LIMITES EN EL INFINITO
Análisis
 
7.- Comportamiento de una función cuando x→ +∞  o  x→ -∞
Vamos a estudiar el comportamiento de tres funciones cuando x → +∞ y cuando x→ -∞ .

Dando a x valores grandes positivos , podrás hallar el límite de f(x), g(x) y h(x) cuando x→ +∞. 

Dando a x valores grandes negativos , hallaremos el límite de f(x), g(x) y h(x) cuando x→ -∞.

EJERCICIO 15

Cambiando el valor de x en la escena por valores cada vez mayores positivos o negativos verás las coordenadas de los puntos P, de f(x) (en color verde), Q, de g(x) (en amarillo) y R de h(x) (en rojo). Así hallarás los seis límites, tres cuando x→ +∞ , y otros tres cuando x→ -∞ .

Anota en tu cuaderno los resultados y comprueba que se pueden dar tres casos en las tendencias de las funciones:

a) Que la función se puede hacer tan grande como queramos positiva.  
Tiende a +∞  
b) Que la función se puede hacer tan grande como queramos en valor absoluto, pero negativa. 
Tiende a - ∞
c) Que la función se aproxima a un número N tanto como queramos. 
Tiende a N

RESUMEN
Cuando x → ∞   y cuando x → -∞ la función puede tener los siguientes límites: 

7.1.-  Límites (x→± ∞) de funciones polinómicas
Aquí tenemos tres funciones polinómicas: f(x)=x2-3x+2 (en color verde) , g(x)=-x2-3x-2 (en amarillo) y h(x)=x3-x+1 (en rojo)
Comprueba en esta escena que dando a x los valores 10, 20, 30..., o sea que si x→+ ∞
f(x) toma valores cada vez más grandes positivos, o sea f(x) →+ ∞
g(x) toma valores cada vez más grandes en valor absoluto, pero negativos, o sea g(x) →- ∞
h(x) toma valores cada vez más grandes positivos, o sea h(x)→+ ∞

En los tres casos, y en general el límite de la función polinómica es infinito, y el signo lo determina la mayor potencia de x.

Análogamente se puede deducir que cuando x→- ∞ una función polinómica tiende a + ∞ o a - ∞ , el signo depende exclusivamente del término de mayor grado.
Compruébalo con las tres funciones de la escena dando a x los valores -10, -20, -30...

7.2.- Límites (x→± ∞) de funciones inversas de polinómicas
Ya hemos visto que todas las funciones polinómicas cumplen que 
¿A qué tienden sus inversas cuando x→± ∞ ?

En esta escena tienes representadas las inversas de tres funciones polinómicas. 

 

 

 

En cada una de ellas tienes un punto y sus  coordenadas. Cambiando la x de los puntos, averigua el  
 

7.3.- Límites (x→± ∞) del cociente de dos funciones polinómicas
EJERCICIO 16.- Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x →+ ∞ y cuando x → -∞ ayudándote de las correspondientes escenas:

  Si te fijas en el grado del polinomio del numerador y en el del denominador, podemos sacar las siguientes conclusiones:

Si , entonces:

Si grado de P > grado de Q (m>n), entonces (el signo es el de )
Si grado de P < grado de Q (m<n), entonces
Si grado de P = grado de Q (m=n), entonces

 
Los límites cuando x→- ∞ se resuelven de forma similar. Sólo hay que tener en cuenta la regla de los signos y si el exponente de la mayor potencia de x es par o impar.

EJERCICIO 17

Comprueba los límites que has calculado en el ejercicio anterior, aplicando las conclusiones expuestas

       
           
 
Autora: Ángela Nuñez Castaín (2001)

Adaptación a DescartesJS: Ángela Nuñez Castaín y José R. Galo Sánchez (2017)
 
ProyectoDescartes.org. Año 2017
 
 

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