y por tanto el gnomon de un rectángulo de este tipo es él mismo. La aplicación técnica se detalla en el apartado correspondiente a esta proporción que se refleja en el índice de la unidad.
• Si se coge el papel indicado (normalmente será un A4) obtendremos la razón raíz de dos que inducirá a acertar la aplicación técnica.
• La construcción en este caso es bien sencilla, pues es doblar el papel por la mitad.

Unidad: El único recíproco es él mismo. Gnomon vacío.

Áureo: El gnomon de un rectángulo áureo es un cuadrado de lado el lado menor del rectángulo inicial. Al usar el compás lo que estamos aplicando el la definición euclidea de rectángulo áureo (ver apartado la proporción divina en el índice de la unidad didáctica).

Proporciona una visión del crecimiento (en este caso decrecimiento) gnómico.

En el comentario adjunto al cuadro se indican cuales son los rectángulos áureos, pero lo oportuno es lo que se indica posteriormente, es decir, usar el cartabón áureo.

El anexo inexplicable, podría explicarse por que divide el cuadrado superior CDFE en dos rectángulos que no son áureos. Si el anexo surgiera del borde de la taza si tendríamos un rectángulo áureo según mostramos en la siguiente imagen en la que se han permutado esos rectángulos.

No obstante ¿quién se aventura, con certeza, a adivinar el pensamiento daliniano?

En este cuadro la "simplicidad", con base matemática, se convierte en Arte.

La pregunta que se efectúa es una pregunta retórica.

Ponemos de manifiesto las limitaciones del modelo matemático considerado. La necesidad de considerar más parámetros que se adapten y cubran las necesidades adicionales que hemos introducido.

Damos palabras clave que permitirán al que lo desee pegar el salto tridimensional y en general multidimensional.

Hay que mostrar a los alumnos que la Ciencia no es algo hermético y finalizado, sino un cuerpo vivo en el que la época de los descubrimientos no termina, siempre hay un terreno inexplorado esperándonos.